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文档简介

行列式按行 列 展开 第三节 2 一 余子式与代数余子式 3 叫做元素的代数余子式 例如 4 5 6 例1求四阶行列式 的第一行元素的代数余子式 解 7 8 9 定理n阶行列式D aij 等于它的任意一行 列 的各元素与其对应代数余子式乘积的和 即 或 按第i行展开 按第j列展开 证略 推论 若行列式某行 列 的元素全为零 则行列式的值为零 二 行列式展开定理 10 例2计算四阶行列式 解 已算得 所以 11 例3设 12 定理行列式某一行 列 的元素与另一行对应元素的代数余子式乘积的和等于零 即 这是因为 第i行 第j行 13 同样 行列式对列展开 也有 则有 14 三 行列式的计算 计算行列式的基本方法 利用性质5将某行 列 化出尽可能多的零 再利用展开定理按该行 列 展开 例4 15 16 例5计算行列式 解 17 每行元素的和都相等 把第二 三 四列都加到第一列 例6计算行列式 解 18 19 按第一列展开 并由上 下三角形行列式得 例7计算n阶行列式 解 20 例8计算n阶行列式 解 21 第一列加上其余各列 22 第二行开始每行减去第一行 23 例9计算n阶行列式 解 按第1列展开 1 24 反复利用递推公式得 2 由对称性 1 式又可化为 3 联列 2 3 解得 1 25 而 代入得 26 综上所述 27 例10 证明范德蒙 Vandermonde 行列式 28 证 用数学归纳法 29 30 n 1阶范德蒙行列式 31 证毕 32 例如 转置 33 四 拉普拉斯 Laplace 定理 上述展开定理还可以推广到按某k行 列 展开 在n阶行列式D aij 中 任意选定k行k列 1 k n 位于这些行和列交叉处的k2个元素 按原来的顺序构成一个k阶行列式M 称为D的一个k阶子式 划去这k行k列 余下的元素按原来的顺序构成一个n k阶行列式 称为M的余子式 在M前面冠以符号 所得行列式称为M的代数余子式 其中i1 i2 ik为k阶子式M在D中的行标 j1 j2 jk为M在D中的列标 34 定理 拉普拉斯定理 在n阶行列式中 任意取定k行 列 1 k n 1 由这k行 列 组成的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D 即 其中Ai是Mi对应的代数余子式 i 1 2 t 证略 35
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