第十八章_机械振动基础.ppt

理论力学 PAG2 第十八章机械振动基础 说话 声带振动 振动 系统在平衡位置附近往复运动 研究振动的目的 消除或减小有害振动 充分利用有利振动 听声 耳膜振动 利 振动给料机振动筛振动沉拔桩机 弊 磨损 减少寿命 影响强度引起噪声 影响劳动条件消耗能量 降低精度 PAG3 第十八章机械振动基础 本章只研究单自由度系统的振动 PAG4 单自由度系统的自由振动 计算固有频率的能量法 单自由度系统的无阻尼受迫振动 单自由度系统的有阻尼自由振动 第十八章机械振动基础 单自由度系统的有阻尼受迫振动 转子的临界转速 隔振 PAG5 模型 弹簧质量系统 弹簧原长l0 刚性系数k 在重力作用下弹簧变形 st为静变形 该位置为平衡位置 平衡 取重物平衡位置O点为坐标原点 x轴铅直向下为正 弹簧力 18 1单自由度系统的自由振动 一 自由振动微分方程 PAG6 由质点运动微分方程可得 恢复力 只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动 始终指向原点 无阻尼自由振动微分方程的标准形式 18 1单自由度系统的自由振动 PAG7 两个根为 代入微分方程得特征方程 18 1单自由度系统的自由振动 二阶齐次线性常系数微分方程 方程解表示为 C1 C2为积分常数 由初始条件确定 PAG8 微分方程的解 运动图线 无阻尼自由振动是简谐振动 18 1单自由度系统的自由振动 方程解表示为 PAG9 1 固有频率 无阻尼自由振动是简谐振动 是一种周期振动 任意t时刻的运动规律为 周期函数 T 周期 18 1单自由度系统的自由振动 二 无阻尼自由振动的特点 单位 秒 s 无阻尼自由振动经过时间T后又重复原来的运动 无阻尼自由振动微分方程 解为 PAG10 18 1单自由度系统的自由振动 无阻尼自由振动微分方程 解为 角度周期为2 有 则自由振动的周期为 频率 其中 每秒振动次数 1 s Hz赫兹 圆频率 2 秒内振动次数 rad s 弧度 秒 PAG11 18 1单自由度系统的自由振动 固有频率是振动理论中的重要概念 它反映了振动系统的动力学特性 计算系统的固有频率是研究系统振动问题的重要课题之一 自由振动的圆频率 n只与表征系统本身特性的质量m和刚度k有关 而与运动的初始条件无关 它是振动系统的固有特性 固有圆频率 PAG12 18 1单自由度系统的自由振动 若已知无阻尼自由振动系统在重力作用下的静变形 就可求得系统的固有频率 如 我们可以根据车厢下面弹簧的压缩量来估算车厢上下振动的频率 满载车厢的弹簧静变形比空载车厢大 则其振动频率比空载车厢低 PAG13 固有频率的确定方法 方法一 方法二 弹簧质量系统平衡时 方法三 已知系统的运动微分方程 18 1单自由度系统的自由振动 PAG14 振幅与初位相 振幅 简谐振振动表达式 相对于振动中心点O的最大位移 初相位 决定质点运动的起始位置 18 1单自由度系统的自由振动 相位角 决定质点在某瞬时t的位置 自由振动的振幅A和初相位 是两个待定常数 它们由运动的初始条件确定 PAG15 18 1单自由度系统的自由振动 简谐振振动表达式 自由振动的振幅A和初相位 由运动的初始条件确定 PAG16 例18 1物块质量为m 无重弹簧刚度系数为k 求系统的固有频率 以物块平衡位置O为原点 取x轴如图 物块沿x轴的运动微分方程 18 1单自由度系统的自由振动 PAG17 斜面角 与物块运动微分方程无关 固有频率 18 1单自由度系统的自由振动 PAG18 物块平衡时 弹簧变形量 例18 2如图所示 质量为m 0 5kg的物块沿光滑斜面无初速度滑下 当物块下落高度h 0 1m时撞于无质量的弹簧上并与弹簧不再分离 弹簧刚度k 0 8kN m 倾角 30 求此系统振动的固有频率和振幅 并给出物块的运动方程 18 1单自由度系统的自由振动 解 取质量弹簧系统为研究对象 h 以物块平衡位置O为原点 取x轴如图 物块在任意位置x处受力 重力mg斜面约束力FN弹性力F PAG19 固有频率与斜面倾角 无关 系统振动的固有频率 固有频率 18 1单自由度系统的自由振动 物块沿x轴的运动微分方程 系统的通解 PAG20 取物块刚碰上弹簧作为振动起点 此时t 0 物块坐标即初位移 18 1单自由度系统的自由振动 系统振动的振幅 物块的运动方程 物块碰上弹簧时初速度 PAG21 18 1单自由度系统的自由振动 得振幅及初相位 此物块的运动方程为 系统的通解 PAG22 解 将此梁近似成弹簧 静挠度相当于弹簧静伸长 重物受力分析 列运动微分方程 O 例18 3如图所示 无重弹性梁 当其中部放置质量为M的物块 其静挠度为2mm 若将此物块在梁未变形位置处无初速释放 求系统的振动规律 梁的刚性系数为 重力mg弹性力F 取平衡位置为原点 x轴铅直向下 18 1单自由度系统的自由振动 PAG23 运动微分方程 梁的刚性系数 18 1单自由度系统的自由振动 运动微分方程 微分方程的解 其中圆频率 t 0时 物块坐标x0 st 2mm 重物初速v0 0 PAG24 初相位 则振幅 系统的自由振动规律为 18 1单自由度系统的自由振动 其中圆频率 x0 2mm v0 0 微分方程的解 PAG25 弹簧并联 系统平衡 等效弹簧刚性系数 18 1单自由度系统的自由振动 三 弹簧的并联与串联 设物块在重力mg作用下平动 静变形为 st 两弹簧受力F1和F2 弹簧刚度分别为k1 k2 PAG26 弹簧并联 系统平衡 等效弹簧刚性系数 18 1单自由度系统的自由振动 三 弹簧的并联与串联 并联系统固有频率 当两个弹簧并联时 其等效弹簧刚度等于两个弹簧刚度的和 该结论可推广到多弹簧并联的情形 PAG27 弹簧串联 两弹簧总静伸长 18 1单自由度系统的自由振动 每个弹簧受力均为物块重量 系统平衡时 两弹簧静伸长分别为 设串联系统等效弹簧刚度为keq 则 三 弹簧的并联与串联 PAG28 18 1单自由度系统的自由振动 等效弹簧刚度 弹簧串联 三 弹簧的并联与串联 串联系统固有频率 当两个弹簧串联时 其等效弹簧刚度的倒数等于两个弹簧刚度倒数的和 该结论可推广到多弹簧串联的情形 PAG29 扭振系统 圆盘对中心轴转动惯量为JO 刚性固结在扭杆的一端 圆盘相对固定端可转角度 扭杆的扭转刚性系数为kt 使圆盘产生单位扭角所需力矩 根据刚体转动微分方程建立圆盘转动运动微分方程 18 1单自由度系统的自由振动 四 其它类型的单自由度振动系统 扭振系统 多体系统 与无阻尼微分方程的标准形式相同 PAG30 受力分析 摆在水平平衡处 弹簧已有压缩量 0 由平衡方程 例18 4图示摆振系统 不计杆重 球质量为m 摆对轴O的转动惯量为J 弹簧刚度为k 杆于水平位置平衡 尺寸如图 求此系统微小振动的运动微分方程及振动频率 18 1单自由度系统的自由振动 解 取系统为研究对象 O k d l 平衡位置为原点 摆在任一小角度 处 弹簧压缩量为 0 d PAG31 摆绕轴O转动微分方程 18 1单自由度系统的自由振动 标准形式的无阻尼自由振动微分方程 摆振系统固有频率 以平衡点为原点 摆振系统的运动微分方程为标准的无阻尼自由振动微分方程 列方程时 可由平衡位置计算弹性变形 而不再计入重力 PAG32 运动规律 速度为 在t瞬时物块的动能 18 2计算固有频率的能量法 能量法从机械能守恒定律出发计算较复杂系统的固有频率 无阻尼振动系统自由振动时 物块运动为简谐振动 PAG33 对有重力影响的弹性系统 若以平衡位置为零势能点 则重力与弹性力势能之和相当于由平衡位置计算变形的单独弹性力势能 18 2计算固有频率的能量法 系统势能V为弹簧势能与重力势能的和 选平衡位置为零势能点 PAG34 18 2计算固有频率的能量法 当物块处于平衡位置时 其速度最大 物块具有最大动能 当物块处于偏离振动中心的最远点时 其位移最大 系统具有最大势能 无阻尼自由振动系统是保守系统 其机械能守恒 PAG35 图示在水平面匀速运动的均质圆柱质量为m 半径为r 弹簧刚性系数为k 摩擦足够 但不考虑摩擦阻力偶 求系统微振固有频率 取平衡位置为系统原点 受力如图 18 2计算固有频率的能量法 由机械能守恒 对保守系统 由可列出系统运动微分方程 得到系统固有频率 PAG36 18 2计算固有频率的能量法 PAG37 则系统振动时摆杆的最大角速度 计算最大动能和最大势能 最大动能 18 2计算固有频率的能量法 例18 5图示摆振系统 摆杆AO对铰链点O的转动惯量为J 在杆的点A和B各安置一个刚度分别为K1和K2的弹簧 系统在水平位置处于平衡 求系统作微振时的固有频率 设摆杆作自由振动时 其摆角 变化规律为 解 取摆杆为研究对象 PAG38 最大势能 两弹簧最大势能之和 应用机械能守恒定律 18 2计算固有频率的能量法 最大动能 PAG39 由运动学知 圆柱体纯滚动时 角速度 分析运动规律 设t时刻 圆柱体微振角为 设 的变化规律为 例18 6图示一质量为m 半径为r的圆柱体 在一半径为R的圆槽上作无滑动的滚动 求圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率 18 2计算固有频率的能量法 解 取圆柱为研究对象 PAG40 18 2计算固有频率的能量法 计算系统机械能 圆柱在最低处平衡 取该处圆心位置为零势能点 系统的势能即重力势能为 PAG41 系统的最大动能 系统的最大势能 应用机械能守恒定理 18 2计算固有频率的能量法 PAG42 振动过程中的阻力 粘性阻尼力 c 粘性阻尼系数 18 3单自由度系统的有阻尼自由振动 一 阻尼 介质阻尼 阻尼类型 结构阻尼 库仑阻尼 粘性阻尼 当振动速度不大时 介质粘性引起的阻力与速度一次方成正比 较多 设振动质点的速度为v 负号表示方向 PAG43 振动过程中的阻力 振动系统中存在粘性阻尼时 常用阻尼元件c表示 一般的机械振动系统都可简化为 由惯性元件 m 弹性元件 k 阻尼元件 c 组成的系统 18 3单自由度系统的有阻尼自由振动 一 阻尼 上节研究的振动是不受阻力作用的 振动的振幅是不随时间改变的 振动过程将无限地进行下去 实际中的振动系统由于存在阻力 而不断消耗着振动的能量 使振幅不断地减小 直到最后振动停止 PAG44 物块振动微分方程 粘性阻尼力 恢复力 以平衡位置O为坐标原点 18 3单自由度系统的有阻尼自由振动 二 振动微分方程 不计重力 振动过程中作用在物块上的力 方向指向平衡位置O 方向与速度方向相反 PAG45 物块振动微分方程 有阻尼自由振动微分方程的标准形式 18 3单自由度系统的有阻尼自由振动 两个特征根为 特征方程 设其解为 方程通解为 二阶齐次常系数线性微分方程 PAG46 1 小阻尼 n 特征根为共轭复数 微分方程的解 有阻尼自由振动的圆频率 18 3单自由度系统的有阻尼自由振动 A和 为积分常数 由运动的初始条件确定 阻尼系数 PAG47 运动图线 衰减振动 振动的振幅随时间不断衰减 衰减振动周期 18 3单自由度系统的有阻尼自由振动 PAG48 将质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置所需时间称为衰减振动周期 记为Td 18 3单自由度系统的有阻尼自由振动 这种振动不符合周期振动定义 不是周期振动 但仍围绕平衡位置往复运动 仍具振动特点 阻尼比 振动系统中反映阻尼特性的重要参数 PAG49 小阻尼下 阻尼比 有阻尼自由振动周期 圆频率 频率 18 3单自由度系统的有阻尼自由振动 T f和 n为无阻尼自由振动的 表明 由于阻尼的存在 系统自由振动的周期增大 频率减小 PAG50 空气中的振动系统阻尼较小 振幅减缩率 任意两相邻振幅之比为一常数 故衰减振动的振幅呈几何级数减小 很快趋近于零 小阻尼情况下 阻尼对自由振动的频率影响较小 对振幅影响较大 振幅呈几何级数下降 18 3单自由度系统的有阻尼自由振动 衰减振动运动规律 相当于振幅 一个周期Td后 系统最大偏离值 设在某瞬时ti 振动达到的最大偏离值 两相邻振幅之比 PAG51 对数减缩率 是反映阻尼特性的一个参数 与阻尼比 之间只差2 倍 对数减缩率 两端取对数 阻尼比 0 05时 可算出振动频率只比无阻尼时下降0 125 而振幅衰减率为0 7301 10个周期后 振幅只有原振幅的4 3 对数减缩率与阻尼比的关系 18 3单自由度系统的有阻尼自由振动 PAG52 2 临界阻尼 n 特征根为两相等实根 微分方程的解 物体运动随时间的增长而无限趋于平衡位置 运动已不具有振动的特点 18 3单自由度系统的有阻尼自由振动 C1和C2为积分常数 由运动的初始条件确定 PAG53 3 大阻尼 n 特征根为两不等实根 微分方程的解 18 3单自由度系统的有阻尼自由振动 运动图线 不再具有振动性质 PAG54 阻力偶系数 圆盘绕杆轴转动微分方程 例18 6图示一弹性杆支持的圆盘 弹性杆扭转刚度为kt 圆盘对杆轴的转动惯量为J 如圆盘外缘受到与转动速度成正比的切向阻力 而圆盘衰减扭振的周期为Td 求圆盘所受阻力偶矩与转动角速度的关系 18 3单自由度系统的有阻尼自由振动 盘外缘切向阻力与转动速度成正比 则此阻力偶矩M与角速度 成正比 且方向相反 解 取圆盘为研究对象 PAG55 解出阻尼系数 18 3单自由度系统的有阻尼自由振动 PAG56 m m 解 求出对数减缩率 阻尼比 临界阻尼系数 阻尼系数 例18 7图示弹簧质量阻尼系统 物块质量为0 05kg 弹簧刚度k 2000N m 系统发生自由振动 测得其相邻两个振幅之比 求系统的临界阻尼系数和阻尼系数各为多少 O c k 18 3单自由度系统的有阻尼自由振动 PAG57 交流电通过电磁铁产生交变的电磁力引起的振动 弹性梁上的电动机由于转子偏心在转动时引起的振动 受迫振动 在外加激振力作用下的振动 18 4单自由度系统的无阻尼受迫振动 简谐激振力 周期变化的激振力 H 激振力力幅 激振力的圆频率 激振力初相位 PAG58 m 取平衡位置为原点 向下为正 质量为m的物块受恢复力Fk和激振力F作用 质点运动微分方程为 无阻尼受迫振动微分方程的标准形式 18 4单自由度系统的无阻尼受迫振动 一 振动微分方程 PAG59 18 4单自由度系统的无阻尼受迫振动 二阶常系数非齐次线性微分方程 解由两部分组成 齐次方程的通解为 b为待定常数 设特解为 将x2代入无阻尼受迫振动微分方程 得 PAG60 无阻尼受迫振动微分方程的全解 18 4单自由度系统的无阻尼受迫振动 无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的 第一部分是频率为固有频率的自由振动 第二部分是频率为激振力频率的受迫振动 实际振动系统存在阻尼 自由振动部分会很快衰减掉 我们着重研究第二部分稳态的受迫振动 PAG61 18 4单自由度系统的无阻尼受迫振动 二 受迫振动的振幅 在简谐激振条件下 系统的受迫振动为谐振动 其振动频率等于激振力的频率 振幅的大小与运动初始条件无关 与振动系统的固有频率 n 激振力的力幅H 激振力频率 有关 PAG62 若 0 激振力为一恒力 不振动 振幅b0为静力H作用下静变形 振幅b与激振力频率 之间关系 若0 n b 当 n时 振幅b将趋于无穷大 若 n b为负值 习惯上把振幅都取为正值 因而取其绝对值 而视受迫振动与激振力反向 相位应加或减180 18 4单自由度系统的无阻尼受迫振动 b 当 时 振幅b将趋于0 PAG63 振幅b与激振力频率 之间关系 18 4单自由度系统的无阻尼受迫振动 PAG64 当 n时 即激振力频率等于系统固有频率时 振幅b在理论上趋向无穷大 这种现象称为共振 设特解为 无阻尼受迫振动微分方程 无意义 18 4单自由度系统的无阻尼受迫振动 三 共振现象 PAG65 它的幅值为 共振时受迫振动的运动规律为 18 4单自由度系统的无阻尼受迫振动 当 n时 系统共振 受迫振动的振幅随时间无限地增大 其运动图线如图示 实际系统由于存在阻尼 共振振幅不可能达到无限大 但共振时振幅都相当大 往往使机器产生过大的变形 甚至造成破坏 因此如何避免发生共振是工程中一个非常重要的课题 PAG66 m 解 设任一瞬时刚杆摆角为 建立系统运动微分方程 微分方程整理为 例18 8图示无重刚杆AO长为l 一端铰支 另一A水平悬挂在刚度为k的弹簧上 杆中点装一质量为m的小球 若在A处加一激振力F F0sin t 其中激振力的频率 1 2 n n为系统的固有频率 忽略阻尼 求系统的受迫振动规律 18 4单自由度系统的无阻尼受迫振动 k A O l 2 l 2 PAG67 将 1 2 n代入上式 研究受迫振动方程特解 18 4单自由度系统的无阻尼受迫振动 PAG68 解 取电机与偏心块为研究对象 作用在系统上的恢复力 质点系动量定理的微分形式 偏心块坐标 18 4单自由度系统的无阻尼受迫振动 例18 9图示带有偏心块的电动机固定在一根弹性梁上 设电机质量为m1 偏心块质量为m2 偏心距为e 弹性梁的刚性系数为k 求电机以角速度 匀速旋转时系统的受迫振动规律 设电机轴心在t瞬时相对其平衡位置O的坐标为x m1 m2 PAG69 此微分方程为质点受迫振动 激振力项m2e 2sin t 即电机旋转时 偏心块的离心惯性力在x轴方向的投影 18 4单自由度系统的无阻尼受迫振动 激振力力幅m2e 2等于离心惯性力的大小 激振力圆频率等于转子的角速度 这种情况引起的激振力的力幅与激振力的频率有关 PAG70 n时 振幅随频率增大而减小 最后趋于m2e m1 m2 n时 振幅从零开始 随频率增大而增大 振幅频率曲线 n时 振幅趋于 受迫振动振幅 18 4单自由度系统的无阻尼受迫振动 PAG71 测振仪弹簧悬挂点的运动规律 例18 10图示测振仪的物块质量为m 弹簧刚度为k 测振仪置于振动物体表面 随物体而运动 设被测物体的振动规律为s esin t 求测振仪中物块的运动微分方程及其受迫振动规律 18 4单自由度系统的无阻尼受迫振动 s s x O x 解 取测振仪为研究对象 若弹簧原长为l0 st为静伸长 设t时刻物块坐标为x 弹簧变形量为 位移分析 取t 0时的平衡位置为坐标原点O x轴如图 PAG72 物块运动的微分方程 无阻尼受迫振动 18 4单自由度系统的无阻尼受迫振动 物块受迫振动形式 激振力的力幅 绝对运动振幅 PAG73 测振仪壳体运动振幅为e 记录纸上画出振幅为物块相对于测振仪的振幅a b e 当 n 时 b 0 有a e 一般测振仪m较大 k很小 使 n很小 当检测频率 不太低的振动时 物块几乎不动 记录纸上画出的振幅也就接近于被测物体的振幅 18 4单自由度系统的无阻尼受迫振动 PAG74 各力在坐标轴上投影 取重物平衡位置O为坐标原点 坐标轴铅直向下 运动微分方程 18 5单自由度系统的有阻尼受迫振动 图示有阻尼振动系统 物块质量为m 物块上作用有线性恢复力Fk 粘性阻尼力Fc和简谐激振力Fs PAG75 运动微分方程 18 5单自由度系统的有阻尼受迫振动 有阻尼受迫振动微分方程的标准形式 二阶线性常系数非齐次微分方程 其解由两部分组成 x1 齐次方程的通解 小阻尼 n n 情形下 PAG76 x2 齐次方程特解 将x2代入运动微分方程得 18 5单自由度系统的有阻尼受迫振动 运动微分方程 设其形式为 受迫振动的相位落后于激振力的相位角 PAG77 将右端改写为 18 5单自由度系统的有阻尼受迫振动 对任意瞬时t 必须满足 PAG78 A和 为积分常数 由初始条件确定 联立后可得 得微分方程通解 有阻尼受迫振动由两部分合成 第一部分是衰减振动 第二部分是受迫振动 18 5单自由度系统的有阻尼受迫振动 PAG79 由于阻尼的存在 第一部分振动随时间增加很快衰减 这段过程称为过渡过程 瞬态过程 过渡过程是很短暂的 过渡过程之后 系统进入稳态过程 18 5单自由度系统的有阻尼受迫振动 PAG80 有阻尼存在 简谐激振力下的受迫振动仍为谐振动 振动频率等于激振力频率 振幅不仅与激振力力幅有关 还与激振力频率 以及振动系统参数m k和阻力系数c有关 运动方程特解 18 5单自由度系统的有阻尼受迫振动 研究稳态过程 振幅 PAG81 无量纲化 横轴表示频率比 n 纵轴表示振幅比 b b0 阻尼的改变用阻尼比 c cc n n表示 18 5单自由度系统的有阻尼受迫振动 PAG82 不同阻尼条件下受迫振动的振幅频率曲线 阻尼对振幅的影响程度与频率有关 当 n时 阻尼对振幅影响甚微 可忽略阻尼 18 5单自由度系统的有阻尼受迫振动 当 n 即 1 时 振幅显著增大 阻尼对振幅影响明显 即阻尼增大 振幅显著下降 PAG83 振幅bmax具有最大值 这时频率 称为共振频率 一般情况下 1 可认为共振频率 n 当 n时 阻尼对振幅影响也较小 可忽略阻尼 18 5单自由度系统的有阻尼受迫振动 共振频率下的振幅 共振振幅 PAG84 有阻尼受迫振动的位相总比激振力落后一个相位角 称为相位差 表达了相位差随谐振力频率的变化关系 由微分方程的特解 18 5单自由度系统的有阻尼受迫振动 PAG85 相位差总是在0 至180 区间变化 是一单调上升曲线 共振时 n 90 阻尼值不同的曲线都交于这一点 越过共振区后 随着 的增加 相位差趋近180 这时激振力与位移反相 相频曲线 18 5单自由度系统的有阻尼受迫振动 PAG86 解 取系统为研究对象 m 设刚杆振动摆角为 由动量矩定理得 例18 10图示无重刚杆一端铰支 距铰支端l处有一质量为m的质点 2l处有一阻尼系数为c的阻尼器 3l处有一刚度为k的弹簧 并作用一简谐激振力F F0sin t 刚杆在水平位置平衡 试列出系统的振动微分方程 并求系统的固有频率 n以及当激振力频率 等于 n时质点的振幅 18 5单自由度系统的有阻尼受迫振动 受力分析 建立系统振动微分方程 PAG87 n时 其摆角 的振幅 质点的振幅 18 5单自由度系统的有阻尼受迫振动 PAG88 工程中的回转机械 如涡轮机 电机等 在运转时经常由于转轴的弹性和转子偏心而发生振动 当转速增至某特定值时 振幅会突然加大 振动异常激烈 当转速超过这个特定值时 振幅又会很快减小 使转子发生激烈振动的这个特定转速称为临界转速 18 6转子的临界转速 PAG89 18 6转子的临界转速 单圆盘转子垂直装在无质量的弹性转轴上 圆盘质量为m 质心为C A为圆盘与转轴交点 偏心距e AC O为z轴与圆盘交点 rA OA为转轴上点A的挠度 变形 圆盘与转轴以 匀速转动时 由于惯性力的影响 转轴发生弯曲而偏离轴线z 圆盘惯性力的合力Fg过质心 背离轴心O 大小为Fg m 2OC 作用在圆盘上的弹性恢复力F指向轴心O 大小为F krA k为轴的刚度系数 设转轴安在圆盘中点 当轴弯曲时 圆盘仍绕点O匀速转动 PAG90 由达朗伯原理 惯性力Fg与恢复力F相互平衡而点O A C应在同一直线上 且有 解出A点挠度 18 6转子的临界转速 PAG91 当转动角速度从0逐渐增大时 挠度rA也逐渐增大 18 6转子的临界转速 当 n时 rA趋于无穷大 实际上由于阻尼和非线性刚度的影响 rA为一很大的有限值 使转轴挠度异常增大的转动角速度称为临界角速度 cr 它等于系统的固有频率 n 此时的转速称为临界转速 记为ncr PAG92 当 cr时上式为负值 取rA绝对值 18 6转子的临界转速 再增大时 挠度值rA迅速减小而趋于定值e 偏心距 此时质心位于点A与点O之间 当 cr时 rA e 这时质心C与轴心点O趋于重合 即圆盘绕质心C转动 这种现象称自动定心现象 PAG93 18 6转子的临界转速 偏心转子转动时 由于惯性力作用 弹性转轴将发生弯曲而绕原几何轴线转动 称 弓状回转 轴承压力的方向周期性变化 当转子角速度接近临界角速度 转轴的变形和惯性力都急剧增大 轴承承受很大动压力 机器会发生剧烈振动 一般情况下 转子不允许在临界转速