第12章_动能定理.ppt

理论力学 PAG2 第十二章动能定理 综合运用动量定理 动量矩定理和动能定理分析较复杂的动力学问题 动量定理 动能定理 动量矩定理 用矢量法研究动力学问题 PAG3 力的功 质点和质点系的动能 功率 功率方程 机械效率 动能定理 势力场 势能 机械能守恒定律 普遍定理的综合应用 第十二章动能定理 PAG4 代数量 单位 J 焦耳 常力在直线运动中的功 变力在曲线运动中的功 元功 1J 1N m 力在全路程上作的功等于元功之和 12 1力的功 一 功 度量力在路程上累积的效果 PAG5 元功 取固结于地面的直角坐标系为质点运动的参考系 i j k为三坐标轴的单位矢量 作用力F在质点从M1到M2的运动过程中所作的功 当力始终与质点位移垂直时 该力不作功 12 1力的功 PAG6 质点系 重力作功只与运动始末位置有关 与运动轨迹形状无关 1 重力的功 质心始末位置高度差 12 1力的功 二 常见的功 PAG7 弹性力 2 弹性力的功 12 1力的功 二 常见的功 PAG8 弹性力的功 12 1力的功 二 常见的功 弹性力的功只与弹簧始末的变形量 有关 而与力作用点A的轨迹形状无关 1 2时 弹性力作用正功 1 2时 弹性力作负功 PAG9 3 定轴转动刚体上作用力的功 12 1力的功 二 常见的功 作用在刚体上的是力偶 MZ为力偶对转轴z之矩 等于力偶矩矢M在z轴上的投影 作用于转动刚体上力的功 力矩的功 PAG10 4 平面运动刚体上力系的功 12 1力的功 二 常见的功 平面运动刚体上力系的功等于刚体上所受各力作功的代数和 也等于力系向质心简化所得主矢和主矩作功之和 质心C由C1移到C2 同时刚体又由 1转到 2角度时 力系所作的功 力系向质心简化所得的主矢 力系向质心简化所得的主矩 PAG11 解 例12 1杆长l 质量m 弹簧原长l0 弹性系数k 把杆压在图示高度h 若松手后杆能达到竖直位置 求此时弹性力 重力的功 12 1力的功 PAG12 单位 J 焦耳 动能是标量 恒取正值 13 2质点和质点系的动能 一 质点的动能 PAG13 13 2质点和质点系的动能 二 质点系的动能 质点系内各质点动能的算术和 1 平移刚体 各质点速度相同 可以质心速度表示 2 定轴转动刚体 PAG14 13 2质点和质点系的动能 二 质点系的动能 3 平面运动刚体 平行轴定理 平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和 PAG15 运动分析 B A C 系统动能 例13 2某瞬时 重物A下降的速度为v 车轮C在地面上纯滚动 求此瞬时系统的动能 13 2质点和质点系的动能 PAG16 B A C 系统动能 13 2质点和质点系的动能 PAG17 动能定理的微分形式 质点动能的增量等于作用在质点上力的元功 13 3动能定理 一 质点的动能定理 质点运动微分方程的矢量形式 方程两边点乘 PAG18 动能定理的积分形式 在质点运动的某个过程中 质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功 13 3动能定理 一 质点的动能定理 动能定理的微分形式 质点动能的增量等于作用在质点上力的元功 PAG19 13 3动能定理 二 质点系的动能定理 质点系内任一质点的质量为mi 速度为vi 作用在该质点上的力为Fi 由质点动能定理的微分形式 质点系动能定理的微分形式 质点系动能的增量 等于作用于质点系全部力所作元功的和 PAG20 13 3动能定理 二 质点系的动能定理 质点系动能定理的微分形式 T1 质点系在某段运动过程起点的动能 积分得 T2 质点系在某段运动过程终点的动能 质点系动能定理的积分形式 质点系在某段运动过程中 起点和终点的动能改变量 等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和 PAG21 13 3动能定理 三 理想约束 约束力作功等于零的约束 1 光滑面约束 2 活动铰支座 固定铰支座和向心轴承 3 联接刚体的光滑铰链 中间铰 PAG22 13 3动能定理 三 理想约束 4 柔索约束 不可伸长的绳索 拉紧时 内部拉力的元功之和恒等于零 理想约束在应用动能定理时 只计算主动力所作的功 质点系内力作功之和不一定等于零 PAG23 应用动能定理解题的步骤如下 选取某质点 或质点系 作为研究对象 选定应用动能定理的一段过程 分析质点系运动 计算选定过程的起点和终点的动能 分析作用于质点系的力 计算各力在选定过程中所作的功 并求它们的代数和 应用动能定理建立方程 求解未知量 13 3动能定理 PAG24 解 取质点为研究对象 应用质点动能定理 质点位置 运动和力分析 例13 3质量为m的质点 自高处自由落下 落到下面有弹簧支持的板上 不计板和弹簧的质量 弹簧的刚性系数为k 求弹簧的最大压缩量 在这段过程中重力作功 动能 质点速度 由0 v1 13 3动能定理 PAG25 质点位置 应用动能定理 这段过程中重力作功 弹簧被压缩 质点速度减小到零时 弹簧压缩到最大值 max 弹簧力作的功 质点速度 由v1 0 13 3动能定理 PAG26 解 取质点为研究对象 应用质点动能定理 质点位置 运动和力分析 在这段过程中重力作功 动能 质点速度 0 0 弹簧力作的功 13 3动能定理 PAG27 解 取Yo yo为研究对象 C A 运动和力分析 Yo yo作平面运动 设质心为C点 A点为速度瞬心 例13 4Yo yo质量为70g 角速度为100rad s d 12mm 惯性半径 C 14mm 求Yo yo能上升的高度 Yo yo位置 Yo yo速度 由vC 0 动能 13 3动能定理 PAG28 应用动能定理 在这段过程中重力作功 13 3动能定理 PAG29 解 取圆柱和鼓轮为研究对象 运动和力分析 例13 5卷扬机的鼓轮在常力偶M作用下将圆柱沿斜坡上拉 鼓轮半径R1 质量m1 分布在轮缘上 圆柱半径R2 质量m2 均匀分布 设斜坡倾角为 圆柱只滚不滑 系统从静止开始运动 求圆柱中心C经过路程S时的速度和加速度 C P O 圆柱速度 由0 vC 圆柱位置 C经过路程S 13 3动能定理 PAG30 系统动能 在这段过程中力作的功 应用质点系动能定理 13 3动能定理 PAG31 求导计算加速度 13 3动能定理 PAG32 解 取摆锤为研究对象 运动和力分析 例13 6冲击试验机摆锤质量18kg 重心与转轴距离l 840mm 不计杆重 试验开始时 将摆锤升高到摆角 1 70o的地方释放 冲断试件后 摆锤上升的摆角 2 29o 求冲断试件所需能量 冲断试件前后 动能 摆锤速度 摆锤位置 这段过程中力作的功 13 3动能定理 PAG33 应用质点系动能定理 重力做功 冲断试件消耗功 13 3动能定理 PAG34 一 功率P 单位时间里力所作的功 13 4功率 功率方程 机械效率 功率的数学表达式 力的功率 切向力与力作用点速度的乘积 作用在转动刚体上的力的功率 力对转轴的矩与角速度的乘积 功率的单位 W 瓦特 或kW 千瓦 PAG35 二 功率方程 13 4功率 功率方程 机械效率 由质点系动能定理的微分形式 功率方程 质点系动能对时间的一阶导数 等于作用于质点系的所有力功率的代数和 工程实际中 PAG36 三 机械效率 13 4功率 功率方程 机械效率 机器对输入功率有效利用程度的度量 一般情况下机械效率 1 多级传动系统 PAG37 一 势力场 13 5势力场 势能 机械能守恒定律 力场 物体受大小 方向由所在位置确定的力作用 势力场 有势力 在势力场中物体受到的力 物体在力场内运动 作用于物体的力所作的功只与力作用点初始和终了位置有关 而与该点的轨迹形状无关 PAG38 二 势能V 在势力场中 质点从点M运动到任选的点M0 有势力所作的功称为质点在点M相对于点M0的势能 零势能点 任选的势能为零的点 13 5势力场 势能 机械能守恒定律 PAG39 1 重力场中的势能 零势能点 M0点 点M的势能 13 5势力场 势能 机械能守恒定律 三 常见的势能 PAG40 2 弹性力场中的势能 13 5势力场 势能 机械能守恒定律 三 常见的势能 零势能点 变形量为 0处 变形量为 处的弹簧势能 零势能点 弹簧自然位置处 变形量为 处的弹簧势能 PAG41 3 万有引力场中的势能 13 5势力场 势能 机械能守恒定律 三 常见的势能 质量为m1的质点受质量为m2的物体的万有引力F作用 零势能点 点A0 零势能点的矢径 质点在点A的势能 f 引力常数 取零势能点在无穷远处 r1 PAG42 13 5势力场 势能 机械能守恒定律 四 机械能守恒定律 由动能定理 机械能守恒定律 质点系仅在有势力的作用下运动时 其机械能守恒 M2 PAG43 应用机械能守恒定律解题的步骤如下 13 5势力场 势能 机械能守恒定律 选取某质点或质点系为研究对象 分析研究对象所受的力 所有作功的力都应为有势力 确定运动过程的始 末位置 确定零势能位置 分别计算两位置的动能和势能 应用机械能守恒定律建立方程 求解未知量 PAG44 解 取物体为研究对象 例13 8钢索绕在匀速转动的鼓轮D上 钢索下端质量m 250kg的重物以v 0 5m s匀速下降 当鼓轮突然被卡住时 求此后钢索的最大张力 钢索的刚性系数k 3 35 106N m 鼓轮匀速转动时 物体处于平衡状态 钢索的张力 钢索伸长量 自然位置 平衡位置 D 鼓轮被卡后 重物继续下降 当重物速度为零时 钢索张力最大 13 5势力场 势能 机械能守恒定律 PAG45 取运动过程的始 末位置 取重物平衡位置 为重力和弹性力的零势能点 重物平衡位置 钢索最大张力位置 位置 的势能 位置 的势能 位置 的动能 位置 的动能 13 5势力场 势能 机械能守恒定律 PAG46 应用机械能守恒定律 鼓轮被突然卡住后 钢索张力增大了5 9倍 13 5势力场 势能 机械能守恒定律 PAG47 13 6普遍定理的综合应用 PAG48 例13 9半径为r 质量为m的圆轮 受到轻微扰动后 在半径为R的圆弧上往复滚动 圆弧表面足够粗糙 以保证圆轮滚动时无滑动 求圆轮质心C的运动规律 解 取圆轮为研究对象 画受力图 取自然坐标系 运动分析 列刚体平面运动微分方程 C R r 小扰动时 12 6刚体的平面运动微分方程 PAG49 由初始条件求积分常数 12 6刚体的平面运动微分方程 PAG50 O 任一位置 方法二 机械能守恒定律 解 取圆轮为研究对象 取运动过程的始 末位置 取圆轮质心的最低位置O为重力场零势能点 圆轮在任一位置的势能 同一瞬时的动能 系统中 地面的法向约束反力和摩擦力不作功 只有重力作功 因此系统的机械能守恒 13 6普遍定理的综合应用 PAG51 小扰动时 13 6普遍定理的综合应用 PAG52 例13 10均质细杆长为l 质量为m 静止直立于光滑水平面上 当杆受微小干扰而倒下时 求杆刚刚达到地面时的角速度和地面约束力 解 取均质细杆为研究对象 运动和力分析 杆的位置 静止 杆端A左滑于任一角度