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数列求和 基础自查 特殊数列求和 公式法 1 等差数列前n项和 Sn 推导方法 2 等比数列前n项和Sn 推导方法 倒序相加法 乘公比 错位相减 1 分组求和 2 裂项相消 3 乘公比 错位相减 4 倒序相加 例如等差数列前n项和的推导 基础自查 几种常见数列求和方法 把一个数列分成几个可以直接求和的数列 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式 相加过程消去中间项 只剩有限项再求和 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 基础自查 几种常见裂项方法 设数列1 1 2 1 2 22 2n 1 的前n项和为Sn 则Sn的值为 A 2nB 2n nC 2n 1 nD 2n 1 n 2解析 解法一 特殊值法 易知S1 1 S2 4 只有选项D适合 故选D 解法二 通项an 1 2 22 2n 1 2n 1 Sn 21 1 22 1 2n 1 21 22 2n n 2n 1 n 2 答案 D 基础自查 练习热身 收获 1 要求Sn先看an 再选择方法 2 选择题有技巧 巩固练习 巩固练习 巩固练习 巩固练习 巩固练习 答案 B 答案 B 典例1 已知数列 an 是首项为a1 4 公比为q 1的等比数列 Sn是其前n项和 且4a1 a5 2a3成等差数列 1 求公比q 2 设An S1 S2 Sn 求An 解析 1 依题意有2a5 4a1 2a3 即2a1q4 4a1 2a1q2 整理得q4 q2 2 0 解得q2 1或q2 2 舍去 由于q 1 所以q 1 点评 对于等差数列和等比数列的求和问题 可直接套用它们的前n项和公式进行求解 值得注意的是 在等比数列中 其前n项和公式需对公比q的取值进行分类讨论 当q 1时 不能直接套用公式 尤其是当公比q是参数时 应对其分q 1和q 1两种情况进行讨论 类型二倒序相加法求和解题准备 将一个数列倒过来排列 反序 当它与原数列对应相加时 如果有公因式可提 并且剩余的项的和易于求得 则这样的数列可用倒序相加法求和 它是等差数列求和公式的推广 点评 此题实际上是运用了倒序相加法求得所给函数值的和 由此可以看出 熟练掌握重要的定义 公式的推导过程是非常重要的 它有助于同学们理解各种解题方法 强化思维过程的训练 当数列 an 满足ak an k 常数时 可用倒序相加法求数列 an 的前n项和 类型三错位相减法求和解题准备 1 若数列 an 是等差数列 数列 bn 是等比数列 由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为 anbn 当求该数列前n项和时 常常采用将 anbn 的各项乘公比 并向后错一项与 anbn 的同项对应相减 即可转化为特殊数列的求和 这样求和的方法称为错位相减法 2 错位相减法是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法 也是数列求和中经常用到的一种方法 典例3 求数列1 3a 5a2 7a3 2n 1 an 1的前n项和 其中a 0 点评 利用错位相减法求和的步骤是 在等式两边同乘等比数列 bn 的公比 将两个等式错位相减 利用等比数列前n项和公式求和 类型四裂项相消法求和解题准备 1 裂项相消法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 其实质是将数列中的某些项分解 然后重新组合 使之能消去一些项 最终达到求和的目的 点评 使用裂项相消法时 消去了哪些项 保留了哪些项 是否注意到由于数列 an 中每一项an均裂成一正一负两项 所以互为相反数的项合并为零后 所剩正数项与负数项的项数必是一样多 切不可漏写未被消去的项 未被消去的项有前后对称的特点 类型五分组转化法求和解题准备 1 有一类数列 既不是等差数列 也不是等比数列 但若把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合 就能转化为等差数列或等比数列 从而可以利用等差 等比数列的求和公式解决 这种求和方法叫分组转化法 2 此类问题求解的关键是要分析研究数列的通项公式 点评 本题容易忽视对x 1和x 1的讨论 事