方程根的数值解法.doc

毕 业 论 文题 目 方程根的数值解法 学生姓名 朱敏敏 专 业 数学与应用数学 2011年 2 月 28 日方程根的数值解法摘 要 对于线性方程根是很容易求解的，而对于非线性方程，由于方程的多样性，非线性方程根具有复杂性。利用数值解法解决非线性方程的求根问题。针对非线性方程根的几种常用数值解法，对方程根的解法进行简单的介绍和探讨。关键词：非线性方程 增值寻根法 二分法 迭代法 牛顿法 割线法AbstractThe root of linear equations is very easy to solve, and for nonlinear equations, the diversity of the equation, nonlinear equation with complex roots. Numerical Solution of Roots of nonlinear equations to solve the problem. Roots of nonlinear equations for the numerical solution of several commonly used on the Roots of a simple solution presented and discussed. Key words: nonlinear equation value dichotomy Root Law Newton secant method iteration method目 录1增值寻根法.4 1.1确定方程根的存在区间.4 1.2确定方程有根的区间后，利用增值寻根法求方程根的近视值.4 1.3用增值寻根法求值.42二分法.5 2.1确定方程根的存在区间.5 2.2利用二分法求方程根的具体步骤.5 2.3用二分法求值.53 迭代法.6 3.1简单迭代法 3.2收敛定理.6 3.3用迭代法求值.64 牛顿法.7 4.1牛顿法及其收敛性.7 4.2牛顿法的计算步骤.7 4.3用牛顿法求方程根.75 割线法.8 5.1割线法的基本思想.8 5.2用弦割法求值.8小结.8参考文献.91.增值寻根法1.1确定方程根的存在区间 增值寻根法的基本思想是，非线性方程f(x)=0的根是x*，从初值x0开始，按规定的一个初始步长h来增值。令xn+1=xn+h(n=0,1,2,.)，同时计算f(xn+1)。在增值的计算过程中可能遇到三种情形：（1） f(xn+1)=0，此时xn+1即为方程的根x*。（2） f(xn+1)和f(xn)同符号，这说明方程在xn，xn+1内无根。（3） f(xn+1)和f(xn)异号，即f(xn+1)f(xn)0,此时当f(x)在区间xn，xn+1上连续时，方程f(x)=0在区间xn，xn+1上一定有根，也就是说我们用增值寻根法找到了方程根的存在区间。Xn或xn+1均可视为根的近视值。1.2确定方程有根的区间后，利用增值寻根法求方程根的近视值 接下来就是要求出方程根x*在该区间内更精确的近视值。为此，我们可以再次使用增值寻根法。例如选新步长h1=h/10，这样得到的有根区间更小，从而得到更精确的x*。若精度不够，可重复使用增值寻根法，直到有根区间的长度|xn+1xn|(为所要求的精度)为止。此时f(xn+1)或f(xn)的值可近似认为是零，而xn+1或xn就是满足精度的方程的近似根。如图所示： 1.3用增值寻根法求值例1 用增值寻根法求方程f(x)=2x3+3x1=0的有根区间。解：取x0=-2,h=1,则计算结果如下表：x-2-101f(x)-23-6-14所以f(x)的有根区间为（0,1）。再取x0=0,h=0.1，计算结果如下表：x00.10.20.30.4f(x)-1-0.698-0.384-0.0450.328有此可知，f(x)=0的有根区间精确为（0.3，0.4）。以此类推，可以得到更为精确的有根区间。2.二分法2.1确定方程根的存在区间 依据零点定理可知，若函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)与 f(b)异号（即f(a) f(b)0），那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点（ab）使f()=0。为了以下讨论方便，设(a，b)内仅有唯一实根x*。 二分法的基本思想就是逐步对分区间a,b，通过判断两端点函数值乘积的符号，进一步缩小有根区间，将有根区间的长度缩小到充分小，从而求出满足精度的根的近似值，如图所示：2.2利用二分法求方程根的具体步骤 具体步骤如下：将区间a,b的中点记作x1,即x1=（a+b）/2，并计算f(x1)。同时记（a1，b1）=(a,b),如果此时f(x1)恰好等于0，则我们已经找到方程的根x*=x1。若f(x1)0，f(a1)f(x1)0，则记（a2，b2）=（a1,x1），如果f(x1)f(b1)0，则记（a2，b2）=（x1,b1）。在后两种情形区间（a2，b2）为新的有根区间。它包含在（a1，b1）里面，区间长度是（a1，b1）的一半。对新的有根区间（a2，b2）实施同样平分区间的方法，判断中点与两端点函数值乘积的符号求出(a3，b3)，它包含在（a2，b2）中，长度是（a2，b2）的一半，（a1，b1）的四分之一。重复上述做法，得：（a1，b1）（a2，b2）（an，bn），且。x* （an，bn），n=1,2,，。即序列xn以等比数列的速度收敛于x*。此时我们可以取xn作为x*的近似值。2.3用二分法求值例2 用二分法求方程f(x)=x2-x-1=0的正根，精确到10-3。解：利用二分法计算结果如下表：nanbnxnf(x)1121.50.875211.51.25-0.29687531.251.51.3750.224609441.251.3751.3125-0.051513751.31251.3751.343750.082611161.31251.343751.3281250.01457671.31251.3281251.3203125-0.018710681.32031251.3281251.3242188-0.002127891.32421881.3281251.32617190.0062089101.32421881.32617191.32519540.0020369 x*-xn(b10-a10)/2=0.000976610-3，迭代10次，近似根x10=1.3251954即为所求。3.迭代法3.1简单迭代法 迭代法是一种逐步逼近的方法。将f(x)变成另一种等价形式x=(x)，设x*为方程的根，选取某一近视值x0a,b，则按递推关系xk+1=(xk)，k=0,1,，产生迭代序列xk。这种方法称为简单迭代法。3.2收敛定理压缩不动点定理或压缩印象定理： 若迭代函数g(x)满足（1）g(x)a,b,xa,b;(2)0L1,使x,xa,b,有|g(x)-g(x)|L|x-x|则10 x=g(x)在a,b内有唯一解x*; 20 对x0a,b，由xk+1=g(xk)得到xka,b,且； 30 有误差估计：; 40 若g(x*)存在，则。3.3用迭代法求值例3 用简单迭代法求的近似值。解： 设x=1，则x(x+2)=1所以求的近似值转化为求转化为求方程x(x+2)=1的正根，列出等价方程： ，以为迭代函数，以x0=0为初始近似值，得到迭代序列：取作为1的近似值，得=1+ 1.4142157。.下证序列收敛于1，只要证满足上述收敛定 理，即证g(x)=在某个区间上满足上述收敛定理的条件。 取区间为0,，对x0,，g(x)=0,，又u、v 0,，|g(u)g(v)|=。所以g(x)在0,上满足收敛定理。则迭代法收敛。即1.4142157就是的近似值。4牛顿法4.1牛顿法及其收敛性 牛顿法是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程f(x)=0逐步归结为某种线性方程来求解。设已知方程f(x)=0有近似根xk（假定f(xk)0），将函数f(x)在点xk展开，有f(x)f(xk)+f(xk)(xxk),于是方程f(x)=0可近似的表示为f(xk)+f(xk)(xxk)=0。这是个线性方程，记其根为f(xk+1)，则xk+1的计算公式为（k=0,1,），这就是牛顿法。 牛顿迭代收敛定理：设f(x)在区间a,b上二阶导数存在，且f(a)f(b)0，则牛顿迭代序列xk收敛于方程f(x)=0，在a,b的唯一根。4.2牛顿法的计算步骤步骤1 准备 选定初始近似值x0,计算f0=f(x0)，f0=f(x0)。步骤2 迭代 按公式x1=x0f0/f0，迭代一次得新的近似值x1，计算f1=f(x1)，f1=f(x1)。步骤3 控制 如果x1满足，则终止迭代，以x1作为所求的根；否则转步骤4。这里是允许误差，而其中C是取绝对误差或相对误差的控制常数，一般可取C=1。.步骤4 修改 如果迭代次数达到预先指定的次数，或者f1=0，则方法失败；否则以（x1,f1,f1）代替（x0,f0,f0）转步骤2继续迭代。4.3用牛顿法求方程根例4 用牛顿法解方程xex1=0解：这里牛顿公式为，取迭代初值x0=0.5，迭代结果列于下表：kxk00.510.5710220.5671630.56714题中所给方程实际上是方程x=e-x的等价形式，若有不动点迭代到同一精度要迭代17次，可见牛顿法德收敛速度是很快的。5割线法5.1割线法的基本思想 在牛顿迭代格式（k=0,1,）中，将曲线y=f(x)上点（xk，f(xk)的切线斜率f(xk)，改为其上两点连线的斜率则得双点或单点弦割法迭代格式 (k=1,2,)5.2用弦割法求值例5 用割线法求方程xex-1=0在0.5附近的根（=10-4）。解：取x0=0.5，x1=0.6，由迭代公式求得下表kX1xk-xk-100.5010.6020.567540.0324630.56715-0.0003640.56714-0.00001故x*=0.56714，满足精度要求。小结 非线性方程求根的问题一直都是学习的重要一章内容。选择使用某种方法，应保证迭代收敛，收敛速度快，计算量少。实际计算时，最好先判断收敛性；但也不妨先试算几步，检查迭代序列是否收敛。对于收敛慢，甚至发散序列，可用加速技术加速收敛。以上介绍的五种方法，都比较简单，对于我们在学习非线性方程求根方面有很多的帮助。参考文献1 李乃成，邓建中.数值计算方法M.西安：西安交通大学出版社.2002.2 魏毅强，张建国，张洪斌等编.数值计算方法M.北京：科学出版社.2004.3 陈文娟.论方程根的数值解法.