参数方程的应用.doc

参数方程的应用在数学解题方法中，参数法是给人印象最深的一种，对参数方程中参数的几何意义和物理意义的了我解，是正确选取参数的前提，正确的选取参数，往往能使得一些看似复杂的问题，变得简单。一、利用参数方程求点的坐标例1、已知直线1经过点P（1，2），且倾斜角为 ，求直线1上到点P的距离为 的点的坐标。分析：写出1的参数方程之后，要求点的坐标，关键在于对参数t的几何意义的了解。解：直线1的参数方程为x=1+tCos x=1+ t （t为参数）y=2+tStn即y=2+ t在直线1上到点P的距离为 的点所对应的参数t满足|t|= 即t= ，代入1的参数方程，得 或 。所以，所求点的坐标为（3，4）和（-1，0）例2、已知P为圆x2+y2-6x-8y+21=0上一点，且A（-1，0），B（1，0），求使|AP|2+|BP|2为最小值的点P的坐标（x,y）。分析：将圆配方，(x-3)2+(y-4)2=4,圆上动点P用参数形式给出，可使问题简化。解：配方，得（x-3）2+(y-4)2=4圆的参数方程为设P(3+2cos，4+2sin)为圆上任意一点，则|AP|2+|BP|2=(3+2cos+1)2+(4+2sin)2+(3+2cos-1)2+(4+2sin)2=60+8(3cos+4sin)=60+40sin(+)(其中：=arctan )当sin(+)=-1时，|AP|2+|BP|2=取得最小值20。此时，+= , = -cos=-sin=- ,sin=-cos=-所求点P坐标为（ ， ）一、利用参数方程求长度x=2+tcosy=1+tsiny=1+tsin例3、已知椭圆 + =1，和点P（2，1），过P作椭圆的弦，使P是弦的中点，求弦长。解：设弦所在的直线方程为： （t为参数）代入椭圆方程，得(2+tcos)2+4(1+tsin)2=16化简：得(cos2+4sin2)2+4(cos+2sin)-8=0P为中点，弦长= =例4、已知两圆x2+y2=9和（x-3）2+y2=27,求大圆被小圆截得劣弧的长度。分析：两圆交于A、B两点，大圆圆心（3，0），要求出大圆被小圆截得劣弧的长，就要设法找出的大小，又由两圆对称性可知，只要找出A C与x轴正向夹我有即可。解：设A点的坐标为根据两圆的对称性可设（3+3 cosa，3 sina）。根据两圆的对称性可设a，A也在小圆在，则有（3+3 cosa）2+(3 sina)2=9即18 cosa=-27,cosa=-于是，a= ，ACB=大圆被小圆截得劣弧长为 = 二、利用参数方程求最值例5、已知椭圆方程为 ，求它的内接矩形的面积的最大值，x=acosy=btsiny=1+tsin解：椭圆参数方程为 (为参数)设椭圆内接矩形的一个顶点为(acos,bsin) (为锐角)则矩形面积S=4acosbsin=2absin22abSmax=2ab例6、如图，已知点P在圆上x2+(y-2)2= 上移动，点Q在椭圆x2+4y2=4上移动，求|pQ|的最大值。解：|pQ|PO|+|OQ|= +|OQ|设Q(2cosa,sina)，而O（0,2）则|OQ|2=4cos2a+（sina-2）2=-3（sina+ ）2+ |OQ|pQ| |pQ|的最大值是 四、利用参数方程求轨迹例7，已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)，B为抛物线上任意一点，点p在线段AB上，且有BP：PA=1：2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程。分析：设点p的坐标为(x，y)，点B的坐标为（x0+y0），由于AP：BP=2：1，得x= ，y=即x0= ，y0=由于B(x0，y0)的抛物线y2=x+1上，或y20= x0+1将代入，得( )2= +1化简得3 y2-2x-2y+1=0即x= y2-y+即x= y2 ，此轨迹为抛物线。例8，MON=60，边长为a的正三角形APB在MON内滑动，使得A始终在OM上，且O、P两点在AB两侧，求P点的轨迹方程。分析建立坐标系后，根据已知条件可知P的位置由PBN的变化决定，设PBN=，为参数，只需批出P的坐标（x，y）与的关系式，可以得出P点的轨迹的参数方程，参数可分为普遍方程。解：如图建立起直角坐标系，设P（x，y），/PBN=，为参数，且0AOB=AVP= OAB=PBN=0在OB中， ，OB=x=OB+acos= asin+acosy=asiny=1+tsin消去得（x- y）2+ y2=a2即3x2-4 xy+7y2-3a2=0而x= asin(+actan )(其中0 )则arctan +arctan +arctan