第2章 极限与连续.doc

第二章 极限与连续第一讲 数列的极限教学内容1. 数列极限的定义;2收敛数列的性质.教学目的与要求1理解数列的概念； 2了解数列极限的的定义，在学习过程中要逐步加深对极限思想的理解； 3理解收敛数列的有界性，极限的唯一性等性质.教学重点与难点极限概念及其计算，极限的精确定义，利用定义求极限.教学学时 22.1 数列的极限一、数列数列 按照一定顺序排列着的无穷多个数，记为， 叫数列的一般项或通项.如： 1，-1，通项；，通项.几何上，数列可视为数轴上一动点，它依次取数轴上点.从这个意义上讲，数列又可视为定义在自然数集上的一个函数，当自变量依次取1，2，3，时，对应的函数值就排成数列.二、数列的极限直观定义：极限是数列稳定的变化趋势.观察数列，可见当无限增大时，无限接近1；即当无限增大时，与1的距离无限接近0；也即是说，当无限增大时，与1的距离可以任意小；即是说，无论事先给定一个怎样小的正数，总可以在无限增大的过程中找到一个确定的，在项之后，距离很小并保持比事先给定的那个正数更小.具体说来，当给定的正数为时，可取为大于10的整数；当给定的正数为时，可取为大于100的整数；当给定的正数为时，可取为大于10000的整数；当给定时，取大于的整数.精确定义（定义）：对数列，当时有，则称为的极限，记为.此时亦说收敛于，否则称发散.注1：的理解，是事先给定的正数，它具有两重性.（1）任意性：这样，才能保证与无限接近，即任意小.（2）相对固定性：只有这样，才能由此找到N，使.注2：是什么数，怎样找，它与什么有关，是否唯一？（1）是数列中项数的取值，故为某一正数，它由确定.（2） 找的方法：由出发解不等式得，取（或）.不过，有时为了使不等式，需要采取适当放大（）.要，只要即可.由此解出，取.（3）由知，N与有关，越小，越大.（4）不唯一. 若，则都可以.数列以为极限的几何解释：定义 几何意义 任取开区间 存在一点当 以后的点都有 在内，而之外只有有限个点例1 用定义证明 （1）； （2）； （3）0.1，0.11，0.111，0.111，的极限为.证 （1），要 ，只要，即，即可取.当时有.故.(2) 由， ,要，只要即即可.故可以取，当时有. 故.（3）先写出数列通项， .，要，只要，即即可.故取，则当有.故.例2 问，并且当时，求出.解 分三步：（1）观察极限；（2）验证；（3）求.（1）观察知.（2），要，只要即即可.故取，当时，有，所以.（3）当时，.三、收敛数列的性质1. 唯一性：若收敛，则极限唯一.证 （反证法）设，且.取. 故，当时有，即，当时有，即，取，当时，有，同时成立.产生矛盾.2.有界性定义 对，若，使对一切有，则称有界，否则无界.定理 若收敛，则必有界.证 设，则，当时，有，从而有，取，当时，有，取，则对一切有有界.注意：有界是收敛的必要条件，非充分条件.如有界，但非收敛.推论：若无界，则一点发散.（反证法）作业：练习册等3次 第二讲 函数的极限教学内容1.自变量趋近无穷大时函数的极限;2.自变量趋近有限值时函数的极限;3.函数极限的性质.教学目的与要求1.理解函数极限的定义,能在学习过程中逐步加深对极限思想的理解; 2.了解函数极限的性质; 3.了解函数的左、右极限及其与函数极限的关系;4.了解函数的左、右极限及其与函数极限的关系.教学重点与难点函数极限的概念 教学时数 22.2 函数的极限一、时的极限 1.朴素语言：如在的过程中，函数值无限接近于确定常数，那么叫做函数当时的极限. 2.精确定义：，当时，都有，则3.几何意义： 4.给定，怎样找方法：先化简，然后由解出，取即可.5.证明举例例：用定义证明证 ，要，只要即即可.取，当时就有，. 注：有定义：，当时，都有，则. 有定义：，当时，都有，则. 同样.二、时的极限1.精确定义（定义）若，当时，有，则称为当时的极限.记作：或（） 注：是一个小正数，它不是任意给定的，找的方法与找的方法类似.先化简，要，只要解出.取，由此可知，与有关，不唯一.表示的去心邻域.因为极限只注重时，并不注重在时是否有意义，所以定义中加了可除外.2定义的几何解释3用定义验证极限举例 例1 证明. 证 ， ，要，只要，即即可. 取，当时，有. 例2 证明，并问可以使得时有.证 （1）， ，要,只要即即可. 故，当时有. （2）当时，.所以，取，当时有.例3 证明当时，.证 ， ，要，只要即可.所以为了保证，取则当有.4左、右极限左极限：当，而时，则称为的左极限.（精确描述），当时，有，则记为.右极限：当，而时，则称为的右极限.（精确描述），当时，有，则记为.左右极限与极限的关系： .由此可知：至少有一个不存在或存在不等时，则不存在.例：已知 证明不存在.证 ，即，故 不存在.作业：练习册第4次第三讲 极限的性质和运算法则教学内容1. 极限的性质;2. 极限运算法则. 3. 复合函数的极限教学目的与要求1. 了解极限的性质;2. 熟练掌握极限的四则运算法则. 教学重点与难点极限的性质,熟练求解极限. 教学时数 42.3 极限的性质和运算法则仅以函数当时的情况为例进行讨论, 其余的情形相类似.一、 极限的性质1. 极限的唯一性定理1(极限的唯一性) 设又则有 证明: 2. 极限的局部有界性定理2(收敛数列的有界性) 设则存在, 使得时,恒有(是常数). 证明: : 3. 极限的局部保号性定理3 如果(或A0(或f(x)0, 取正数e A, 根据极限的定义, 对于这个取定的正数e , 必存在着一个正数d , 当0|x-x0|d 时，不等式|f(x)-A|e ,或A-ef(x)0. 定理1 如果(A0), 则存在点的某一去心邻域, 在该邻域内, 有. 定理2 如果在x0的某一去心邻域内f (x)0(或f (x)0), 而且, 那么A0(或A0). 证明: 设f(x)0. 假设上述论断不成立, 即设A0, 那么由定理1就有x0的某一去心邻域, 在该邻域内 f(x)0, 这与f(x)0的假定矛盾. 所以A0. 二、极限的运算法则设有限，则有法则： （可推广到有限个）证 由，则且 ，而 法则：（可推广），特别地， ； .法则：法则：由证 记，由保号性即证.注意：应用法则时，要特别注意条件存在，否则法则不能用.例如：（）.注意：对有理整式（即多项式）求的极限，只要将代入函数中即可.例如：.注意：对有理分式，只要，则.若，则法则不能用. 例如：， 不能用商的法则 由于 原式 又 不能用商的法则，先消去零因子， .例如：.例 求解.解 原式分子与分母同除以得到例1. 求. 解: -1=21=1. 讨论: 多项式的极限 提示: 设多项式P(x)=a 0x n+a 1x n-1+ +a n, 则 =a0x0n+a1x0n-1+ +an=P(x0). 例2. 求. 解: . 例3. 求. 解: . 例4. 求. 解: , 根据无穷大与无穷小的关系得=. 讨论: 有理函数的极限提示: 当时, . 当且时, . 当Q(x0)=P(x0)=0时, 先将分子分母的公因式(x-x0)约去. 例5. 求. 解: 先用x3 去除分子及分母, 然后取极限: . 例6. 求. 解: 先用x3 去除分子及分母, 然后取极限: . 例7. 求. 解: 因为, 所以 . 讨论: 有理函数的极限 提示: . 三、复合函数的极限定理6 设函数u=j(x)当xx0时的极限存在且等于a, 即, 但存在点x0的某去心邻域内j(x)a, 又, 则复合函数fj(x)当x x0时的极限也存在, 且. 证明（略） 定理6 设, 在点x0的某去心邻域内j(x)a, 又, 则复合函数fj(x)当xx0时的极限也存在, 且 . 注: 把定理中换成或, 把换成可类似结果.作业：练习册等5次 第六讲 极限存在准则 两个重要的极限教学内容1. 两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界法则）;2. 两个重要的极限. 教学目的与要求1. 掌握两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界法则）;2. 熟练掌握极限的两个重要的极限及其应用. 教学重点与难点掌握两个极限存在准则, 熟练掌握两个重要极限及其应用 .教学时数 21.7 极限存在准则、两个重要极限一、极限存在准则1、夹逼定理准则（夹逼定理, 两边夹准则）：如果则. 证 由知，当时有，当时有取则当时，有，同时成立即 ，又 ，故当时，有，即 对于函数也有类似的准则.准则：如果； ；则.2.单调有界法则准则：单调有界数列必有极限.（数列收敛必有界，反之不真；但加上单调则收敛）该定理的证明超出了本书，下面只作几何解释如图， 单调数列的点只可能沿一个方向移动，故趋势也只可能有二：要么向右趋于无穷远，要么趋于某一常数A.但已知数列有界，故上述情形一不可能发生，这就只有情形二，所以数列有极限.利用准则可以证明第二重要极限：这里只就证明思路与步骤说一下，详细证明见书.证明分三步完成：证取正整数情况，即、将与比较得、对适当放大为等比数列前n项之和，从而证明.由准则存在，记为e二、两个重要的极限1. 利用准则可以证明下面的第一重要极限：.证 先证.由于，不妨设.作单位圆并设圆心角则 ， ， ， ，即 ， 从而有 或. ， 又 .一般有公式： （表面特性，本质特性“”）例1 .例2 .例3 .（或者原式）.例4 ，但 .2. 令，可得另外一种形式 一般情况， .例1 .例2 .例3 .或者原式.例4 已知，则. 左右，所以.例 . 令 . 由此可推出: 例 求.解: 例 求.解 令 , .特别地有： 若.作业：练习册等6次第七讲 无穷大量与无穷小量教学内容1. 无穷大量;2. 无穷小量;3. 无穷小量的比较.教学目的与要求1. 理解无穷小量与无穷大量的概念;2. 了解无穷小量与无穷大量的关系, 无穷小量与函数极限的关系;3. 熟练掌握无穷小的比较、等价无穷小量的性质及一些常见的等价无穷小. 教学重点与难点熟练掌握无穷小的比较、等价无穷小量的性质及一些常见的等价无穷小.教学时数 21.8 无穷大量与无穷小量一、无穷大量1.定义：若当时有，则称时，为无穷大量.记为（极限不存在）.注1：无穷大是满足的一个函数，并非很大的数.注2：无穷大也与极限过程有关.2.用定义证明无穷大量例 证明.证 要，只要，故取，当时有，即.二、无穷小量1. 定义 若，则称当时为无穷小量.精确定义 ，当时， .注 1.无穷小量是以0为极限的函数，并非很小的数.2.无穷小量与极限过程有关.2. 性质：性质1 有限个无穷小之和为无穷小.性质2 有界函数与无穷小之积为无穷小.证 设在某邻域内有界，. 则由定义，使对时有. 由知，当时，.于是取，则当时有.所以时，为无穷小量.例如：，则.推论1：常数与无穷小之积为无穷小.推论2：有限个无穷小之积也是无穷小.性质3：，其中.（此定理给出了极限和无穷小之间的关系） 证 由知，当时，.令，则有.是无穷小且. 由知，又，即，当时有，则.故.3.无穷大量与无穷小量的关系 或证，由知，对，当有，则，故.，由，对，当时，有，即，所以.三、无穷小的比较已知极限为0的函数为无穷小量，但它们趋于0的快慢程度往往不同，如 但 故有必要比较一下它们的快慢，这里用阶的概念来表示.1. 定义：设， 若 ，则称是比高阶无穷小，记；若 ，则称与同阶；若 ，则称是的阶无穷小；若 ，则称与等价，记.如：时， 与同阶， 2. 等价无穷小在求极限中可作代换以简化计算定理：若，且存在，则 . 证 .在使用中要注意：（1）要记准一些函数的等价无穷小；（2）代换时要么分子、分母一起换，要么只换分子或者分母，要么代换分子或分母中的部分因子，不可代换加式.时，等.例1 .或者原式.例2 （）.应该是 原式.例3 当时,都是无穷小, 因为 ,以及,所以, 当时, .例4 当时, ， .所以, 当时, . 例5 设为实数,容易验证,=所以, 当时, . 作业：练习册等7次第八讲 连续函数教学内容1. 函数的连续与间断;2. 连续函数的运算与初等函数的连续性;3. 闭区间上连续函数的性质.教学目的与要求1. 理解函数在一点连续的概念;2. 了解函数在一点处的左、右连续概念以及函数在一个区间上连续的概念;3. 会判断函数间断点及其类型; 4. 了解连续函数的和、差、积、商的连续性，知道反函数与复合函数的连续性;5. 知道连续函数的保号性;6. 了解初等函数的连续性；掌握用连续性计算初等函数的极限;7. 了解闭区间上连续函数的性质最大、最小值定理、有界性定理、零点定理和介值定理. 教学重点与难点连续函数的概念，间断点的分类;用连续性求极限、用闭区间上连续函数的性质证明一些问题教学时数 4一、函数的连续性与间断1、函数在一点的连续性定义1 设函数在的某领域内有定义记 -自变量增量 -函数增量若,则称函数在点处连续.几何解释：变量改变不大时，函数值也改变不大是函数连续的本质.定义2 设在的某邻域内有定义，若，则称函数在点处连续.定义3 （精确定义，了解）设函数在的某邻域内有定义，当时，有成立，则称函数在点处连续.定义4 左、右连续若，则称函数在点处左连续；若，则称函数在点处右连续.从而可得函数连续的充要条件： 2、函数在区间上的连续性设在区间I上有定义，若，则称函数在区间I上连续；若I为的定义域，则称函数为连续函数.对闭区间而言，端点的连续性分指左、右连续.注：对有理分式 ，若，则，故有理分式在其定义域内连续.前面还有，则在内连续.用精确定义还可证明在内连续.3、函数的间断点(1)、定义：若函数在处不满足连续性的三个条件之一，则称函数在点处不连续或间断，为的间断点或不连续点.(2)、类型第一类间断点：（1）（含不存在），则为可去间断点（可补充或修改定义使其连续）； （2）若，但，则为跳跃间断点. 第二类间断点：若、中至少有一个不存在，则称为第二类间断点. 如，振荡型 ，； 无穷型 ，.例1 求的间断点，并判断其类型.解 时无定义，故为的间断点当时， 为的第一类可去间断点此时若补充 ，则在处连续当时， 为的第二类无穷间断点例2 讨论 在处的连续性.解 ， ，二者不等 为的第一类跳跃间断点例3 讨论 的连续性.解 定义域为当时，连续； 当时，连续； 当时，连续； 当时， ，为的第一类跳跃间断点； 当时， ， ，且， 在处连续 纵上所述，在上连续.例4 研究 的连续性，若有间断点则判断其类型.解 先求的表达式：当时，；当时，；当时，；当时， 不存在，即在处无定义 故 下面讨论的连续性： 当或时，连续当时， 为的第一类跳跃间断点当时， 为的第一类跳跃间断点.二、连续函数的运算与初等函数的连续性1. 连续函数的四则运算定理3 在处连续，则、都在处连续. （可推广）2.反函数与复合函数的连续性定理4 单值单调连续函数的反函数也是单值单调连续的.证明略（见书）.如，在上单值单调连续，其反函数在上也是单值单调连续的定理5 设有，若（极限存在），（连续），则.证 ， ，当时，有又 ，对上述 ，当时，有 即 ， ，当时，有. 即， .如 ，由复合而成 ， 定理6 设有，若，则. （连续函数的复合