第三节 实数域和复数域.doc

第三节 实数域和复数域1实数和实数域前节所说的，用N中自然数序对作为新数整数，用Z中整数序对作为新数有理数，使数系扩充的方法，称为代数扩张但这种数系扩充法，并不都是成功的；有理数向实数的扩充，就不能套用上一节所用的代数扩张法(因这种扩充，需对极限运算封闭)但是从Q扩充到R，数系扩充原则和步骤，依然与前面一致(1)定义 含有有理数域为其子域的连续域R称为实数域，R的元素称为实数如果实数域R存在，它应当是由所有有理数基本列组成的序域事实上，设R的任一元素a都是某个有理数基本列an的极限则存在kN，使 |aka|1，从而 a1|ak|1|ak| 是有理数，有理数域是阿基米德序域，故存在nN，使n1|ak|故有na因此，R是阿基米德序域反之，设R是实数域，则对于任意aR及nN，存在m1，m2N，使 有上界(例如m1)又A非空(至少-m2A)，故A有最大数mZ，于是即limana即R中任意数a都是有理数基本列的极限若R1，R2是两个实数域，则它们的元素都是有理数基本列的极限现作映射f：R1R1，使对任意aR1，若liman=a，an为有理数基本列，an在R2中极限为a，则f(a)=a易知f是R1到R2的同构映射因此，符合定义的实数域在同构的意义上是唯一的(2)构造 设M是所有有理数基本列的集合在M中定义等价关系、加法、乘法及序如下：对任意an，bnM1anbn当且仅当lim(anbn)=0；2anbnanbn；3anbn anbn；4anbn当且仅当存在有理数0，及n0N，使当nn0时，bnan由有理数的性质知，上述基本列的加法、乘法满足结合律、交换律和分配律所定义的基本列的序，是全序作商集MR0，在R0中定义等价类的加法、乘法及序如下：对任意，R0，an，bn，1若anbn，则规定；2若anbn，则规定=；3若anbn ，则规定 不难验证，这样定义的运算及序与代表元的选取无关； R0中加法、乘法满足结合律、交换律和分配律若0，称为正元；若0，称为负元对任两正元，存在nN，使n 因此，R0是阿基米德序域.(3)嵌入设R1是R0中所有有理常数列a所代表的类的集合，R2是R0中其余的类所组成的集合，则R0=R1R2作映射f:R1Q，使f(a)=a则f是同构映射，因而(R1；，)与(Q；，)同构作集合R=QR2，R中的运算由f的扩张决定则R是通常所说的实数域R2中的实数，称作无理数有时为了方便，将正实数集合记为R实数集R的若干性质1有理数集Q在R中处处稠密 对任意两实数a，b，若ab，则必存在cQ，使acb2连续统 实数集R与直线上点集R1一一对应建立对应的方法如下：在直线l上取O点为原点，OA为单位，A点所在半直线为正向，建立直线坐标系第一次，以OA为单位，从O点开始，向左、右两边等分直线，得第一批分点(与单位端点重合的点)，它们对应全体整数划分直线，得第n批分点，其中pN，p1， n=2， 3，这样所得分点，连同第一批分点，对应全体有理数现令第n批分点中两个相邻分点之间(包括两端点)所有点组成之集为第n级子区间n，于是，直线l上每一点B，如果它不是某一批分点，它便包含于一系列子区间n之中，这些n形成一个区间套n：实数b这时规定B与b对应建立直线坐标系的直线 R1称为数直线，或实直线，或连续统；在它上面已不再有“洞”由于实数集R与实直线R1等价，以后不再区别R与R13实数表示成无尽小数形式由上可知，每一个实数都可以表示成p进制无尽小数方法如下：设a为正实数，它对应R1上区间套n(若a为有理数，是某些区间的端点，则规定它属于右边的区间)又令a1为1左端点对应的整数(自然数)； n1时，n左端点为n1中第an(an=0，1，2，p-1)个分点于是得到一个唯一确定的非负整数列(a1，a2，an，)(0aip，i=1，2，3，)反之，给出一个这样的非负整数列，可以确定唯一的一个区间套，从而唯一地确定一个实数我们将用上述方法得到的正实数a所对应的非负整数列(a1，a2，an，)记作a1a2a3an并称之为实数a的p进小数表示在同构的意义上，它与实数a是一样的，不妨写作aa1a2a3an对每个负实数a，-a0，故也可表示成无尽小数形式为方便起见，常取p=10，把实数表示成10进小数有理数可以表示成无尽循环小数，当循环节为0时，省略尾部所有的0，成为有限小数无理数则是无尽不循环小数4 R不是可数集这只须指出单位区间I=xRx1不可数即可，可用著名的“对角线法”证明如下：反证，假定I可数，其中数(纯10进小数)排成一列：a1=0a11a12a13a20a21a22a23an=0an1an2an3令b=0b1b2bn，其中显然，bI，但ban，n=1，2，3，这与I可数矛盾所以I不是可数集，因此R也不是可数集*2实数的公理化定义实数域R的本质在于，它是一个连续的阿基米德序域可以用一组公理(实数公理)将它整体地给出来设在集合R中定义了两种代数运算，加法“”和乘法“”，定义了序关系“”，(R；，)满足以下公理(实数公理)：域公理对于任意x，y，zR，有 1x(yz)(xy)z； 2xyyx； 3存在元素oR，使0xx； 4存在兀素xR，使x(x)0； (至此，(R；)为群) 5x(yz)=(xy)z； 6xyyx； 7x(yz)=xyxz； 8存在元素1R，使1x=x； (至此，(R；，)为具有单位元的可换环) 9若x0，则总存在元素x-1R，使x-1x=1 (至此，(R；，)为域) 序公理对任意x，y，zR，有 1xy或x=y或yx，有且仅有一个成立； 2若xy，yz，则xz； (至此，(R；)为全序集) 3若xy，则x+zy+z； 4若0x，0y，则0xy； (至此，(R；，)为全序域) 阿基米德公理 对于任意R中正元0x，0y，总存在nN，使ynx (至此，(R；，)为阿基米德序域) 完备公理(柯西准则)R中基本序列在R中收敛 (至此，(R；，)为连续的或完备的阿基米德序域)公理又称连续公理，它有许多等价形式：1 (戴德金定理) R中任意一个分割A|B都确定唯一的一个实数，即或A中有最大数，B中无最小数；或B中有最小数，A中无最大数2 (确界存在定理) R中有上(下)界子集必有上(下)确界3 (单调有界定理) R中单调有界数列必有极限4 (区间套定理) R中任意闭区间套an，bn确定唯0，则存在唯一实数aan，bn，n=1，2，3，6 (致密性定理) R中每个有界数列必合收敛子列7 (聚点定理) R中有界无穷点集至少有一个聚点3复数域从实数集向复数集的扩充，又可以采用代数扩张的办法(1)定义 含有实数域R和i(i具有性质i2=-1)的最小域C，称为复数域即1 域(R；，)是(C；，)的子域；3 若域(C；，)满足上述1与2，则(C；，)是(C；，)的子域域C中元素叫做复数如果复数域C存在，则C具有形式Cabi|a，bR，i2=1因此，所有在此定义下的复数域C是同构的即复数域C若存在，则在同构的意义上是唯一的(2)构造 作集合C0=(a，b)|a，bR在C0中定义加法“”和乘法“”如下：对任意实数对(a，b)，(c，d)C0，规定(a，b)(c，d)=(ac，bd)(a，b)(c，d)=(ac-bd，adbc)容易证明，(C0；，)是域与前节构作整数环Z、有理数域Q不同，这里无需再定义等价关系和作商集(3)嵌入 令C0=C1C2，其中C1=(a，0)|aRC2由C0中其余元素组成作映射f：RC1，使对每一aR，都有f(a)(a，0)易知f是(R；，)到(C1；，)的同构映射，故(R；，)是(C0；，)的子域令CRC2，C中的运算由f的扩张决定，则C就是通常所说的复数域，且由于(0，1)(0，1)=(-1，0)所以i=(0，1)，i2=-1复数的性质1 复数域是代数闭域这由下面定理保证：代数基本定理 复系数n次方程xnan-1xn-1a1x+a00在复数域C中有n个根只将二次方程x2+1=0的一个根i添入到R，就能获得任意n次复系数方程的所有的根，这真是一个数学奇迹2 复数域不能成为序域首先，要明确全序集与序域的区别复数集C，可以定义序，使(C；)成为全序集例如，对于任意a1b1i，a2b2iC，规定a1+b1i*a2+b2i当且仅当a1a2；或a1=a2，b1b2则“*”是C的一个全序，从而(C；*)是全序集但是，对于复数域C上任意序，(C；，)都不是序域事实上，只要考虑i与0的序关系即可由于i0，只有0i或i0若0i，由实数序公理4，有0ii=-1所以0(1)(1)=1 (*)又由序公理3，应有01(1)1，即10，与(*)矛盾若i0，则0i(-i)0(-i)=-i，同样推得矛盾因此，复数域不能成为序域，或者说作为复数域(C；，)中的复数，没有大小顺序这就是通常所说的“复数不能规定大小”的意义所在在数系的扩充过程中，数的范围不断扩大，数的结构逐渐完善，数的性质有所增加，但有时也失去一些原有性质例如，N扩充到Z，失去了良序性等当复数域再扩充到四元数、八元数、十六元数等等时，数的一些基本性质，如乘法交换律，甚至连乘法的结合律都要失去，与“数”的传统概念就相去很远了因此，通常所说的数，都是指实数或复数第四节 代数数、超越数和作图不能问题 1代数数和超越数有理系数(或整系数)多项式p(x)anxnan-1xn-1a1xa0 (1)的根，称作代数数；非代数数的复数，称为超越数以下主要讨论实代数数和实超越数一个代数数所满足的有理系数多项式的最低次数，称作的次为它们满足一次方程qx-p=0代数数，而 是四次代数数，因a5是四次方程x4-5x250的根有限次加、减、乘、除和开平方这五种运算而得到的数，都是代数数超越数是无理数中的非代数数人们在对代数数和超越数的认识史上，曾经有两个误解：认为在的无理数经过四则运算与开平方而产生的但实际情况是，实数中的超越数不是很少，而是很多，比代数数要多得多；代数数也并非都能由如上方法产生出来第一个问题发展为超越数论，第二个问题与几何作图“三大问题”相关1874年，Cantor在一篇论文中证明了，一切代数数与正整数可以建立一一对应，从而证明了超越数存在，而且还比代数数“多得多”然而人们具体认识的超越数却很少1873年，Hermite(18221901)第一次证明了e是超越数1882年，Lindemann(18521939)越数，列为他著名的“23个问题”的第7个1929年，Gelfond(19061968)证明了e是超越数；1930年，Kuzmin(18911949)将本世纪以来，超越数论有很大发展，人们已经发现了不少超越数类例如sin1，cos3，ln2，ln5，和都是超越数(这方面最主要的结果是林德曼-外尔斯特拉斯定理：若u1，u2，un是不同的代数数，那么复指数e1，e2，en在代数数域上线性无关)然而，我们所认识的超越数，仍然是极少极少，连e，e是不是超越数，至今还不知道*2和e这是两个最常见、最有用的超越数然而人们对它们的无理性和超越性的认识却很迟圆周率，即圆的周长与直径之比，直到18世纪初，人们还把它当作一个有理数，企图通过计算来得到它的精确值1761年，Lambert(17281777)证明了是无理数，这才打破了人们的梦想但在这之前，Euler于1744年已证明了e的无理性，Lambert是借用了与前人类似的方法因e的级数表达式简单，证明较方便，这里只介绍e的无理性的证明取自然数nq，用n！乘下列级数表达式两边：得 n！eanbn因n1，故0bn1即bn不可能是整数产生矛盾所以e是无理数和e的超越性证明比较复杂，这里用初等方法只给出e不是二次代数数的一个证明大意，方法与上面相仿e不是二次代数数 即证明：对于任意a0，a1，a2Z且a00，都有a0e2a1ea20事实上，如果有某三个整数a0(0)，a1，a2使a0e2a1ea2=0即a0ea1a2e-1=0 (3)将(2)代入(3)，便有从而(n-1)！Sn-(n-1)！Rn因(n1)！Sn为整数，故也应为整数令A|a0|a2|，取n3A则 因此，(n1)！Rn=0，(n-1)！Sn=0由此可以导致矛盾(详见39)证明是超越数，不是代数数的意义很大，它直接指出了古希腊几何问题“化圆为方”作图是不可能的3几何作图不能问题华罗庚在1952年发表过一篇题为“三分角问题”的文章他说：“我建议传授几何问题的人，如要谈到三分角问题，就必须把它交待清楚(即使不能严格证明)，以免引人走入歧途”作为一个数学教师，对“三等分角”等几何作图不能问题，自己首先要弄清楚古希腊数学家提出的所谓“几何作图三大问题”是1 三等分任意角问题；2 倍立方问题(作一立方体使其体积等于已知立方体体积2倍)；3 化圆为方问题(作一正方形使其面积等于已知圆的面积)如果限于尺规作图，即只准使用圆规和不带刻度的直尺作图，那么这三个作图问题，都是作图不能问题所谓“作图不能问题”，不是没有找到作图方法的、尚未解决的作图问题，而是从理论上已经证明是不可能用尺规作图的、已经解决了的问题如何证明它们是作图不能问题呢？先看看用尺规可以作出哪些几何图形设给出一单位长线段1(用线段的长度表示该线段)，则可作出：1 所有正整数n(长度为n的线段)；3 上述各种数的和、差、积、商及算术平方根 如果一个几何图形可以用尺规作出，那么一定是从已知线段(设为和、差、积、商、开平方的有限步复合运算产生的“多层平方根数”例 其中a，b，A是较低层平方根数或有理数每一个这样的“多层平方根数”，都是一个n次整系数方程(1)或有理方程xna1xn-1an-1xan0，aiQ (4)的根反之，方程(4)如果有这样“多层平方根数”的根x=，则是由方程(4)的系数经过有限步四则运算和开平方运算产生的代数数设方程(4)的系数域为F0=Q，它的根是“多层平方根数”，所在生成的扩域： x4-5x250于是a5F2为解决几何作图问题，我们先证明定理 Q上三次方程x3a1x2a2x+a3=0 (5)的一个根若为“多层平方根数”，则一定有有理根证 设(5)有一个根x1是“多层平方根数”：其中a，b，AFk-1，k1(6)代入(5)：整理得 x3=-a1-x1-x2=a1-2a也是(5)的根如果aQ，则定理已经证明若aFk-1Q，那么又令a=a 因此，方程(5)有根 x1或x2，即 由此定理得推论 如果三次方程(5)没有有理根，那么这个方程的根不是有理数域上的多层平方根数，因而不能尺规作图利用这一推论，很容易解决“几何作图三大难题”4“几何作图三大难题”的解答(1)三等分角问题设给定角A，相当于给出了cosA所对应的单位圆上余弦线由于 4x3-3x-cosA0的根特别地，当A=60时，cos20是方程8x36x1=0 (8)的根方程(8)没