1.3.2等比数列前n项和.doc

1.3.2 等比数列前n项和锁定目标1.等比数列前n项和公式有哪几种表示方法？2.若等比数列的前n项和为，则之间有什么关系？3.数列求和方法有哪几种？攻克目标【例1】 求等比数列1，2，4，从第5项到第10项的和.【思路分析】因为，故可直接用求和公式分别求出前10项与前4项之和。本题就可以解决了。【解答】由， 从第5项到第10项的和为-=1008【评注】此类问题的解决只要熟练掌握公式就可以了，同时，当q不确定时，求和时要分q=0和两种情况。【变式1】一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？【例2】 一个有穷的等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数【思路分析】 设等比数列为an，公比为q，取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列，公比为q2，首项分别为a1，a1q【解答】设项数为2n(nN*)，因为a1=1，由已知可得q1即公比为2，项数为8【评注】运用等比数列前n项和公式进行运算、推理时，对公比q要分情况讨论有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程，可采用两式相除的方法达到降次的目的【变式2】在等比数列an中,a1+an=66,a2an-1=128,且前n项和Sn=126,求n及公比q.【例3】若数列是等比数列，是其前n项和，数列 （）是否仍成等比数列？【思路分析】本类题应注意等比数列中的公比q的各种取值情况的讨论，同时等比数列的各项应全不为0的前提条件.【解答】设首项是，公比为q,当q=1且k为偶数时，不是等比数列.此时， =0.例如：数列1,1,1,1,是公比为1的等比数列， =0, 当q1或k为奇数时，（）成等比数列【评注】是等比数列的前n项和，当q=1且k为偶数时，不是等比数列.当q1或k为奇数时， 仍成等比数列【变式3】数列an是等比数列，其中Sn=48，S2n=60，求S3n。【例4】设等比数列an的公比为q，前n项和Sn0（n=1，2，）,（1）求q的取值范围；（2）设bn=an+2-an+1,记bn的前n项和为Tn，试比较Sn和Tn的大小【思路分析】根据Sn0，解不等式可求出q的取值范围；(2)中可以利用bn=an+2-an+1,找到前n项和Tn与Sn的关系式，再比较大小时就较容易了，另外要注意分类讨论【解答】（1）因为an是等比数列，Sn0,可得a1=S10,q0.当q=1时,Sn=na10.当q1时,Sn=0，即0(n=1,2,),上式等价于不等式组或（n=1，2，）.解式,得q1；解式，由于n可为奇数、可为偶数，得-1q1.综上，q的取值范围是(-1,0)(0,+).（2）由bn=an+2-an+1,得bn=an(q2-q),Tn=(q2-q)Sn.于是Tn-Sn=Sn(q2-q-1)=Sn(q+)(q-2).又Sn0且-1q0或q0,当-1q-或q2时,Tn-Sn0,即TnSn;当-q2且q0时，Tn-Sn0,即TnSn;当q=-或q=2时，Tn-Sn=0,即Tn=Sn【评注】在求q的取值范围，尤其是在解第二个不等式组时，容易忽视n为偶数的讨论，这一点要重视；在比较Sn和Tn的大小时，上来就直接作差，这样计算量大,且不直观.【变式4】数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n1).（1）求an的通项公式；（2）等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=15，又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列，求Tn【例5】求和：Sn=x+2x2+3x3+nxn(n0).【思路分析】首先观察求和数列各项的特点，找出数列的规律，由通项可以发现该数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项的积构成，由式子特点，两边同乘x，然后相减即得一等比数列的求和问题，但应注意对公比的讨论【解答】(1)当x=1时，Sn=1+2+3+n=(2)当x1时，Sn=x+2x2+3x3+nxn，xSn=x2+2x3+3x4+nxn+1,(1-x)Sn=x+x2+x3+xn-nxn+1=-nxn+1.Sn=.Sn=【评注】此种题型运用的是错位相减法，此法适用于一个等差数列与一个等比数列对应项的积构成的数列的求和.有关数列求和问题，首先观察数列通项，由通项找数列规律，然后选择相应的求和方法.【变式5】求下列数列的前n项和(1)-1,4,-7,10, ,(-1)n(3n-2),;(2)1,目标评估一、选择题1.若等比数列an的前n项和Sn=3n+a,则a等于( )A.-4 B.-2 C.0 D.-12.等比数列an的前n项和为Sn，若S10:S51:2，则S15:S5( )A、3:4B、2:3C、1:2D、1:33.在等比数列an中，已知对任意正整数n，有Sn=2n 二、填空题1. 若等比数列的前项和为，则公比 。2. 已知等比数列的各项均为不等于1的正数，数列满足，则数列前n项和的最大值为_. 三、解答题1. 已知等差数列的第二项为8，前十项的和为185，从数列中，依次取出第2项、第4项、第8项、第项按原来的顺序排成一个新数列，求数列的通项公式和前项和公式2.已知数列是等比数列，是其前n项的和，求证,成等比数列.3. 已知数列中，（1）求证：数列与都是等比数列；（2）求数列前的和；（3）若数列前的和为，不等式对恒成立，求的最大值。高考瞭望1. 设等比数列的首项为，公比为q ，则“ 0 且0 q 1”是“对于任意都有”的 （ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C充分比要条件 D 既不充分又不必要条件2设数列的前项和为，关于数列有下列三个命题：若数列既是等差数列又是等比数列，则；若，则数列是等差数列；若，则数列是等比数列.这些命题中，真命题的个数是（ ）A0B1C2D33.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的基本量.设是公比为的无穷等比数列，为的前项和。下列的四组量中，一定能成为该数列基本量的是第_组 (写出所有符合要求的组号).与；与;与;与.其中为大于1的整数。回顾提升1.重难点（1）等比数列的前n项和公式： 当时， 或 当q=1时，；当已知, q, n 时用公式；当已知, q, 时，用公式.（2）是等比数列的前n项和，当q=1且k为偶数时，不是等比数列.当q1或k为奇数时， 仍成等比数列（3）数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等2.方法技巧已知数列的前n项和求通项时，通常用公式an=用此公式时应当注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”,即a1和an合为一个表达式 对于形如an+1=an+f(n)型或形如an+1=f(n)an型的数列，其中f(n)又是等差数列或等比数列，可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式 有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式,这叫做构造法例如：在数列an中，a1=1，a2=2，an+2=an+1+an，两边减去an+1，得an+2-an+1=-(an+1-an)，即可构造另一个等比数列来解决问题 当然了，求数列的通项还有很多其他的类型，但是，肯定的一点是，在求通项时，应尽可能将已知数列转化成等差（或等比）数列，从而利用等差（或等比）数列的通项公式求其通项参考答案1.3.2 等比数列前n项和【变式1】解： 根据题意可知，获知此信息的人数成首项的等比数列则：一天内获知此信息的人数为：【变式2】解：a1an=a2an-1=128, a1+an=66,a1,an是方程x2-66x+128=0的两根,解方程得x1=2,x2=64.a1=2,an=64或a1=64,an=2,显然q1.若a1=2,an=64,由Sn=126,得q=2.由an=a1qn-1,得2n-1=32.n=6.若a1=64,an=2,同理可得q=,n=6.综上所述,知n=6,公比q=2或q=.【变式3】解 方法一 ： 利用等比数列的前n项和公式若q=1，则Sn=na1，即na1=48，2na1=9660，所以q1=Sn(1qnq2n)方法二： 利用等比数列的性质：Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列 (6048)2=48(S3n60) S3n=63方法三: 取特殊值法取n=1，则S1=a1=48，S2n=S2=a1a2=60 a2=12 an为等比数列S3n=S3=a1a2a3=63【变式4】解：（1）由an+1=2Sn+1,得an=2Sn-1+1(n2).两式相减,得an+1-an=2an,即an+1=3an(n2).又a2=2S1+1=3, a2=3a1.故an是首项为1，公比为3的等比数列.an=3n-1.（2）设bn的公差为d,由T3=15,得b1+b2+b3=15,则b2=5.故可设b1=5-d,b3=5+d,又a1=1,a2=3,a3=9,由题意,得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2.解得d1=2,d2=-10.等差数列bn的各项为正，d0.d=2.b1=3.Tn=3n+2=n2+2n.【变式5】解：(1)由数列各项观察分析，从第一项起连续两项的和相同，都是3，因此本题可运用并项求和，但需要注意讨论n是偶数还是奇数；. (1)n为偶数时，令n=2k(kN*)，则Sn=S2k=(-1+4)+(-7+10)+(-1)2k-1(6k-5)+(-1)2k(6k-2)=3k=（相邻两项和为3）；n为奇数时，令n=2k+1(kN*)，则Sn=S2k+1=S2k+a2k+1=3k-(6k+1)=所以Sn=(2)首先化简该数列的通项，整理为的形式，该形式的数列求和问题应使用裂项求和，此法是将一个数列的通项公式分成两项的差的形式，相加过程消去中间项，只剩下有限项再求和an=,Sn=2(1-)+(-)+( -)+(-)=2(1-)=.目标评估一、选择题1. D解析:a1=S1=3+a,a2=S2-S1=32-3=6,a3=S3-S2=33-32=18.由a1a3=a22,得a=-1.2. A 解析：因为an是等比数列，故S5，S10S5，S15S10也构成等比数列，记S52k(k0)，则S10kS10S5k，进而得S15S10k于是S15k,S15:S5:23:43. D解析：a1=S1=1，an=SnSn-1=2n-1an=2n-1bn=(an)2=(2n-1)2=22n-2=4n-1二、填空题1.2或 解析： q2或2.132三、解答题1. 解： , 解得5, d3, 3n2, 32, (322) (32) (32)(32)32n6+2n6.（分组求和法）2. 证明：（