第二讲数论专题,寒假课程(学生版).doc

第二讲 数论专题第二讲 数论专题知识梳理 数论专题在小升初考试和各大数学竞赛中占统治性地位，只有数论才能用最简洁的文字命出最难的试题。数论主要考察学生的数感，对数字特征，数字变换，数字组合，数字分拆，数字关联要求要有完整的知识体系并能够由此及彼，综合运用，分析推理。 我们常见的形式有数字谜，计数，行程，综合应用题等。涉及到我们学过的因数、倍数、余数、分解质因数、整除性等知识点。所以要求同学们一定打好基础，熟练掌握，才能灵活应用。解决数论题目的主要方式就是分解质因数(把合数表示质数乘积的形式)，我们一定要有分拆、分解、分类讨论的思想意识。1、整除的特征：（1）2的倍数特征：末位数是0、2、4、6、8的数.（2）3、9的倍数特征：各位数之和是3的倍数或9的倍数.（3）5的倍数特征：末位数是0或5.（4）4的倍数特征：末两位数是4的倍数.（5）8的倍数特征：末3位数是8的倍数.（6）11的倍数特征：奇位数字之和与偶位数字之和的差是0或11的倍数.（7）7、11、13的倍数特征：末三位数字组成的三位数与其它各位数字组成的多位数的差是7、11、13的倍数.2、分解质因数：指的就是把一个合数表示成质数乘积的形式的过程。唯一分解定理：N=a1p1a2p2anpn(a1、a2an均为N的不同质因数)那么N的因数个数n=（1+p1）(1+p2) (1+pn)3、辗转相除法求最大公因数辗转相除法主要针对两个较大数求最大公因数而言的。就是用其中较大数除以较小数，得余数r1;接下来每一步都用上一步的除数除以余数r2以此类推，直到除尽为止，最后一步除数就是它们的最大公因数。典型例题 例1求9600共有多少个因数？【巩固练习】求1200和450各有多少个因数？ 例2求2821和1519的最大公因数。 【巩固练习】求5890和6327的最大公因数。 例3七位数A1994BC能被9,5和8整除，试确定数字A、B、C的值。【巩固练习】如果五位数436是45的倍数，那么这个五位数是多少？ 例4 要使1858413552（ ）乘积的末五位数都是0，（ ）中应填入的自然数最小值是多少？ 【巩固练习】（ ）的积的最后五位都是0，那么括号内填入的自然数最小是多少？ 例5有一个三位数，被4除余1，被5除余4，被7除余2，这个最小的三位数是多少？ 【巩固练习】一个三位数被11除余10，被6除余4，被4除余2，这个三位数最小是多少？ 例6 630乘一个自然数a,得到一个完全平方数，求a的最小值。 【巩固练习】 自然数a乘以338，恰好是自然数b的平方，求a的最小值以及b。 例7 有一个整数，用它去除70、110、160所得的三个余数之和是50，这个整数是多少？ 【巩固练习】有一个整数，用它去除82、165、240后所得的三个余数之和是13，这个整数是多少？ 例8 四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克如下:8、9、10、11、12、13。已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?【巩固练习】 如果a、b均为质数，并且3a+7b=41，求a和b。 例9 自然数a1、 a2、 a3 。 a9、a10的和是1001，设m为a1、 a2、 a3 。 a9、a10的最大公因数，那么m的最大值是多少？ 【巩固练习】已知n个自然数的乘积是2007，这n个自然数的和也是2007，n的最大值是多少？ 例10 商店有6箱货物，分别重15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克，两个顾客买走了其中的5箱，其中一个顾客买走的货物质量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的这箱货物重多少千克？ 【巩固练习】一箱哈密瓜，每个哈密瓜重量相同，且都是超过1的整千克数，去掉箱子后，哈密瓜净重201千克，再拿出几个后，余下的哈密瓜净重183千克，那么每个哈密瓜重（ ）千克。 例11 如果一个数，将它倒排后所得的数仍然是这个数，那么我们就称这个数是“回文数”，又称“对称数”比如：22、565、1991、20702都是回文数。1）1991是回文数；2）它可以分解成一个两位质数回数和一个三位数回文数的乘积。那么在1000-2000之间具有以上两个性质的数还有哪些？【巩固练习】三位数的回文数共有多少个？ 例12 两个自然数的积是5766，这两个数的最大公因数是31，求这两个数。 【巩固练习】两个数的最大公因数是75，最小公倍数是450，这两个数是多少？ 例13 一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如2012年1月1日显示为20110101，如果2011年最后一个能被101整除的日子是2011ABCD,那么ABCD= 。【巩固练习】用1、2、3、4、5、6每一个数字使用一次组成一个六位数abcdef,使得三位数abc, bcd, cde, def能依次被4，5，3，11整除。求这个六位数。课后作业1、求1600和3000各有多少个因数？2、在865后面补上3个数字，组成一个能被3、4、5整除的六位数，这个六位数最小是多少？ 3、将1、2、3、4、5、6、7、8、9重复写下去组成一个2012位数，那么这个数能否被9整除？如果不能，请说出余数是多少？ 4、 四个连续偶数的乘积是5760，求这四个数各是多少？5、 求2703和1113的最大公因数。 6、某校2012年的学生人数是个完全平方数，2013年的学生人数比上一年多101人，这个数字也是一个完全平方数。该校2013年的学生人数是多少人？7、两个数的最小公倍数是160，它们的最大公因数是8，其中一个数是40，另一个数是多少？ 8、一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和为100，这两个质数的积是多少？ 9、 有三堆石子，每堆分别有6655，655，65粒.现在对这三堆石子进行如下的“操作”：每次可以从每堆中各拿掉一个或相同个数的石子，或从任一堆取出一些石子放入另一堆中.按上述方式进行“操作”，能否把这三堆石子都取光？如果能办到，