江苏专版2020版高考数学第四章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理教案理含解析苏教版.docx

第七节 正弦定理和余弦定理1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R(R为ABC外接圆半径)a2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos_C变形形式(边角转化)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A，sin B，sin C；abcsin_Asin_Bsin_Ccos A；cos B；cos C2三角形中常用的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高)；(2)Sbcsin Aacsin Babsin C；(3)Sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)小题体验1(2019启东中学检测)在ABC中，A30，AC2，BC2，则AB_.答案：2或42在ABC中，A45，C30，c6，则a_.答案：63(2019淮安调研)在ABC中，若A60，AC2，BC2，则ABC的面积为_解析：在ABC中，A60，AC2，BC2，由余弦定理，得cos A，代入数据化简得AB22AB40，解得AB(负值舍去)故ABC的面积SABACsin A3.答案：31由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断2在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解3利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制小题纠偏1在ABC中，若a18，b24，A45，则此三角形解的情况为_解析：因为，所以sin Bsin Asin 45.又因为ab，所以B有两个解，即此三角形有两解答案：两解2设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sin B，C，则b_.解析：在ABC中，因为sin B，0B，所以B或B.又因为BC，C，所以B，所以A.因为，所以b1.答案：1典例引领(2018南京高三年级学情调研)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos B.(1)若c2a，求的值；(2)若CB，求sin A的值解：(1)法一：在ABC中，由余弦定理得cos B.因为c2a，所以，即，所以.又由正弦定理得，所以.法二：因为cos B，B(0，)，所以sin B.因为c2a，由正弦定理得sin C2sin A，所以sin C2sin(BC)cos Csin C，即sin C2cos C.又因为sin2Ccos2C1，sin C0，解得sin C，所以.(2)因为cos B，所以cos 2B2cos2B1.又0B，所以sin B，所以sin 2B2sin Bcos B2.因为CB，即CB，所以A(BC)2B，所以sin Asinsin cos 2Bcos sin 2B.由题悟法1正、余弦定理适用类型解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到2判断三角形解的个数的注意点已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断即时应用1在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A，a3， SABC2，则b的值为_解析：因为SABCbcsin A2，所以bc6，又因为sin A，所以cos A，又a3，由余弦定理得9b2c22bccos Ab2c24，b2c213，可得b2或b3.答案：2或32(2018苏州高三期中调研)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin Bsin Cmsin A(mR)，且a24bc0.(1)当a2，m时，求b，c的值；(2)若角A为锐角，求m的取值范围解：由题意得bcma，a24bc0.(1)当a2，m时，bc，bc1，解得或(2)cos A2m23，因为A为锐角，所以cos A2m23(0,1)，所以m22，又由bcma，可得m0，所以m，即m的取值范围为. 典例引领在ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin2 ，则ABC的形状一定是_解析：由题意，得，即cos B，又由余弦定理，得，整理得a2b2c2，所以ABC为直角三角形答案：直角三角形类题通法判定三角形形状的2种常用途径提醒在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响即时应用1(2019宿迁期中)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2acos B，则ABC的形状为_解析：c2acos B，由正弦定理，得sin Csin(AB)2sin Acos B，即sin Acos Bcos Asin B2sin Acos B，sin Acos Bcos Asin B，可得tan Atan B，又0A，0B，AB，故ABC的形状为等腰三角形答案：等腰三角形2在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，(bca)(bca)3bc，则ABC的形状为_解析：因为，所以，所以bc.又(bca)(bca)3bc，所以b2c2a2bc，所以cos A.因为A(0，)，所以A，所以ABC是等边三角形答案：等边三角形典例引领(2018徐州高三年级期中考试)已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2c2bcos A.(1)求角B的大小；(2)若b2，ac4，求ABC的面积解：(1)因为a2c2bcos A，由正弦定理，得sin A2sin C2sin Bcos A.因为C(AB)，所以sin A2sin(AB)2sin Bcos A.即sin A2sin Acos B2cos Asin B2sin Bcos A，所以sin A(12cos B)0.因为sin A0，所以cos B.又因为0B，所以B.(2)由余弦定理a2c22accos Bb2及b2，得a2c2ac12，即(ac)2ac12.又因为ac4，所以ac4，所以SABCacsin B4.由题悟法三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化即时应用(2018镇江高三期末)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Aacos B2ccos C.(1)求C的大小；(2)若b2a，且ABC的面积为2，求c的值解：(1)由正弦定理及bcos Aacos B2ccos C，得sin Bcos Asin Acos B2sin Ccos C，所以sin(BA)2sin Ccos C，所以sin C2sin Ccos C.因为C(0，)，所以sin C0，所以cos C，所以C.(2)因为ABC的面积为2，所以absin C2，所以ab8.又b2a，所以a2，b4，由余弦定理，得c2a2b22abcos C224222428，所以c2.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019泰州模拟)在ABC中，BC3，BA，且cos B，则AC_.解析：BA，cos Bcossin A，sin A，sin B.由正弦定理，得AC4.答案：42(2018姜堰中学测试)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2 c2，则_.解析：由已知及余弦定理得cos B，所以.答案：3在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边若bsin A3csin B，a3， cos B，则b_.解析：bsin A3csin Bab3bca3cc1，所以b2a2c22accos B912316，b.答案：4在ABC中，AB3，BC，AC4，则边AC上的高为_解析：由题意得cos A，所以sin A ，所以边AC上的高hABsin A.答案：5(2019如东调研)设ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ab2，c3，C，则ABC的面积为_解析：由余弦定理，得c2a2b22abcos C(ab)2ab，即912ab，故ab3，则SABCabsin C.答案：6(2018苏锡常镇一调)若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m，则实数m的取值范围是_解析：由三角形的三个内角成等差数列，得中间角为60.设最小角为，则最大角为120，其中030.由正弦定理得m2.答案：(2，)二保高考，全练题型做到高考达标1在ABC中，2acos Abcos Cccos B0，则角A的大小为_解析：由余弦定理得2acos Abc0，即2acos Aa0，所以cos A，A120.答案：1202(2018海门中学检测)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2b2c2ab，则ABC的面积为_解析：依题意得cos C，即C60，因此ABC的面积等于absin C .答案：3(2019镇江调研)已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A60，a，c4，则b_.解析：A60，a，c4，由余弦定理，得13b2168bcos 60，即b24b30，解得b1或3.答案：1或34已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A，则角B的大小为_解析：由正弦定理及(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A得(bc)(bc)(ac)a，即b2c2a2ac，所以a2c2b2ac，又因为cos B，所以cos B，所以B30.答案：305已知ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A，b2acos B，c1，则ABC的面积等于_解析：由正弦定理得sin B2sin Acos B，故tan B2sin A2sin，又B(0，)，所以B.故AB，则ABC是正三角形，所以SABCbcsin A11.答案：6(2019无锡调研)在ABC中，C，BCa，ACb，且a，b是方程x213x400的两根，则AB_.解析：a，b是方程x213x400的两根，ab13，ab40，由余弦定理，得AB2a2b22abcos C(ab)23ab13234049，则AB7.答案：77在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin Asin Bbcos2Aa，则_.解析：因为asin Asin Bbcos2Aa，由正弦定理得sin Asin Asin Bsin Bcos2A sin A，所以sin Bsin A，所以.答案：8(2019苏州一模)已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，则的值为_解析：A，B，C成等差数列，2BAC，又ABC，B，由余弦定理，得b2a2c22accos Ba2c2ac，故1.答案：19(2018苏锡常镇调研)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知acos B3，bcos A1，且AB.(1)求c的长；(2)求B的大小解：(1) 法一：在ABC中，acos B3，由余弦定理，得a3，即a2c2b26c. 由bcos A1，得b1，即b2c2a22c. 得2c28c，所以c4.法二：因为在ABC中，ABC，则sin Acos Bsin Bcos Asin(AB)sin C，由正弦定理，得sin A，sin B，代入上式得，cacos Bbcos A314.(2)由正弦定理得3.又tan(AB)，解得tan B，又B(0，)，所以B.10(2019盐城期中)在ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且sinsin.(1)求角C的大小；(2)若c3且sin A2sin B，求ABC的面积解：(1)由sinsin，得(cos Csin C)(cos Csin C)，cos C，又0C，C.(2)由c3且sin A2sin B，可得a2b，由余弦定理可得c2a2b22abcos C4b2b24b23b227，b3，a6，则ABC的面积为Sabsin C63.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin(BA)sin(BA)3sin 2A，且c，C，则ABC的面积是_解析：由sin(BA)sin(BA)3sin 2A，得2sin Bcos A6sin Acos A，所以cos A0或sin B3sin A.若cos A0，则A，在RtABC中，C，所以b，此时ABC的面积Sbc；若sin B3sin A，即b3a，由余弦定理得7a29a22a3a，得a1，所以b3，此时ABC的面积Sabsin C13.答案：或2(2019苏州高三期中调研)设ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为AB的中点，若bacos Ccsin A且CD，则ABC面积的最大值是_解析：由bacos Ccsin A及正弦定理可得sin Bsin Acos Csin Csin A，所以sin(AC)sin Acos Csin Csin A，化简可得sin Acos A，所以A.在AC