初中数学—平行四边形—史上最全.doc

初中数学平行四边形一、【知识点汇总】1平行四边形的判定和性质：性质判定平行四边形对边平行；平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形邻角互补；平行四边形对角线互相平分 行四边形的面积 行四边形是中心对称图形，其对称中心是对角线交点两组对边分别平行的四边形；两组对边分别相等的四边形；一组对边平行且相等的四边形；两组对角分别相等的四边形；对角线互相平分的四边形注意：1平行四边形的面积：平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积如图1，2. 拓展：同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等如图2，3. 平行四边对角线分得的四个三角形面积相等。2矩形的判定和性质判定性质有一个角是直角的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形矩形具备平行四边形的性质矩形四个角都是直角矩形两条对角线相等矩形是中心对称图形，又是轴对称图形，它有两条对称轴矩形面积Sab(a、b分别表示矩形的长和宽)3菱形的判定和性质判定性质一组邻边相等的平行四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形具备平行四边形的性质菱形四边都相等菱形两条对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有两条对称轴菱形面积分别表示菱形两对角线的长）4正方形的判定和性质判定性质有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形是正方形一组邻边相等的矩形是正方形 个角是直角的菱形是正方形 角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 方形具备平行四边形性质正方形既具备矩形特殊性质，又具备菱形特殊性质，即：四边都相等；四个角都是直角；两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有4条对称轴面积Sa2 （a表示正方形的边长）5梯形的判定和性质类别判定性质梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形梯形一组对边平行而另一组对边不平行梯形中位线平行于两底且等于两底和的一半 是梯形的上下底，h是高，m是中位线）等腰梯形两腰相等的梯形是等腰梯形同一底上两角相等的梯形是等腰梯形对角线相等的梯形是等腰梯形等腰梯形具有一般梯形的性质等腰梯形两腰相等等腰梯形同一底上两角相等 腰梯形对角线相等 腰梯形是轴对称图形直角梯形有一个角是直角的梯形是直角梯形 角梯形具有一般梯形的性质直角梯形的一腰垂直于底边6梯形中的常用辅助线：7.平行线等分线段定理（1）如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上所截得的线段也相等（2）经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边（3）经过梯形一腰中点且与底边平行的直线必平分另一腰8三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半初二考法平行四边形【题型一】边长，面积，周长PABCDEFQ第1题图1、如图，、分别是 的边、上的点，与相交于点，与相交于点，若APD ，BQC ，则阴影部分的面积为 。 答案：40ACDBEO第2题图2、如图，平行四边形ABCD的对角线、相交于点，点是的中点，ABD的周长为16cm，则DOE的周长是 cm答案8第3题图ABCDO3如图，已知ABCD的对角线BD=4cm，将ABCD绕其对称中心O旋转180，则点D所转过的路径长为 . 答案：2 cm 【题型二】证明三角形全等，证明平行四边形，证明线段的大小关系，证明线段间的位置关系1如图，点E、F、G分别 是ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点求证：BEFDGH证明：四边形ABCD是平行四边形AB=CD，AD=BC，B=D又E、F、G、H是AB、BC、CD、DA中点HD=BF，BE=CGBEFD2已知，如图，、相交于点，=，、分别是、中点。求证：四边形是平行四边形。答案：ACBD C=D CAO=DBO AO=BO AOCBOD CO=DO E、F分别是OC、OD的中点 OF=OD=OC=OE 。由AO=BO、EO=FO 四边表AFBE是平等四边形。 矩形【题型一】边长，面积，周长1、如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_ABCD第5题图【答案】28 2、在矩形，,，将矩形折叠，使点与点重合，折痕为，在展开，求折痕的长解：,由勾股定理可得根据题意有，设，由勾股定理，即解得，（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半）3、如图，四边形ABCD中，对角线ACBD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积是_答案:中位线定理,12【题型二】证明三角形全等，证明矩形 ，证明线段的大小关系，证明线段间的位置关系1如图，点E、F、G分别 是ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点求证：BEFDGH证明：四边形ABCD是平行四边形AB=CD，AD=BC，B=D又E、F、G、H是AB、BC、CD、DA中点HD=BF，BE=CGBEFD14、已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：PA2+PC2=PB2+PD2，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论答：对图（2）的探究结论为_对图（3）的探究结论为_；答案：结论均是PA2+PC2=PB2+PD2（图2 2分，图3 1分） 证明：如图2过点P作MNAD于点M，交BC于点N，因为ADBC，MNAD，所以MNBC在RtAMP中，PA2=PM2+MA2在RtBNP中，PB2=PN2+BN2在RtDMP中，PD2=DM2+PM2在RtCNP中，PC2=PN2+NC2 所以PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2 PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2因为MNAD，MNNC，DCBC，所以四边形MNCD是矩形 所以MD=NC，同理AM = BN，所以PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2即PA2+PC2=PB2+PD23.如图，平行四边形中，平分交于，交的延长线于，交于，交延长线于，垂足为，试证明：证明：四边形为平行四边形，平分，（），如图，点，分别在平行四边形的边，上，且，垂足分别为，求证：与互相平分证明：连接，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）与互相平分 菱形题型一【边长，边长上的高，面积，周长，坐标】1、如图，两条笔直的公路、相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 AB、D，已知ABBCCDDA5公里，村庄C到公路的距离为4公里，则村庄C到公路的距离是A3公里B4公里 C5公里D6公里【答案】B2.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC8，BD6，过点O作OHAB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH 【答案】：3菱形中，如果它的一条对角线长为，求菱形的边长解：若对角线，如图四边形为菱形，且则为等边三角形菱形的边长为若对角线，如图四边形为菱形，且则为等边三角形又设，由勾股定理可得，解得，综上所述：菱形的边长为或【题型二】证明三角形全等，证明菱形 ，证明线段的大小关系，证明线段间的位置关系1、如图所示，已知AD是ABC的角平分线，DEAC交AB于点E，DFAB交AC于点F，求证：ADEF【对角线互相平分】 证明：DEAC，DFAB，四边形AEDF为平行四边形又1=2，而2=3，1=3，AE=DEAEDF为菱形ADEF2、如图4，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF 求证：ACEACF（对角线平分对角）图4ABCDEF【答案】四边形ABCD为菱形BAC=DAC又AE=AF，AC=ACACEACF（SAS）3.如图，中，是边上的中线，过点作，过点作与分别交于点、点，连接求证：;当时，求证：四边形是菱形；【重点；三种判定】在（2）的条件下，若，求的值.（第22题）【答案】.证明：(1)解法1：因为DE/AB,AE/BC,所以四边形ABDE是平行四边形，所以AE/BD且AE=BD，又因为AD是边BC上的中线，所以BD=CD，所以AE平行且等于CD，所以四边形ADCE是平行四边形，所以AD=EC.解法2： 又 (2)解法1：证明是斜边上的中线 又四边形是平行四边形 四边形是菱形解法2证明： 又四边形是平行四边形 四边形是菱形解法3证明： 四边形是平行四边形 又四边形是菱形正方形题型一【边长，面积，周长】5、如图，正方形ABCD中，AB6，点E在边CD上，且CD3DE将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF下列结论：ABGAFG；BGGC；AGCF；SFGC3其中正确结论的个数是( ) A1 B2 C3 D4【答案】C6、如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .【答案】27、正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AMMN当BM= 时，四边形ABCN的面积最大 【答案】2; 8、如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形，边与DC交于点O，则四边形的周长是 （ ）A B C D答案: A【题型二】证明三角形全等，证明菱形 ，证明线段的大小关系，证明线段间的位置关系1. 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DGAE于G，DG交OA于FOE=OF一定成立吗（ ）A. 一定成立 B. 不成立 证明： 四边形ABCD是正方形， AOE=DOF=90，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）又 DGAE， EAO+AEO=EDG+AEO=90 EAO=FDO AEO DFO OE=OF答案：A12、四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG（1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想（1）证明：如图，AD=CD，DE=DG，ADC=GDE=90，又CDG=90+ADG=ADE，ADECDG（SAS）AE=CG（2）猜想：AECG证明：如图，设AE与CG交点为M，AD与CG交点为NADECDG，DAE=DCG又ANM=CND，AMNCDNAMN=ADC=90AECG梯形题型一【边长，面积，周长，角度】1.如图，梯形ABCD中，ADBC，若B=60，ACAB，那么DAC= 答案：302. 如图，梯形ABCD中，ABCD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点.已知两底差是6，两腰和是12，则EFG的周长是（ ）A.8 B.9 C.10 D.12【答案】B【题型二】证明三角形全等，证明梯形 ，证明线段的大小关系，证明线段间的位置关系ABCDEFG8已知ABC中，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，连FE、ED，BF的延长线交ED的延长线于点G，联结GC。求证：四边形CEFG为梯形。答案：证明：(1)点D、E分别是线段AC、BC的中点，DE/AB，-1分A=FDG，ABF=FGDF是线段AD的中点，AF=FD ABFDGF，BF=FGE为BC中点，BC=EC， EF/CG 而GF与CE交于点A，四边形CEFG为梯形9. 如图，梯形ABCD中，AB/CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结AC、CE.求证AC=CE. 答案：证明:因为AB/CD,BE=DC,且BE在AB的延长线上,所以CD/BE,CD=BE,所以四边形DBEC是平行四边形,所以CE=DB,因为AD=BC,所以梯形ABCD是等腰梯形,所以AC=BD,所以AC=CE.)8. 如图，已知四边形ABCD是梯形，ADBC，A=90，BC=BD，CEBD，垂足为E.（1）求证：ABDECB；（2）若DBC=50，求DCE的度数.答案：证明：（1）ADBC，ADB=EBC.又CEBD，A=90，A=CEB.在ABD和ECB中，ABDECB.（2）解法一：DBC=50，BC=BD，EDC=65.又CEBD，CED=90.DCE=90-EDC=25.解法二：DBC=50，BC=BD，BCD=65.又BEC=90，BCE=40.DCE=BCD-BCE=25.初三考法题型一【一次函数和四边形结合的问题】1、如图，在平面直角坐标系中，直线L2:y=-1/2x+6与L1:y=1/2x交于点A，分别与x轴、y轴交于点B、C。 （1）分别求出点A、B、C的坐标； （2）若D是线段OA上的点，且COD的面积为12，求直线CD的函数表达式； （3）在（2）的条件下，设P是射线DC上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。2、已知点A(x,y)在第一象限内，且x+y=10，点B(4,0)时OAB的面积为S (1)求S与x的函数关系式，直接写出x的取值范围，并画出函数的图象； (2)OAB的面积为6时，求A点的坐标； 题型二【二次函数和四边形结合的问题】A例1.(浙江义乌市) 如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由例1.解：（1）令y=0，解得或A（-1，0）B（3，0）；将C点的横坐标x=2代入得y=-3，C（2，-3）直线AC的函数解析式是y=-x-1 （2）设P点的横坐标为x（-1x2）则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1）， E（P点在E点的上方，PE=当时，PE的最大值=（3）存在4个这样的点F，分别是B(0,4)A(6,0)EFO练习1.(河南省实验区) 23如图，对称轴为直线的抛物线经过点A（6，0）和 B（0，4）（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（，）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？ 是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）令y=0，解得或A（-1，0）B（3，0）；将C点的横坐标x=2代入得y=-3，C（2，-3）直线AC的函数解析式是y=-x-1 （2）设P点的横坐标为x（-1x2）则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1）， E（P点在E点的上方，PE=当时，PE的最大值=（3）存在4个这样的点F，分别是练习1.解：（1）由抛物线的对称轴是，可设解析式为把A、B两点坐标代入上式，得 解之，得故抛物线解析式为，顶点为（2）点在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，y0,y表示点E到OA的距离OA是的对角线，因为抛物线与轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量的取值范围是16 根据题意，当S = 24时，即化简，得 解之，得故所求的点E有两个，分别为E1（3，4），E2（4，4）点E1（3，4）满足OE = AE，所以是菱形；点E2（4，4）不满足OE = AE，所以不是菱形 当OAEF，且OA = EF时，是正方形，此时点E的坐标只能是（3，3） 而坐标为（3，3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使为正方形题型三【动点和四边形结合的问题】1.如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？ 分析：（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可解答：解：（1）四边形PQCD平行为四边形PD=CQ24-t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形（2）过D作DEBC于E则四边形ABED为矩形BE=AD=24cmEC=BC-BE=2cm四边形PQCD为等腰梯形QC-PD=2CE即3t-（24-t）=4解得：t=7（s）即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形（3）由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2解得：t=6.5（s）即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形2.如图，ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的外角平分线CF于点F，交ACB内角平分线CE于E（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想ABC的形状并证明你的结论分析：（1）根据CE平分ACB，MNBC，找到相等的角，即OEC=ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形（3）利用已知条件及正方形的性质解答解答：解：（1）CE