第十五届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考解答.pdf

中学生数学 2 0 1 2 年 7月上 第 4 4 5期 高中 第十五届北京高 中数 学知识应 用竞赛决赛 试题及参考解答 2 O 1 2年 3月 2 5 日 1 满分 1 6分 2 0 1 1年 国庆期 间 上 海新 世界 购 物 中心策 划 出一套 积点 购物 营销 方案 即在 活 动期 间 商 品的售 价按 照一 定 的 比率 全 部 折算 成 积 点 这 次全 场商 品共 分 为 A B C三 类 一 件 A 类 商 品 的售价 元 与折 算成 的点 数 比是 1 1 一 件 B类 商 品的售价 元 与折 算成 的点 数 比是 1 1 5 一 件 C类商 品 的售 价 元 与折 算 成 的点数 比是 1 1 9 顾 客选定 商 品后 累计 积点 顾客 按 每满 5 0 0个 积点 付 2 0 0元 的方 式付 款 如果 积 点 a不 是 5 0 0的 整数 倍 a 5 0 0 b C 其 中 b为 正 整 数 O f 厂 0 5 0 5 f O 5 0 2 5 0 2 5 f 0 2 5 0 2 5 0 2 5 0 2 5 2 1 1 厂 3 f 2 1 厂 3 1 f 2 2 由此 可得 f 3 3 厂 1 2 3 f 3 3 f 2 2 2 也 知 道 厂 3 3 大 于不 涉 及 3年 以上 的 任何存款组合 的本利和 这样 只需 比 较 厂 3 3 和 厂 5 1 的 大小 就 可 以 了 而 这 已由 1 可 知 结 果 所 以 结 论 是 对 于 6年存期 最 大收 益是两 个 三年 期 组 合 3 满分 1 6分 2月 1 8日至 2 2日 第 七届 世 界 草莓 大会 在 北 京 市 昌平 区 召开 请 你根 据下 面 的地 图推算 出 昌平 区的面 积 解 答要 点解 法会 是 多样 的 要 给 出 明确 的方 法 比如 分割求 和 的方 法 按 照度 量 画 出足 够 细 的 网格 通 过 计 网 南 轱 寸 鲞 中学生数学 2 0 1 2 年 7 月上 第 4 4 5 期 高中 算 网格数 得 到近 似解答 或 者 图形 割补 的方 法 将 这 个 不 规则 的 图形 通 过 割补 拼成 近 似 规 范 的 的 图形 再按 照 度量计 算 得 到 近 似 解 答 昌平 区 的实 际面 积 是 1 3 4 3平 方 公 里 在 方 法 正 确 的基 础 上 与 实 际数值 误差 不 超过 4 O平 方公 里 即可 4 满分 1 6分 经观 察 人 们 发现 鲑鱼 在河 中逆 流行 进 时 所 消耗 的能量 为 E C V T 其 中 7 J 为 行 进时 相对 于河 水 的速度 丁为行进 的时 间 单 位 小 时 C 为 常 数 如 果水 的流 速为 4 k m h 鲑 鱼 在 河 中逆 流行进 2 0 0 k m 问它 在怎 样 的速度 下能 使 消耗 的能量 最少 解 由 已知 鲑 鱼相 对于 河岸 的速 度 一下2 0 0 又可以表示为 面 一 一4 所以 丁 一 解 由已知 鲑鱼相对于河岸的速度 一下 又可以表示为 面 一 一4 所以 丁 一兰 于 是 E C U 丁一2 0 0 c 口 4 即 E 一2 f 一2 0 c 3 1 2 0 2 4 8 0 6 4 2 0 0 f 1 2 o 4 8 6 4 一2 0 0 c 0 2 3 2 4 4 因为 2既 是 一 2 的最 小 值 点 也 是 的最 小 值 点 所 以 当 面 一2时 即 当 一6 时 取得 E最 小一2 1 6 0 0 c 或者通过求 E的导数得结论 E 一4 O 0 c 令 E 一0 得 一6 当 6时 E 6时 E 0 所 以 一6时 E取的最小值 鲑鱼 以每小 时 6 k in 的相对 于河水 的速 度行 进 时所 消耗 的能 量最少 5 满分 1 8分 如 果有 三 门高炮 独立 射击 目标 用 p 表 示 第 i 门高炮命 中 目标 的概 率 那 么 三门高炮都命 中目标 的概率就是 户 户 三 门高炮都不命 中目标 的概率是 1 一 1 一 1 一户 请依据以上的概率计算法则 回答下列问题 如果 每 门高炮 击 中敌机 的概率是 十 分之 一 1 用十门高炮一定能击中敌机吗 若认为一定能击 中 请 说明理 由 若认为不一定 能 请计 算 出击 中敌机 的概 率 2 要 想 能 以不小 于 0 9的概率 击 中敌机 至 少需设 置 多少 门高 炮 解 答 1 用 十 门高炮 不一 定能 击 中敌机 因为 P 用 十 门高炮击 中敌 机 一P 十门 高炮 中至少 有一 门击 中了敌机 一1 一P 十 门高炮 都 没有 击 中敌机 一1 一E 1 一P 第一门高炮击 中敌机 1 P 第二 门高炮击 中敌机 1 一P 第十门高炮击 中敌机 一 1 1 一 l 0 O 6 5 1 7 2 设 至少 需要 门高 炮 就能 以不 小于 0 9的概 率击 中敌 机 则 0 9 P 用 n门高 炮击 中敌 机 一P n门高炮 中至少有 一 门击 中 了敌机 一1 一P n门高炮 都没 有击 中敌 机 一 1 一 1一 一 I 由 千 箍 履 两 鸟 建 寸 q 鲞学 履 用 鸟 建 中学生数学 2 o 1 2年 7月上 第 4 4 5期 高中 即 满 足不 等式 0 9 n 1 0 9 0 1 解 得 2 2 至 少需 要 2 2门高炮 才 能 以不 小 于 0 9的概率 击 中敌机 6 满分 1 8分 初 赛时 我们计 算 了 从 密度 均匀 薄 厚一 致 半 径 为 r的 圆形 纸 板 上 剪下 来 的 开角 为 2 的 弓形纸板 AB D 的重心位 置 这个 位 置 是在 弓形板 的对 称轴 上 距 圆 心 0 点 的距 离 为 等 的 氘 现在 有两 个半 径均 为 r 的 圆 圆 心分 别 为 点 0 和 0 A B 为两 个 圆 周 的交 点 则 圆弧 ADB 和圆弧 AEB 围成 了一 个 月牙 儿 的 图 形 ADB E 若 设 计 一种 特殊 的 月 牙儿 使 得 这 个 月 牙 儿 的 重 心 刚 好 位 于月 牙 儿 的 内圆 弧 AE B的 中点 E 的位 置上 这 时 B O 0 0 如 图所示 请你 根 据上 面得 到 的 弓形板 重心 的结论 求 满 足 的方 程 解 答 由问题可 知 四边形 A o B0 是一 个边 长为 r的菱 形 E O B一 0 DOB一丌 一 月 牙 的 图形 是 由 0上 的 弓 形 ADB 中挖 掉 三 0 上 的 弓 形 AEB 得 到 的 图 形 A0B 2 丌一 AO B 2 0 l 00 I 一2 r c o s 0 S A r j B一 s i n 0 c o s S扇 形 A D 舯 一 丌 一 S 扇 形 肛B o 一 r 2 可得 s 形 彻B c r 丌 一 s i n 0 c o s 0 记作 s D S 形 A E B c r s i n 0 c o s 0 记作 S E 则 S S 一S E r 丌 一2 0 2 s i n 0 c o s 0 根 据题 意可 知 弓形 ADBC的重心 Z 弓形 AE B C的重 心 Z 以及月牙 的重 心 Z都 应 位 于直 线 C D 上 如果记它们与圆心 点的距离分别为 76 z 和 则有 且应用初赛时得到 的结论 可知 一 一 I O O 咖 2 r s i n 7 r 一 3 Or O s i nOr O c o s Or O 注意 到 S 一S S 所 以 S x x 由此 可得 z一 3一 0 5 s i n 0 c o s 0 SE zD E 将 前面 分析 的结果 代入 这个 式子 化 简 后 可 得 一 舞 如果月 牙 的重 心位 于 月牙 的 内圆弧 的 E点 贝