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初二数学上学期期末考试复习建议(几何部分)第十二章 全等三角形 第十三章 轴对称一、通过框架图进行知识梳理全等形全等三角形角平分线的性质、判定解决问题对应边相等、对应角相等SSS，SAS，ASA，AAS，HL轴对称等腰三角形等边三角形画轴对称图形画轴对称图形的对称轴关于坐标轴对称的点的坐标的关系生活中的轴对称二、 基本尺规作图: 作法及原理 作一条线段等于已知线段; 作一个角等于已知角; 作已知角的平分线; 作已知线段的垂直平分线(作已知线段的中点) ; 三、适当总结证明方法: (1) 证明线段相等的方法 利用线段中点. 利用数量相等. 证明两条线段所在的两个三角形全等 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等 等腰三角形顶角平分线、底边上的高线平分底边 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等(2) 证明角相等的方法: 利用数量相等. 利用平行线的性质进行证明. 利用角平分线证明. 证明两个角所在的两个三角形全等 同角(或等角) 的余角(或补角) 相等 等腰三角形底边上的高线或底边中线平分顶角 等式性质 等边对等角(3) 证明两条线段的位置关系(平行、垂直) 的方法.(4) 常添加的辅助线: 截长补短 倍长中线 角分线双垂直 角分线翻折 平行线+角分线: 等腰三角形 角分线+垂直: 补全等腰三角形四、从图形变换的角度来复习全等同时复习几何的平移、轴对称两种变换, 归纳定义及 性质, 渗透旋转变换的思想全等三角形的常见图形平移型: ABC C B A A B C B C C A A B 轴对称型: A B B C C A B B C C A A A B B C C A A B (C ) C (B ) A B B C C A旋转型: A B C C B A B C C B B (C ) C (B ) A A A A B B C C 补充习题(一) 全等的性质和判定 1. 如图, 正方形的边长为4, 将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处, 该三角板的两条直角边与交于点F, 与延长线交于点E. 四边形的面积是( ) . A. 16 B. 12 C. 8 D. 4ABCDO2. 已知: 如图, AC、BD相交于点O, A = D, 请你再补充一个条件, 使AOBDOC, 你补充的条件是_. 3. 在ABC与ABC 中, 已知A = A, CD和CD 分别为ACB和ACB 的平分线, 再从以下三个条件: B = B, AC = AC, CD = CD 中任取两个为题设, 另一个为结论, 则可以构成 ( ) 个正确的命题. A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 根据下列已知条件, 不能唯一确定ABC的大小和形状的是( ) . A. AB3, BC4, AC5B. AB4, BC3, A30 C. A60, B45, AB4D. C90, AB6, AC = 55. 如图, 已知ABC, 则甲、乙、丙三个三角形中和ABC全等的是( ) . A. 只有乙B. 只有丙C. 甲和乙D. 乙和丙6. 已知: 如图, CB = DE, B = E, BAE = CAD. 求证: ACD = ADC. 7. 如图, 锐角ABC中, D, E分别是AB, AC边上的点, ADCADC, AEBAEB, 且CDEBBC, 记BE, CD交于点F, 若, 则BFC的大小是_. (用含x的式子表示) 第6题图 第7题图(二) 轴对称图形和垂直平分线1. 在下列各图中, 对称轴最多的图形有_条对称轴.2. (1) 点P(3, 5) 关于轴的对称点坐标为() A. (3, 5)B. (5, 3) C. (3, 5) D. (3, 5) AOB(2) 如图, 数轴上两点表示的数分别为和, 点B关于点A的对称点为C, 则点C所表示的数为( ) . B. C. D. (3) 如图, 在正方形网格纸上有三个点A, B, C, 现要在图中网格范围内再找格点D, 使得A, B, C, D四点组成的凸四边形是轴对称图形, 在图中标出所有满足条件的点D的位置. 3. 如图, 在RtABC中, ACB = 90, A = 15, AB的垂直平分线与 AC交于点D, 与AB交于点E, 连结BD. 若AD12cm, 则BC的长为 cm. 4. 如图, 已知ABC中, BAC = 120, 分别作AC, AB边的垂直平分线PM, PN交于点P, 分别交BC于点E和点F. 则以下各说法中: P = 60, EAF = 60, 点P到点B和点C的距离相等, PE = PF, 正确的说法是_. 第3题图 第4题图5. 已知AOB45, 点P在AOB的内部, P1与P关于OB对称, P2与P关于OA对称, 则P1、P2与O三点构成的三角形是( ) A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形 (三) 等腰三角形的性质和判定1. 等腰直角三角形的底边长为5, 则它的面积是( ). A. 50B. 25C. 12.5D. 6.252. 已知: 如图3, ABC中, 给出下列四个命题: 若ABAC, ADBC, 则12; 若ABAC, 12, 则BDDC; 若ABAC, BDDC, 则ADBC; 若ABAC, ADBC, BEAC, 则13; 其中, 真命题的个数是( ). A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3. 如图, 在ABC中, D是BC边上一点, 且AB = AD = DC, BAD = 40, 则C为( ) . A. 25 B. 35 C. 40 D. 504. 如图, 在ABC中, AB = AC, BAC = 30. 点D为ABC内一点, 且DB = DC, DCB = 30. 点E为BD延长线上一点, 且AE = AB. (1) 求ADE的度数; (2) 若点M在DE上, 且DM = DA, 求证: ME = DC. 5. 已知: 如图, ABC中, 点分别在边上, 是中点, 连交于点, , 比较线段与的大小, 并证明你的结论. (四) 等边三角形(30 角直角三角形) 1. 下列条件中, 不能得到等边三角形的是( ) . A. 有两个内角是60的三角形B. 有两边相等且是轴对称图形的三角形 C. 三边都相等的三角形 D. 有一个角是60且是轴对称图形的三角形 2. 如图, ABC中, ABAC, BAC120, DE垂直平分AC. 根据以上条件, 可知B_, BAD_, BD: DC_. 3. 如图, 在纸片ABC中, AC = 6, A = 30, C = 90, 将A沿DE折叠, 使点A与点B重合, 则折痕DE的长为_. 4. 如图所示ABC中, AB = AC, AG平分BAC; FBC = BFG = 60, 若FG = 3, FB = 7, 求BC的长. (五) 最值问题1. 如图, P、Q为边上的两个定点. 在BC边上求作一点M, 使PM+MQ最短2. 已知: 如图, 牧马营地在M处, 每天牧马人要赶着马群到草地吃草, 再到河边饮水, 最后回到营地M. 请在图上画出最短的放牧路线. . 第1题图 第2题图3. 如图, 四边形EFGH是一长方形的台球桌面, 现在黑、白两球分别位于A、B两点的位置上. 试问怎样撞击黑球A, 才能使黑球A先碰到球台边EF, 反弹一次后再击中白球B? 4. 如图, MN是正方形ABCD的一条对称轴, 点P是直线MN上的一个动点, 当PC+PD最小时, PCD = _. 5. 已知两点M(4, 2) , N(1, 1) , 点P是x轴上一动点, 若使PM+PN最短, 则点P的坐标应为_. 6. 平面直角坐标系xOy中, 已知点A(0, 4) , 直线x = 3, 一个动点P自OA的中点M出发, 先到达x轴上的某点(设为点E) , 再到达直线x = 6上某点(设为点F) 最后运动到点A, 求使点P运动的路径中最短的点E、F的坐标. 几何专题复习(一) 分类讨论1. 等腰三角形的一个角是110, 求其另两角? 等腰三角形的一个角是80, 求其另两角? 等腰三角形两内角之比为2: 1, 求其三个内角的大小? 2. 等腰三角形的两边长为5cm、6cm, 求其周长? 等腰三角形的两边长为10cm、21cm, 求其周长? 3. 等腰三角形一腰上的中线将周长分为12cm和21cm两部分, 求其底边长? 等腰三角形一腰上的中线将周长分为24cm和27cm两部分, 求其底边长? 4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30, 则其顶角为_.(按高的位置分类)5. 等腰三角形一边上的高等于底边的一半, 则其顶角为_.6. 等腰三角形一腰上的高等于腰的一半, 则其顶角为_.7. 等腰三角形一边上的高等于这边的一半, 则其顶角为_.8. ABC中, AB = AC, AB的中垂线EF与AC所在直线相交所成锐角为40, 则B = _. (按一腰中垂线与另一腰的交点所在位置分类) 9. 已知: 为等腰三角形 , 问满足条件的C点有几个? 10. 在正方形ABCD所在平面上找一点P, 使PAD、PAB、PBC、PCD均为等腰三角形, 这样的P点有几个? 11. 平面内有一点D到ABC三个顶点的距离DA = DB = DC, 若DAB = 30, DAC = 40, 则BDC的大小是_. (二) 几何作图1. 如图, 某地区要在区域S内建一个超市M, 按照要求, 超市M到两个新建的居民小区A, B的距离相等, 到两条公路OC, OD的距离也相等. 这个超市应该建在何处? (本题要求: 尺规作图, 不写作法, 保留作图痕迹) SABDO2. 尺规作图作的平分线方法如下: 以为圆心, 任意长为半径画弧交、于、, 再分别以点、为圆心, 以大于长为半径画弧, 两弧交于点, 则作射线即为所求. 由作法得的根据是( ) . A. SASB. ASAC. AASD. SSSOAB3. 如图, 用圆规以直角顶点O为圆心, 以适当半径画一条弧交两直角边于A、B两点, 若再以A为圆心, 以OA为半径画弧, 与弧AB交于点C, 则AOC等于 _ 4. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现, 只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个锐角的平分线. 如图: 一把直尺压住射线OB, 另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P, 小明说: “射线OP就是BOA的角平分线. ”你认为小明的想法正确吗? 请说明理由. 5. 阅读下列材料: 木工张师傅在加工制作家具的时候, 用下面的方法在木板上画直角: 如图1, 他首先在需要加工的位置画一条线段AB, 接着分别以点A、点B为圆心, 以大于的适当长为半径画弧, 两弧相交于点C, 再以C为圆心, 以同样长为半径画弧交AC的延长线于点D(点D需落在木板上) , 连接DB. 则ABD就是直角. 木工张师傅把上面的这种作直角的方法叫做“三弧法. ACBD图1图2EF解决下列问题: (1) 利用图1就ABD是直角作出合理解释(要求: 先写出已知、求证, 再进行证明); (2) 图2表示的一块残缺的圆形木板, 请你用“三弧法”, 在木板上画出一个以EF为一条直角边的直角三角形EFG(要求: 尺规作图, 不写作法, 保留作图痕迹) . (三) 操作问题 第1题 图 图 第2题图 第1题1. 如图, 一张四边形纸片ABCD, A50, C150. 若将其按照图所示方式折叠后, 恰好MDAB, NDBC, 则D的度数为( ). A. 70 B. 75 C. 80 D. 852. 如图所示, 把一个三角形纸片ABC顶角向内折叠3次之后, 3个顶点不重合, 那么图中1+ 2+3+4+5+6的值为( ) A. 180 B. 270 C. 360 D. 无法确定3. 将一个菱形纸片依次按下图、的方式对折, 然后沿图中的虚线裁剪, 成图样式. 将纸展开铺平. 所得到的图形是图中的( ) 4. 如图, 等边ABC的边长为1cm, D、E分别是AB、AC上的点, 将ADE沿直线DE折叠, 点A落在点A处, 且点在ABC外部, 则阴影部分图形的周长为_cm. (3) 5. 如图, 将一张三角形纸片ABC折叠, 使点A落在BC边上, 折痕EFBC, 得到EFG; 再继续将纸片沿BEG的对称轴EM折叠, 依照上述做法, 再将CFG折叠, 最终得到矩形EMNF, 折叠后的EMG和FNG的面积分别为1和2, 则ABC的面积为( )A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 6. 将如图1所示的长方形纸片ABCD沿过点A的直线折叠, 使点B落在AD边上, 折痕为AE(如图2) ; 再继续将纸片沿过点E的直线折叠, 使点A落在EC边上, 折痕为EF(如图3) , 则在图3中, FAE = _, AFE = _. (45, 67.5) 图1 图2 图37.(1) 已知中, , , 请画一条直线, 把这个三角形分割成两个等腰三角形. (请你选用下面给出的备用图, 把所有不同的分割方法都画出来. 只需画图, 不必说明理由, 但要在图中标出相等两角的度数) (2) 已知中, 是其最小的内角, 过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形, 请探求与之间的所有可能的关系. ABC备用图ABC备用图ABC备用图8. 当身边没有量角器时, 怎样得到一些特定度数的角呢? 动手操作有时可以解“燃眉之急”. 如图, 已知矩形ABCD, 我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角: (1) 以点A所在直线为折痕, 折叠纸片, 使点B落在AD上, 折痕与BC交于E; (2) 将纸片展平后, 再一次折叠纸片, 以E所在直线为折痕, 使点A落在BC上, 折痕EF交AD于F. 则AFE = _. 9. 如图(1)所示RtABC中, A = 90, 三边. 现以ABC某一边的垂直平分线为对称轴, 作ABC的轴对称图形, 记作一次操作. 例如, 若图(1)中ABC以a边的垂直平分线为对称轴, 作轴对称图形得到图(2)中的ABC, 记作“a操作”一次; 图(2)中ABC继续以b边的垂直平分线为对称轴, 作轴对称图形得到图(3)中的ABC, 记作“b操作”一次. 现对图(1)中的ABC分别按以下顺序连续进行若干次操作, 则最后得到的ABC与图(1)中ABC重合的是( ) . A. a操作 b操作 c操作B. b操作 c操作 b操作 c操作C. a操作 c操作 b操作 a操作D. b操作 a操作 b操作 a操作四、探究性问题1. 已知: 如图, RtABC中, AB = AC, BAC = 90, 直线AE是经过点A的任一直线, BDAE于D, CEAE于E, BD CE. (1) AD与CE的大小关系如何? 请说明理由. (2) 求证: DEBDCE. 2. 已知: 如图, B、A、C三点共线, 并且RtABDRtECA, M是DE的中点. 问题: (1) 判断ADE的形状并证明; (2) 判断线段AM与线段DE的关系并证明; (3) 判断MBC的形状并证明. 3.已知: 在ABC中, CAB = , 且, AP平分CAB. (1) 如图1, 若, ABC = 32, 且AP交BC于点P, 试探究线段AB, AC与PB之间的数量关系, 并对你的结论加以证明; 图1图2 (2) 如图2, 若ABC = , 点P在ABC的内部, 且使CBP = 30, 求APC的度数(用含的代数式表示) . 五、关于旋转的问题、动点问题1. 已知: 如图, AOB和COD都是等边三角形, 作直线AC、直线BD交于E. 求证: (1) ACBD; (2) AEB60. ACBPEFQ2. 已知: 如图, 等边三角形ABC中, AB = 2, 点P是AB边上的一动点(点P可以与点A重合, 但不与点B重合) , 过点P作PEBC, 垂足为E, 过点E作EFAC, 垂足为F, 过点F作FQAB, 垂足为Q. 设BP = x, AQ = y. (1) 请用x的代数式表示y(直接写出) ; (2) 当BP的长等于多少时, 点P与点Q重合; 3. 已知: 如图, ABC中, A90, ABAC. D是斜边BC的中点; E、F分别在线段AB、AC上, 且EDF90. (1) 求证: DEF为等腰直角三角形. (2) 如果E点运动到AB的反向延长线上, F在直线CA上且仍保持EDF90, 那么DEF还仍然是等腰直角三角形吗? 请画图(右图) 并直接写出你的结论. 4. 如图所示, 长方形ABCD中, AB = 4, BC = 4, 点E是折线段ADC上的一个动点(点E与点A不重合) , 点P是点A关于BE的对称点. 在点E运动的过程中, 能使PCB为等腰三角形的点E的位置共有( ) . A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 AQCDBP5. 如图中, 厘米, 厘米, 点为中点. (1) 如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动, 同时, 点Q在线段CA上由C点向A点运动. 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等, 经过1秒后, 与是否全等, 请说明理由; 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等, 当点Q的运动速度为多少时, 能够使与全等? (2) 若点Q以中的运动速度从点C出发, 点P以原来的运动速度从点B同时出发, 都逆时针沿三边运动, 求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇? MlOxy1C六、综合应用1. 在平面直角坐标系中, 直线l过点M(3,0), 且平行于y轴.如果ABC三个顶点的坐标分别是A(-2,0), B(-1,0),C(-1,2), ABC关于y轴的对称图形是A1B1C1, A1B1C1关于直线l的对称图形是A2B2C2, 在右面的坐标系中画出A2B2C2, 并写出它的三个顶点的坐标. 2. 已知: 如图, 在ABC中, AB = AC, BAC = , 且60 - (C) =8. 化简_ _9. 计算（1）（）2 （2）-（）2 （3）（）2 （4）（-3）210. 等式成立的条件是（ ） (A) x1 (B) x-1 (C) -1x1 (D) x1或x-111. 下列运算错误的是( )(A) (B) (C) (D) 12. 下列各式计算正确的是（ ）(A) m2 m3 = m6 (B) (C) (D) （a1）13. 在根式, , , , , , , , 中, 最简二次根式的个数为 _14. 若最简二次根式与最简二次根式可以合并, 则的取值为_ _.15. 已知最简二次根式与是同类二次根式, 则的值的_16. 满足的整数对有（ ）(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D)多于3个17. 化简: ; = ; ; 18. （1）实数在数轴上的位置如图所示: 化简: （2）若, 那么的值为 19. 若-3x2时, 试化简x-2+.20. （1）已知: 为实数, 且, 化简: （2）若, 则代数式的值是（3）若成立, 化简2. 二次根式的运算二次根式的乘法: 二次根式的除法: 二次根式的加减法: 将每个二次根式化为最简二次根式; 合并同类二次根式相关练习:1. 下列计算正确的是（ ）(A) (B) (C) (D) 2. 计算: =_; =_;=_; =_;3. 先将化简, 然后自选一个合适的值, 代入化简后的式子求值4. 计算（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9）; （10）（11） （12）（13） （14）5. 计算 （1） （2）（3） （4）3. 二次根式的化简求值相关练习:1. 已知:, 求的值.2. 已知:a2, b2, 试求的值3. 先化简, 再求值:（6x+）（4x+）, 其中x=, y=274. 在实数范围内分解因式: （1） （2）5. 下面不等关系正确的是（ ）(A) (B) (C) (D) 6. 已知的整数部分为, 小数部分为, 求的值7. 已知, , 求的值.8. 已知: , 求: (1)的值; (2)的值9.（1）已知, 求的值. （2）已知a+b=-3, ab=1, 求的值.10. （1）已知, 求的值.（2）已知, 求的值.GFEDCBAPQMN五. 关于代数、几何综合问题1. 应用方程思想解决几何问题举例: 如图ABC面积为1, 点D、E为BC的三等分点, 点F、G为AC的三等分点, 请求出多个三角形和四边形的面积.2. 应用因式分解的方法解决几何问题举例: 若一个三角形的三边长分别为a, b, c, 且满足, 试判断三角形的形状, 并加以证明. 3. 坐标系中的几何图形问题举例: （1）（2012四川成都）如图, 在平面直角坐标系xOy中，点P(，5)关于y轴的对称点的坐标为（ ）A(，) B(3，5) C(3，) D(5，)（2）（2012深圳市）已知点关于轴的对称点在第一象限, 则的取值范围是（ ）A. B. C D. （3）每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形, 梯形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示. 在平面直角坐标系中画出梯形ABCD关于直线AD的轴对称图形AB1C1D; 求出图形ABCC1 B1A的面积; 点P是y轴上一个动点, 请直接写出所有满足POA是等腰三角形的动点P的个数. ABOxy（4） 如图, 在直角坐标系xOy中, A、B两点的坐标分别为, , 若一个直角三角形与仅有一条公共边, 并且这两个三角形全等. (1) 符合题意的直角三角形共有_个; (2) 请写出符合题意的直角三角形中, 未知顶点的坐标: _ (写出4个即可) 整式的乘法与因式分解部分 1. 在同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方公式的复习过程中，要注意：（1）关于幂的运算中一些记忆的方法:同底数幂相乘指数相加（“乘”变“加”，降一级运算）；同底数幂相除指数相减（“除”变“减”，降一级运算）；幂的乘方指数相乘（“乘方”变“乘”，降一级运算）；最后积的乘方单记.（2）公式中的底数、指数都可以是数，也可以是单项式或者是多项式; 指数可以是正整数, 也可以是负整数. （3）一些同底数幂的表面形式可能不相同，但其本质是同底数幂，要善于应用相关法则进行转化. 注意对“”的应用：借助它可以将底数互为相反数的问题化成同底数幂的形式来解决；在乘方运算中，底数是负数时，可以通过它来确定乘方的符号，例如：计算 . （4）强调在计算过程中，应该先进行符号的运算; 同时强调要有简算的意识. （5）公式的逆用：； ；.2. 在乘法公式的复习过程中，抓住公式中的几个变化形式有利于对公式的理解：（1）对于平方差公式: 位置变化：如 ; 系数变化：如； 指数变化：如； 符号变化：如 ；数字变化：如98102； 增项变化：如 ； 增因式变化：如；等等.（2）完全平方公式与平方差公式的综合应用：如；（3）利用完全平方公式变形、求值：；等等.（4）可以根据学生情况，补充一些公式：; ; 等等. 因式分解 整式乘法3. 在因式分解的复习过程中, 注意强调:（1）因式分解与整式乘法的关系 : p2 - q2 (p + q )(p - q) （2） 方法: 提公因式法 公式法 (平方差, 完全平方) 十字相乘法 * 分组分解法（3）注意事项: 因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式; 因式分解要进行到不能再分解为止; 最终分解结果仅相差一个数字因数的，可看作分解结果相同; 并不是所有多项式都能分解因式.4. 数学思想方法: 转化思想; 整体思想 ; 数学方法: 换元法, 配方法. 参考练习:1 . 分解因式 （利用公式: a2 - b2 = (a + b)(a - b)） (1