浅谈高等数学在初等数学中的应用--毕业论文.doc

【标题】浅谈高等数学在初等数学中的应用 【作者】袁 英 【关键词】高等数学初等数学衔接应用 【指导老师】杨天标 【专业】数学与应用数学 【正文】1.引言我们知道,初等数学与高等数学之间无论在观点上还是在方法上都有着很大的区别.正是如此,有人认为:学生不需要懂得什么高等数学知识,教师只要照课本讲下去就可以了.其实这是一种误解.诚然,我们在课堂上不能把高等数学知识传授给学生,但我们仅仅停留在课本上是不够的,有时甚至连自己对一些初等数学的问题也可能感到费解,这是因为:一方面,高等数学是初等数学的继续和提高;另一方面,初等数学里很多理论遗留问题必须在高等数学中才能得澄清.因此,高等数学在初等数学中的作用不能掉以轻心,下面谈谈一些初浅的体会.2.初等数学与高等数学的定位一般来说，数学史学家把数学的发展分为四个阶段：萌芽时期、初等数学时期、古典高等数学时期、现代高等数学时期（或五个时期，再加上当代时期）.无论何种分发，都把第二发展时期叫做“初等数学时期”，这个时期的数学知识和经验就是“初等数学”，而把第三、第四或第三、四、五阶段叫做“高等数学时期”，这些阶段的数学知识和经验就是“高等数学”.理论意义下的初等数学和高等数学是按照恩格斯（Engles）的经典分发：所谓初等数学是指常量数学，高等数学就是指变量数学，并把笛卡尔（R.Descartes）1637年发表的解析几何看成为出现高等数学或进入高等数学时期的标志.而教育意义下的初等数学高等数学是依据教育的发展历程和教育的等级加以区分的，即视普通初等、中等教育（即中、小教育）阶段的数学主要内容为初等数学，视初等教育阶段的数学主要内容为初等数学，视高等教育的数学主要内容为高等数学1.当然，由于社会和教育的思想、方法、手段尤为其是教育内容都在不断发展，“初等数学”和“高等数学”也是一个变化的客体对象，两者没有严格的概念区别.事实上，数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力在于各部分之间的内在联系，这就需要深入研究初等数学，理清其中最基本的思想和方法，努力寻求初等数学和高等数学的结合点.3.高等数学与初等数学的融合大学生特别是师范类大学生,一入学就发现，他们面对的问题好像同中学里学过的东西一点联系也没有,当然也很快就完全忘了中学所学的东西；但是毕业以后当了中学教师,他们突然发现,要按老师的教法来传授中学内容,由于缺乏指导,他们又很难辨明当前的中学教学内容和所学大学课程之间的联系.数学专业的大学生学到的专业知识是不少的,但许多重要高等数学对初等数学的渗透，注重用高等观点来研究初等数学，注重高等数学对初等数学的直接指导作用,总之,如果我们注重初等数学同高等数学的融合,我们就一定能克服上述弊端,就能平稳地实现中学学习-大学学习-中学教学之间的过度2.3.1高等数学对初等数学的渗透随着中学数学教学的改革，已有很多高等数学的知识渗透到中学数学教学中去.近几年来，国际中学生奥林匹克数学竞赛的试题中，与初等数论有关的题目呈现增高的趋势.它牵涉到数论中整数的表示法、整除性理论与同余理论.如果我们在初等数论的教学过程中，注意把初等数论是理论同中学奥林匹克数学竞赛的内容结合起来讲，将会收到意想不到的效果.多项式属于古典代数的范畴,这个课题的基本知识分散在中学一直到大学的课本中，如果我们在讲授多项式时，注意中学与大学间的衔接,注意它们间的关系,这将有助于提高大学生学习多项式的情趣.渗透到中学数学教学中的内容除多项式、初等数论外，还有组合数学、不等式与向量代数等等.在讲授这些内容时，应将此内容与中学现行教材结合起来，这既能提高学生学习这些内容的情趣，又有助于实现中学学习-大学学习-中学教学间的平稳过渡3.3.2高观点下的初等数学作为一名准中学数学教师，仅仅懂一点初等数学是远远不过的，他必须具备较好的数学专业知识.观点越高，事物越显得简单.例如，在实数域里不好理解的某些东西，从复数域的观点看就清楚了；在欧氏空间里某些无法解释的现象，从射影空间的观点看，就有满意的说明；中学的最值问题，用导数来理解就清楚多了.又如，从多项式及一元有理式函数的图象表示开始，由此得出曲线与坐标轴的交点就是多项式的零点，自然而然地引导到方程的近似数值解，曲线的几何图象自然地给微商和积分这两个概念提供了直观背景，曲线的斜率引进微商，曲线与轴围成的面积引进积分.总之，许多高等数学的理论是建立在一些初等数学问题之上的，如果我们学习高等数学时，将这些问题联系起来，既能帮助我们学好高等数学，又有益于今后的中学数学教学.3.3高等数学与初等数学的融合应遵循比较性原则：学习高等数学时，从方法上要和初等数学进行比较.例如选择一些既可以用高等数学又可以用初等数学解决的问题，分别采用两种方法讲解.通过这种对比性的讲解，学生就会体会到知识的相融性，激发他们的学习兴趣，提高他们的理解能力和认识水平.如证明三角形中位线定理、三角形三线定理、平行四边形对角线互相平分定理等等，除利用初等数学方法证明之外，还可以利用解析几何学中的向量法证明.发展性原则：高等数学是在初等数学的基础上发展的，那么，在高等数学的教学中应尽可能体现出这一点.例如，函数,的递增性，中学对这一问题通过观察图象直观描述的，没有给出理论上的证明，可以说是在中学阶段没有得到充分解决的问题.而在高等数学中，则通过求导数判定函数在某个区间上的递增性的方法来解决.即设在内可导，当时，有，则在内递增(，为实数).所以，函数，在上递增，由此得到理论上的证明.在教学中坚持这一原则，可使学生感到数学是发展的，从而激励他们不断地学习.4.高等数学对初等数学的拓展4.1代数方面集合：众说周知，集合论是现代数学的基础，集合概念是数学中的一个原始概念.中小学数学中都贯穿了集合的思想，高中开始使用集合语言来研究问题，通过高中的学习，对集合的表示、集合之间的简单运算应该比较熟悉，对集合与集合之间的影射等有所了解.高等数学将在此基础上进一步考虑集合的运算，引入集合的“势”的概念，比较两个无穷集合的大小以及赋予集合某些数学结构（如代数结构、测度结构、拓扑），研究具有不同数学结构集合之间的映射关系.如代数学主要是研究具有代数结构集合之间的映射，如同态、同构、群、环、域等；而实数函数论主要是研究具有勒贝格测度的集合之间的映射，如可测函数.函数及其性质：函数是数学上的一个基本而有重要的概念，从中学数学到高等数学，函数概念逐步从直观向抽象发展、变量说、对应说（映射说），关系说是三种主要的定义方式.用“关系”来定义函数，比较抽象，一般不容易理解，在现代数学（如拓扑学、泛函分析等）中使用较多.对应说（映射说）是中学数学及一般高等数学中普遍采用的方式.映射是现代数学中的一个基本概念，它贯穿于现代数学各个分支，函数，变换等都是映射的例子.中学数学中所讲的函数主要是六种基本初等函数：常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、研究它们的结构与形态（单调性、奇偶性、周期性）.高等数学在此基础上定义了复合函数，初等函数等概念，使函数的量进一步扩展，进一步研究一般函数的奇偶性，单调性（用导数方法判断可导函数的单调性）、周期性（给出周期函数的一般定义以求周期的方法）、有界性、极值性（用导数方法求极值）、连续性、可导性、可积性、以及多项式函数的理论.由于现实中应用的许多函数都是初等函数，而初等函数又具有较好的分析性质，因而常成为研究抽象函数的例子、模型.微积分中函数的主体是初等函数，由基本初等函数到初等函数，衔接是比较紧密的.数列、极限与级数：中学数学中讲到数列的定义，等差、等比数列以及它们的前项的和与数列极限，这是数学分析中级数论与级数论的基础.极限法数学分析的一个主要方法，贯穿于数学分析的始终.中学数学中再给极限精确的定量定义.级数论中将研究无穷数列与函数列的和（级数）的收敛与发散，部分数列和的求法，以及函数级数的和函数的分析性质，把函数展成级数等.复数与复变函数论:中学数学中讲了复数的概念、表示法（代数形式、向量形式、三角形式）、运算.复数的引进，完满的证明了高等代数的基本定理及多元二次型的分解等.另外，复变函数论研究的一类重要函数-解析函数（包括初等函数），只有在复数域中来讨论才能彻底弄清楚.因此，中学数学中的复数是复变函数论的一个重要基础，它们之间最好是按“螺旋式”上升方式来衔接.排列、组合、二项式定理与概率论：中学数学中排列、组合、二项式定理及概率是高等数学中概率论与数理统计的基础.由于这部分内容与其它内容联系较少，学生普遍感到难学，有的教师也可能降低要求.但大部分概率与统计的教材，都是在中学的基础上来编写的，它们是对随机现象演绎的研究与对随机现象统计规律归纳研究.因此，中学排列、组合、二项式定理的内容一点都不能削弱.方程与方程组：中学数学中重要讲了一元一次、二元、三次方程及简单高次方程的解的情况，并没有对一般高次方程作深入讨论，方程组也大多是二元线性或三元线性方程组.高等数学中将对中学数学中的方程与方程组作推广，高等代数对高次方程的解（根）的情况将作全面讨论，明确五次（含五次）以上的方程无公式解，复系数一元次方程必有个根.用行列式和矩阵理论来讨论元线性方程的解（存在性、解法、结构），用微积分研究微分方程与方程组的解等4.4.2几何方面立体几何与空间解析几何：中学平面几何主要包括相交线、平行线、三角形、四边形、面积、相似形和圆的一些概念及性质、点的轨迹的概念等内容.立体几何主要包括直线和平面的位置关系及其性质，多面体和旋转体的一些概念、性质、画法及表面积和体积的公式等内容.主要使学生会综合性处理几何的方法.而空间解析几何是在具有空间结构观念的基础上,用向量、变量与空间直线、柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面及其一般理论，使学生学会解析地处理几何的方法.平面解析几何与空间解析几何：中学平面解析几何主要讲平面上直线方程、圆锥曲线（二次曲线的几种简单形式）方程及形态、参数方程与极坐标等内容.空间解析几何将进一步研究二次曲线的一般理论（二次曲线与直线的相关位置、二次曲线的渐进方向、中心、渐进线、切线、直径以及二次曲线的化简与分类等）和二次曲面的一般理论（二次曲面与直线的相关位置、二次曲面的渐进方向与中心、切线与切平面、径面与奇向、主径面与主方向、特征方程与特征根以及二次曲面的化简与分类等）.空间解析几何是平面解析几何的自然延伸.5.高等数学在初等数学的解题中的应用5.1用高等数学观点看初等数学不等式5.1.1柯西布涅柯夫斯基不等式的应用解析几何中矢量X、Y的内积（X、Y）可表为（X、Y）=|X|?|Y|Cos，其中|X|Y|为矢量X、Y的模，Cos表示矢量X与Y夹角的余弦，可推出著名的柯西布涅柯夫斯基不等式，当且仅当矢量X,Y共线(即X,Y线性相关)时等号才成立.下面我们用柯西布涅柯夫斯基不等式来研究初等数学不等式.例1若,那么(当且仅当时“=”成立)这个不等式是中学不等式证明的基础，这里我们用内积考虑其证明，设向量X=,Y=,由解析几何知，=,由柯西布涅柯夫斯基不等得即,显然同号或之一为零时成立，若异号因而仍成立.当时，向量X与向量Y重合即共线，柯西布涅柯夫斯基不等式取等号.5例2已知,求证此题在中学可用分析法或综合法证，这里引入向量,，由知即向量与不共线，那么此时柯西布涅柯夫斯基不等式不能取等号即而,因而,所以5.1.2詹森不等式的应用在数学分析中，关于上凸（或下凹）函数的定义是用詹森不等式来刻划的.在连续，对中任意两点，有，则称在上是向上凸，,则称f(x)在a,b是向下凸.由于定义是充要条件，因为若我们已知是定义域上连续的向上凸函数，且在定义域内，那么成立.6例3.证明此题在中学教学中用分析法或综合法均可证这里我们用函数的凸性来证，引入函数，由题意知它是R上是下凸函数，任意a,b R由下凸函数的定义知，得在中学高中课本中遇到含n的式（或不等式）一般均用数学归纳法加以解决，证明起来相当麻烦，但若用詹森不等式处理就转为简便.例4.若 a0,b0,n N,求证.n=1时显然取等号，n=2时例3已证n 3时,取,f(x)在R+上连续且,在R+上由数学分析知在R+为向下凸函数不等式成立,即成立.5.1.3条件极值与条件不等式的应用在诸变量是和一定前提下诸变量平方和的最小值的应用在数学分析条件极值中,我们曾研究过在条件下求的最小值，其达到最小值的坐标为函数的最小值为，从而得到.7以上说明在诸变量的和一定的情况下，诸变量平方和的最小值，必在诸变量相等时（即平均数）取到，因而我们可以用平均数来证明很多不等式.如果我们再将解析几何用上可以对很多不等式给以几何解释，从而加深对不等式的理解起到高层建瓴的作用.例5.已知为正实数，且,求证这是一道传统的条件不等式的证明题，在中学教学里有很多方法证明,但都从出发加以推导.如果我们用条件极值来处理条件不等式用前面所提到的结论,即，那么=时,为最小其最小值为因而.此题目若用柯西布涅柯夫斯基不等式,在R中令,可得.而所以.用解析几何的观点，看为空间一个平面,表坐标原点与该平面任意点连线的距离的平方,它们的最小者为原点到平面的距离的平方.而原点到平面的距离=,因而.由于有前面所述条件极值的结论,诸变量的和一定条件下,诸变量平方和的最小值在诸变量相等（即取平均值）时,因而例5还可以给出新颖的初等证法.证：设=,因为所以,当即x=y=z=时，上式不等式方为等式.有了以上证法我们又可借助条件不等式来看条件极值，若那么的最小值.因为设可正可负，但=数学分析中在限制条件的条件下u=的最大值为,即最大值点为从而可得=u=若进一步可得算术平均数与几何平均数的关系：此不等式在初等数学中作用甚大但证明时用数学归纳法较为繁难.此不等式说明n个正变数的和一定，当且仅当n个变数均相等时这n个变数乘积的次方根才取到最大值.因此可得矩形用长一定其正方形面积最大，长方形的长宽高之和一定以正方形的体积为最大.例6.若 0，证明首先考虑函数y= 1-3)的最大值而 1-3)=可将上式视为三变数，的乘积，由前知,当且仅当=时其几何平均值不超过算术平均值，即因而,从而以上证法若将视为三变数，,但这三个变数之和不为常数，因此必须设法乘以系数，变形后新的诸变量的和为一常数，新的几何均值可求出，从而证明了不等式.5.2导数在初等数学中的应用5.2.1单调性问题例7、已知,且，试问：是否存在实数，使在上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.解：假设存在实数满足题设=令=0若2,则x=0.当(-，0)时，0;当时，在（- 0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，显然不符合题设.若2，则=0或当时；当时；当时；当时;的单调增区间是,的单调减区间是,所以要使在（-,-1）上是减函数，且在（-1，0）上是增函数，则=-1，即=4.85.2.2最(极)值问题例8、已知函数在=1处有极值为10，求的值.解：有一个根=1,故(1)又(1)=10,故(2)联立（1），（2）消去得，由此可得或当时,这时在处无极值，不合题意当时，.1时,时,.这时是极小值故.95.3常微分方程的思想方法在初等数学中的应用5.3.1常微分方程的建模技术应用方程作为解决实际问题的重要思想方法，历来受到人们的重视，历史上，就有笛卡儿曾经设想过所谓的“万能方法”：把任何问题转化为数学问题把任何数学问题转化代数问题把任何代数问题归结为解方程.尽管笛卡儿的设想最后并未成功，它仍然不矢一个伟大的思想.而今，随常微分方程建模技术的形成，使方程思想发挥更大作用.例9、有一水池，若单独进水24小时可以灌满，若单独放水48小时可以排完.现同时进水和放水，多少小时可灌满水池？若设水池容积为V，水池灌满时刻为T，建立中学代数方程：即T=48（小时）但实际中，进水可为衡量，而排水却是随水池水位下降流量不断减少.于是，对于深度为H的水池，单独进满水和排完水时间分别为和,建立微分方程：即此时，当=24，=48则根本无法灌满水.这正像美国数学主席D.L.伯恩斯坦指出：“数学在应用中的作用，通常如图所示：现实世界中的问题 列出数学方程现实世界中的解 数学解当然,人们也可以从现实世界中的问题出发，直接通过实验或观察，从而获得现实世界的解，但是这样做往往是行不通的，或者由于花费昂贵，只好作罢.所以制胜的方法是通过数学模型，走一条迂回的道路.建立和处理数学模型的过程，就是将数学理论知识应用与实际问题的过程.因此，它是当今“大众数学”观下的“问题解决”的重要工具.5.3.2 Picard逼进法微分方程解的存在唯一性定理.是微分方程最基本的理论，一般都是采用皮卡（Picard）逼进法.其核心是对积分方程：=(5-1) 取函数代入（5-1），若其成立，则得到其解；否则没有新积分方程：(5-2)再取函数代入（5-2），若其成立，则得到其解；否则，取新函数，继续作下去，得到一例函数：满足积分方程：如果这列函数一致收敛与一个函数y=y(x)，则y=y(x)就是（5-1）的解.这种通过巧妙构造函数序列，采用逐步逼近解决问题的方法，不仅新颖有趣，而且有着广泛的实用价值，从古代的“割圆术”求圆周率，到近世分析中的“e”值求法都是它典型应用.柯西问题：求函数方程在R内的单调函数解：利用数学归纳法，先对自然数n给出结果：然后给出有理数关系(再对单调函数，给出实数解：这种沿整数有理数实数的逼近思想方法，从而获得函数解.105.4利用高等几何在解初等数学在高等几何中我们知道：圆的仿射对应图形是椭圆，直线的仿射对应图形是直线.且仿射变换保持结合性不变，因此圆的切线仿射图形是椭圆的切线.这为我们研究直线和椭圆的位置关系提供了一种简单的方法，那就是将直线和椭圆通过一个仿射变换还原为直线和圆.11例10、求椭圆和直线有两个不同公共点的条件.解：作仿射变换：则令即得这比通常的转化为一元二次方程的判别式要简单.又如：讨论函数在（0，）内的单调性，其中显然要对进行讨论，那么讨论的界点在哪里呢？求一下导数,由此可见要分与两种情况来讨论,在的情况下再考虑（0，）和（内的单调性.5.5利用离散数学解决初等数学中的问题离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学与技术的理论基础，所以又被称为计算机数学.离散数学包括数理逻辑、集合论、数论、代数结构和图论等等，其中数理逻辑的用数学方法研究推理，是研究推理中前提和结论之间的形式关系的科学，在初等数学里应用较广.所谓推理就是建立一套表意符号体系，对具体事物进行抽象的形式研究的方法.因此，数理逻辑又称为符号逻辑，这种方法的优点是表达简洁、推理方便、概括性好、易于分析等.例11、证明：“若p则q”“若则”证明用反证法,先证“若p则q”“若则”.则假设“若则p”，又由“若p则q”就会导致“若则q”的矛盾，故只能有“若则”.再证“若则”“若p则q”：假设“若p则”，又由“若则”就会导致“若p则”的矛盾，故只能有“若p则q”，从而原命题得证.从数理逻辑学角度看，上述证明出现两处错误，一是“若则”的否定是（），而不是“若则p”；二是“若则q”并非是矛盾的，这是因为当q为真时,根据蕴涵定义“若则q”为真命题.如果按照上述这种错误证明，原命题“若p则q”与逆命题“若q则p”也可以证其等效，即假设“若q则p”不成立，那么“若q则”，有已知“若p则q”，从而“若p则”，这是不可能的，因此“若q则p”.同理可证：“若q则p”“若p则q”.显然原命题与逆命题不等效，可见这种证明是错误的.证明