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中继站数目最优化方案摘要 现代社会，通信技术在每个人的生活中有这不可替代地位，可以说没有通信技术的发展就不会有我们今天便捷的生活。而中继站是通信技术中的一贯重要环节，中继站的布局合理性直接关系到通信的质量，以及用户对通信公司服务态度的满意度。布局合理的中继站，不仅可以提高通信质量，还可以为企业节省很大一部分资金。合理布局网络以提高服务质量是无线网络设计中的一个重要挑战。问题一：在一个半径40英里的圆形区域里，用最少量的中继站来容纳1000同时并发用户。 把正多边形无遗漏覆盖原理当中正六边形的重叠面积最小应用到模型中，从而得出：容纳1000同时并发用户的一个数学模型为：（R=40，r（）是中继站的覆盖半径）可以，很快算出对应覆盖半径中继站需要的最小数量。问题二：在一个半径40英里的圆形区域里，用最少量的中继站来容纳10000同时并发用户。一种方法就是在问题一的模型上叠加5层，还有一种方法是类比在圆中随机画直径时，直径与同心圆的交点密度与其半径成反比的思想。假设在圆形区域内布置中继站密度也与其离中心的距离成反比。再由问题一和网络的层次为6设圆形区域边界上的密度为（A是中继站覆盖圆的内接正六边形），可以建立模型为： （是点到圆形区域中心的距离）根据模型：可以，很快算出对应覆盖半径中继站需要的最小数量。 问题三：在考虑由于山区在信号传播过程中的阻碍作用的基础上，重新计算最小中继站数。由于传输信号在山区传输会受到山峰的阻挡使其在传播过程中衰减，从而影响服务半径，使其服务半径缩短。引进信号干扰相关系数，使得实际覆盖半径为理论半径的倍。从而使问题转化为问题一，二。关键词：中继站 多层蜂窝网络 蜂窝通讯技术 正六边形 信号干扰相关系数 目录1.问题重述12.问题分析13.模型假设14.符号说明15.模型建立与求解15.1问题一：在平坦地域并发服务1000人，是中继站的数目最小的优化问题15.1.1蜂窝通讯技术中信号覆盖选用正六边形原因分析15.1.2考虑信道数限制15.1.3模型建立15.2问题二：在平坦地形并发服务10000人，使中继站的用量最少的问题15.2.1模型假设15.2.2基本的多层网络15.2.3改进的多层网络15.3问题三：在山区重新计算上述问题的最优解15.3.1模型假设15.3.2模型建立16.模型检验17.进一步讨论28.模型评价29.参考文献210.附录210.1附录一：中继站感知半径与所需中继站数量n存在关联=f()的matlab程序210.2附录二：模型检验中图5和图6的matlab程序213 1. 问题重述甚高频无线电频谱包含信号的发送和接受，这种限制可以被中继站所克服。中继站就是一部负责接收并转发无线电信号的电台。由于建筑物及地形等的遮挡，在地面上的两个电台之间的信号可能无法直接互相传送到，但这两个电台却都能够和这个中继台很好地通联，于是各个电台就通过中继台的转发覆盖到更广的通联范围，帮助小功率设备扩大信号的目的。中继台的接收与发射半径覆盖面大，通过中继台的转发，就可以解决普通电台与电台之间因距离而不能通联的制约。本题要求用数学建模方法来研究以下三个问题：问题一：在一个半径40英里的圆形区域里，用最少量的中继站来容纳1000并发用户。问题二：在一个半径40英里的圆形区域里，用最少量的中继站来容纳10000并发用户。问题三：在考虑由于山区在信号传播过程中的阻碍作用的基础上，重新计算最小中继站数2.问题分析由问题可以得出，问题是要我们解决在一个半径为40英里圆形区域中用最少的中继站同时服务一定的用户量。1）根据实际，每个中继站的服务覆盖面积为半径为一定值的圆。要用一系列小圆完全覆盖一个大圆不可能没有重叠区域。因此可以得出，要使中继站最少就得使重叠面积最小。因此可以把圆转化成正多边形，问题转化使用最少的正多边形完全覆盖大圆。由初等几何知识证明可知，用同一种正多边形拼成一个平面只有正三角形，正方形，正六边形三种，其中正六边形的重叠损失最小。2） 当人数超过一种PL所能提供的总信道数时，就需要根据实际情况建立多层网络。3）如果是在山区，中继站信号覆盖情况将会受到地形不同程度的影响。因实际地形情况复杂多变，可以近似进行定量分析，并提出信号干扰相关系数，给出平均情况下的解决方案。3.模型假设1）问题一和问题二中的圆形区域地势平坦，不考虑房屋等人工建筑的阻碍作用和大气影响2）在中继站覆盖范围内，用户信号都能被接受到3）每个中继站各种性能完全相同4） 频谱范围是145到148兆赫在中继站中的发射机的频率要么高于接收机频率600千赫，要么低于接收机频率600千赫5）有54个不同的PL可用6）两个通信频率之间至少应相差频偏1kHz4.符号说明5.模型建立与求解5.1问题一：在平坦地域并发服务1000人，是中继站的数目最小的优化问题 此部分我们借用蜂窝通讯技术，利用正六边形覆盖原理解决在半径为40mile区域中，中继站的数目最小化问题。5.1.1 蜂窝通讯技术中信号覆盖选用正六边形原因分析在中继站应用中，对于某一信号覆盖区域，如何做到“毫无遗漏”的覆盖即是无漏洞覆盖问题。按照节点覆盖的圆盘模型，这个问题可抽象为：对于面积为A的图形F如果用半径为r的圆去覆盖，如何拼接这些圆，至少需要多少个这样的圆才能完全覆盖图形F。可以设想，无论用多么小的半径为r的圆对某一区域进行覆盖都不可能是无重复无漏洞覆盖。问题的解决只能退让到用最少个数的正多边形完成重复最小的无漏洞覆盖，这个问题的解有如下的定理。定理1：用半径为r的圆，以它的内接正六边形对区域进行覆盖，可得到重复覆盖最少的无漏洞覆盖。证明：考虑用同种的正n边形来覆盖平面，在一个顶点周围集中了m个正n边形的角。由于这些角的和应为360，因此成立。可以解得三组解，如式：这证明了用一种正多边形覆盖平面区域，只存在如下3种情况：1）由正三角形覆盖；2）由正四边形覆盖；3）由正六边形覆盖。用半径相同的圆的内接正边形来覆盖平面，则相邻两个圆的公共面积占一个圆面积的比例如式：则当n取以上3种情况时 分别为 相邻两圆的公共覆盖面积占圆面积的百分率越小，所需要的正多边形个数则越少。因此正六边形是使用最少个结点可以覆盖最大面积的图形。5.1.2 考虑信道数限制因为在中继站中发射机的频率要么高于接收机频率600，要么低于接收机频率600 。微波通讯频带145-148MHz。可得=145MHZ，148MHZ每个中继站能够容纳的同时通讯信号的数量是有限的，而且相邻的中继站之间也可能存在信号干扰。为了避免干扰，以及容纳更多的在线用户， 解决方案通常是为每个中继站分配一个固定的“亚音”频率，中继站只响应附加了该亚音频率的通讯信号。考虑通常的微波通讯频带145-148MHz，国际标准亚音频率一共54个，从67-254Hz不等。若所有中继站采用同一个亚音频率。为了区别不同的信号，两个通信频率之间至少应相差频偏1kHz，则一共可容纳的通讯数量为（）/f=（147.4-145.6）/1=1800。18001000只需建立单层网络就能满足服务需求。5.1.3 模型建立将整个圆形区域分划成若干蜂窝状的正六边形小区,每个小区为一个中继站服务区的内接正六边形。 将这些小区进行标号， 称最中间的小区为第0圈， 在它外围的6 个小区为第1圈， 依次称第i圈外的小区为第i+1圈。且每一圈正六边形的中心的连线都形成一个正六边形 。设最外圈为第n圈， 第i圈(i1)中共有6*i个小区。 这一关系很容易从（图一）蜂窝网络的几何特征归纳得出。可得圈正六边形的个数NN=若使整个圆形区域被中继站覆盖，则中继站无漏洞覆盖区域面积大于整个圆形区域面积。圆形区域总面积为：设中继站的覆盖半径为r，则ON=OM=ON为第n圈形成的正六边形的顶点以OMR，估计正六边形的圈数，即因为正六边形的每条不边都等价，所以以这层的一条边，即EF为研究对象。又因为EF关于点M对称，所以从N 点出发依次向M点考虑每一个中继站是否在圆形区域内，即 （为从N起 向M依次数过的正六边形个数N为零）由蜂窝网络的几何特征归纳得出在n+1圈形成的正六边形的一条边上还需要补充的正六边形数为由上述公式可得需要最小中继站数为图1 蜂窝网络覆盖不失一般性，取r=3 mile，用matlab编程计算可得（附录1），此时共有253个中继站。中继站的数量很大程度上取决于中继站的服务距离。 如果采用较大灵敏的无线电传感器或者采用更高的天线， 则其服务距离也相应增加。 当取=5miles时， 中继站数量为n=109。显然中继站感知半径与所需中继站数量n 存在关联=f()。 统计得和n的数据如表1显然中继站感知半径与所需中继站数量n 存在关联=f()。利用以下程序计算的数据如表1：clear all,clcr=3:12R=40;n=floor(2.*R./3./r);d=(3/2).*r.*nt=ceil(n./2-sqrt(R*R-d.*d)./(sqrt(3).*r);for l=1:10 sum=0;for s=1:n(l) sum=sum+6*s;end m(l)=-2.*t(l).*6+1+sum+6.*n(l);end m中继站覆盖半径r(mile)3456789101112中继站数n25315110973554331313119表15.2 问题二 在平坦地形并发服务10000人，使中继站的用量最少的问题该问题分别考虑信道数的基本多层网络模型和考虑信道数的改进的多层网络模型情况的研究，在考虑信道数的基本多层网络模型情况下时各层网络互不干扰，只需在问题一的基础上叠加多层。在考虑信道数的改进改进的多层模型时引进了概率统计理论，考虑在通信中的随机性过程使模型更接近实际。5.2.1 模型假设1）以圆形区域中心为圆心，厚度相等的圆环上的中继站数目相等2）中继站之间没有干扰5.2.2 基本的多层网络因每一种PL的信道数为1800小于服务用户10000人。可见，要满足10000名用户的需求，必须设置多个亚音频率， 基于问题一的解决方案，我们构建出多层蜂窝网络。用户设备应能够自动搜寻可用频率，并可设定多档亚音频率。比如，某个亚音频率的中继站网络层的1800个容量被全部占用时，后进的用户可将设备亚音频率调整至另一个尚未被占用完的亚音频率层。这样，就要求整个系统的网络层数能够足够多。明显，最少的网络层数10000/1800=6。 即使用6个亚音频率。因此可以设置6层蜂窝网络。每一层的结构与情况1的蜂窝网络相同，且这6 层网络的结构彼此相同。5.2.3 改进的多层网络凭借现实生活中的经验，在圆中心的小区，会安置更多的继站，以满足外围相互通讯时对信道数量的要求。根据在圆中任意画直径在圆内的小圆上的密度与其半径成反比的实际情况：假设在多层网络单位面积（）上中继站的密度（为常数，为离圆形区域中心距离），且在边缘上的密度为。（覆盖面积为正六边形的面积）可得不失一般性，取=3，可得=102.64=2579显然中继站感知半径与所需中继站数量n 存在关联= ()。 统计得和n的数据如表2中继站覆盖半径r(mile)3456789101112中继站数n25791451927645474363287233192162 表2可见，当用中继站的服务半径很大程度上影响着中继站的数量。服务半径越小需要的中继站数量越大。因此，尽量用服务半径比较大的中继站，这样能够最大限度地减少中继站数量。5.3 问题三 在山区重新计算上述问题的最优解由于传输信号在山区传输会受到山峰的阻挡使其在传播过程中衰减，从而影响服务半径，使其服务半径缩短。由于在实际中山区地形复杂多变，难以捉摸。所以采取简化取平均的方法，使模型能够在有限的时间和资源条件下求解。5.3.1 模型假设 1）在山区，所有中继站都建在山顶上2）信号在山区传播只考虑出现下图三种情况，且每种情况出现的概率相等3）忽略由于山高所影起的传播损失图2图 3图注：（左边三角形为山，中继站在山顶，右边为接受装置）5.3.2 模型建立 在电磁理论中，越过障碍物的电波相对场强E/E0及地形损耗L可分别表示为： （） （1）L=20logF L0 （2）E0是电波在自由空间传播的场强，F是绕射系数是反射波（图3）或绕射波（图4）相对于直射波路径而言的相位差。 （） （3） （4）其中C和S是菲涅耳积分： （5） （6）V是无量纲参量： （7）是电波波长，h、1和2的含义见图3，4。图4中h为负，根据式（7），则V为正。图3中h为正，则V为负。鉴于山峰对信号的损耗作用，可知山区会影响中继站信号传播，直接影响中继站覆盖半径，设山峰影响系数为，则在山区中继站的信号覆盖半径为：Rm=*r当用户数小于1800时模型转化为问题一的求解以=0.5，为例Rm=0.5*r=1.5 求得，=973表3给出了各种服务半径及不同衰减系数的情况下所需要的最少中继站数（计算程序附表二）3456789101112084032411511098573554331310667940325318713910985736155059735773672531991511211098573041543865577403301241187151127109 表3 当用户人数大于1800时模型转化为问题二的求解。6.模型检验本模型只考虑了在圆形区域中心放置中继站的情况下使中继站的数量最少的问题，即特殊情况下的最优解。而没有考虑当圆形区域中心和继站不重叠的情况下使中继站的数量最少的最优解问题。图5，图6为matlab模拟（附录2）中心有中继站的情况下的图形。当r相对R比较小时模拟结果与计算结果完全相同，但当r大到R的0.2倍时模拟结果与计算结果出现差6误差（如图6）。 图5 图67.进一步讨论在只考虑在圆形区域中心放置中继站的特殊情况会使模型结果可能不是问题本身的最优解。当在中继站覆盖半径大于要考虑区域半径的1.2倍时建议采用象图5，图6 的模拟方式在加上平移的思想无进一步找到最优解。8.模型评价模型一能比较准确的计算大区域环境下的中继站最少数量，且模型思想简单，通俗易