高一数学知识点关于幂函数的总结.doc

高一数学知识点关于幂函数的总结 幂函数定义： 形如y=xa(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域。 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是0，+)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(xk)，显然x0，函数的定义域是(-，0)(0，+).因此可以看到x所受到的限制两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数; 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况。 可以看到： (1)所有的图形都通过(1，1)这点。 (2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。 (3)当a大于1时，幂函数图形下凹;当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。 (4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。 (5)a大于0，函数过(0，0);a小于0，函数不过(0，0)点。 (6)显然幂函数无界。 趣谈平分 把饼那样的物体分成2等份，可以采用一个人切而让另一个人挑的办法，这样分的优点是很明显的。在第一个人看来，他必须把饼分成他认为价值相等的两部分，才能保证得到他应得的那一部分；而第二个人只要选取价值大的那一部分，或在两部分价值相等的情况下任选其中一部分，就能保证他得到他至少应得的那一部分。在这里，我们假定物体具有在分割时不会损失它的总价值。 若要把一个物体分成3或若干等份，我们可以采用这样的方法：这里以5个人分配来说明，对于任意多个分配者，分法大致是相同的。我们把这5个人叫做甲、乙、丙、丁、戊。甲有权利从饼上割下任一部分；乙有把甲所割出的一块减少的自由，但没有人强迫他这样做；然后丙又有减少这一块的自由，这样继续下去。假定最后是戊接触这块饼，那么由戊拿走这块饼，然后把剩余的饼在甲乙丙丁四人之间平分。第二轮可一用同样的步骤把参加的人数减少到三，以此分配下去。现在我们来看，每一个参加分配的人应如何做才能保证自己应得的那一部分归自己。在第一轮甲割下它认为值1/5的一块后，很可能没有人再去碰它而甲就达到值1/5的那一部分；在这种情况下，他没有做错。然而，如果有另一个或几个人减少了这块饼，那么最后接触到他的人就要得到它，所以甲当然认为价值超过/5的饼被留下由4个人平分，而他是这4个人中的一个。在第二轮甲照前面的办：如果他仍就是第一个，那么他割下认为有余下部分1/4价值的那一块。这个策略还不完全，我们还应指出一个分配者在他不是第一时应怎样做。假定乙认为甲所个下的部分太大，也就是比他估计的整个饼的1/5大了，那么他只要把它减少到他认为适当的大小；如果他成为最后一个减少这部分饼的人，他就得到了它，而且并没有做错，如果他没有得到它，那是因为在乙以后又有别的人接触了它。因而在乙以后的减小者中有一人要得到被乙认为是价值小于1/5的一块饼，所以乙在下一轮将参加分配他认为价值大于原来4/5的部分。现在方法就清楚了：如果你在任一轮中是n个分配者的第一个，那么不论放在你面前的是整个饼还是余下的部分，你总应该割下你认为价值时这部分饼的1/n的一块；如果你在这一轮中不是第一个，而且你看到由别人割下的一块比你估计的那部分饼的1/n大，那你就把它减小到1/n；如果割下的你估计的那部分饼的1/n小，那你就不要动它。这个方法保证每一个人得到他认为是应得的部分。高中地理 在经济生活中，存在着另一种分配问题：分配的是不能分割的物体，如房子、家畜、家具、汽车、艺术品等。例如一笔遗产，包括：一座房子、一座磨坊和一辆汽车，要在享有同等继承权的四个继承人甲乙丙丁之间分配，需要一个公正人，请读者想一想，应如何去做？ 1、再次梳理知识，及时查漏补缺 这阶段，许多考生备考状况是杂乱无章，没有头绪，心中无底，忐忑不安，效率低下。其实最需做的仍是梳理知识网，查漏补缺。一般来说，在梳理过程中难免会遇到不是很明白的地方，这时需翻书对照，防止概念错误。另外，要进行重要和典型问题的解题方法的归纳，只有这样才能以不变应万变，这里要注意各种方法的适用范围，防止只是形式的简单套用导致原理错误，比如在做数列问题时不要简单套用连续函数的性质，注意离散和连续函数的区别。 2、适量模拟练习，保持临考状态 考前50天一定要有针对性进行套卷训练，一是通过模拟可以查漏补缺，二是提高应试能力，包括答题技巧，心理调节。建议大家练几套有标准答案和评分标准的模拟卷(包括近几年高考卷)，并且自批自改，在模拟练习时一定要了解评分标准，对照评分标准自我修正，提高得分的机会，力争减少无谓的失分，保证会做的不错不扣分，即使不完全会做，也应理解多少做多少，增加得分机会。 3、全科规划意识，突破偏文学科 冲刺阶段，一定要有全科规划意识，高考是看总分的，不管是强势学科还是弱势学科都要有相应的时间分配计划，做到重点学科重点突破。实践表明后期在记忆性学科上多下功夫，会立竿见影，象语文，英语，文综，生物等，考生应向这些学科适当倾斜。但是思维性强的学科，如数学，物理，若几天不做会上手慢，出错率高，因此在后期也应该安排一定的时间去做去练，保持一个良好的临考状态。 4、调整心理状态，争取笑到最后 高考临近，有些考生精神过度紧张，甚至病倒。因此提醒大家，防止两个极端的做法，一是彻底放松，破坏了长期形成的生物钟，会适得其反。另一个就是挑灯夜战，加班加点，导致考前过度疲劳，临考时打不起精神。建议考生，休息调整是必要的，但必须的是微调，特别要把兴奋状态逐步调整到上午9：0011：30，下午3：005：00。高考前还要注意饮食的科学性和规律性，不能大吃大喝，宜清淡又要保证全面营养，总之，生活有节奏，亦张亦弛，保持心态平稳。同时考前保持必胜的信心是非常必要的，走进考场要信心百倍，即使遇到困难也不要慌张，自我暗示，及时调整，只要大家精心准备，充满自信，沉着应战，就一定能笑到最后! 一.本周教学内容：三角函数的性质及三角恒等变形 【考点梳理】 一、本章内容 1.角的概念的推广，弧度制 2.任意角的三角函数、单位圆中的三角函数、同角三角函数的基本关系、正弦、余弦的诱导公式 3.两角和与差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切 4.正弦函数、余弦函数的图像和性质、周期函数、函数y=Asin（x）的图像、正切函数的图像和性质、已知三角函数值求角 5.余弦定理、正弦定理利用余弦定理、正弦定理解斜三角形 二、本章考试要求 1.理解任意角的概念、弧度制的意义，并能正确地进行弧度和角度的换算 2.掌握任意角的三角函数的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系，掌握正弦、余弦的诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义，了解奇函数、偶函数的意义 3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 4.能正确地运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明 5.了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（x）的简图，理解A、的意义 6.会由已知三角函数值求角，并会用符号 【命题研究】 分析近五年的全国，有关三角函数的内容平均每年有25分，约占17%的内容主要有两方面；其一是考查三角函数的性质和图象变换；尤其是三角函数的最大值、最小值和周期，题型多为选择题和填空题；其二是考查三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求值，解决简单的综合问题，除了在填空题和选择题中出现外，解答题的中档题也经常出现这方面的内容，是命题的一个常考的基础性的题型其命题热点是章节内部的三角函数求值问题，命题新趋势是跨章节的学科综合问题的走势，体现了新课标的理念，突出了对创新的考查 如：福建卷的第17题设函数， （2）若函数的图象按向量平移后得到函数的图象，求实数的值此题“重视拓宽，开辟新领域”，将三角与向量交汇 【策略】 三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出“和、差、倍角公式”的作用，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度当然，这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题，难度以灵活掌握倍角的余弦公式的变式运用为宜由于三角函数解答题是基础题、常规题，属于容易题的范畴，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势总之，三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力 解答三角函数高考题的一般策略： （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析” （2）寻找联系：运用相关三角公式，找出差异之间的内在联系 （3）合理转化：选择恰当的三角公式，促使差异的转化 三角函数恒等变形的基本策略： （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2sin2=tanx?cotx=tan45等 （2）项的分拆与角的配凑如分拆项：sin2x2cos2x=（sin2xcos2x）cos2x=1cos2x；配凑角：=（），=等 （3）降次，即二倍角公式降次 （4）化弦（切）法将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切） （5）引入辅助角asinbcos=sin（），这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定 典型例题分析与解答 例1、 解法二：（从“名”入手，异名化同名） 的图像过点，且的最大值为的解析式；（2）由函数图像经过平移是否能得到一个奇函数解析：（1），解得， 所以，将的图像，再向右平移单位得到的图像先向上平移1个单位，再向右平移单位就可以得到奇函数点评：本题考查的是三角函数的图象和性质等基础知识，这是高考命题的重点内容，应于以重视 例3、为使方程内有解，则的取值范围是（） 分析一：由方程形式，可把该方程采取换元法，转化为二次函数：设sinx=t，则原方程化为，于是问题转化为：若关于的一元二次方程上有解，求的取值范围，解法如下： 分析二：上的值域 解法如下： 点评：换元法或方程思想也是高考考查的重点，尤其是计算型试题 例4、已知向量的值 所以； （2），所以，所以，所以点评：本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换的基本技能，着重考查数学运算能力平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点 例5、已知向量，向量，且， （1）求向量与向量的夹角为，向量为依次成等差数列，求的取值范围 解析：（1）设，由，有 向量，有，则 由、解得： （2）由垂直知， 由，则， 例6、如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，ABC外的地方种草，ABC的内接正方形RS为一水池，其余的地方种花.若BC=a，ABC= （1）用a，变化时，求取最小值时的角解析：（1），则 固定， 令 函数在上是减函数，于是当 点评：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例通过引入角度，将图形的语言转化为三角函数的符号语言，再将其转化为我们熟知的函数的图象的一条对称轴方程是（） A. C.D. 2、下列函数中，以为周期的函数是（） A. B. D. 3、已知等于（） A. 4、已知B. C.D. 5、函数A、B、C、D、 6、如图，半径为2的M切直线AB于O点，射线OC从OA出发绕着O点顺时针方向旋转到OB旋转过程中，OC交M于P，记PMO为x，弓形PnO的面积为，那么的图象是（） 7、tan15cot15（） A.2B.C.4D. 8、给出下列的命题中，其中正确的个数是（） （1）存在实数，使sincos=1； （2）存在实数，使sincos=； （3）的值域为（） A.B.C.在下面哪个区间内是增函数（） A.C. 11、若点P内 D. 12、定义在R上的函数即是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当，则B.C. 二、填空题 13、，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论： ；，则其中所有正确结论的序号是 15、给出问题：已知，试判定，去分母可得，故， （1）求函数的奇偶性 18、（1）已知：，求证：的最小值为0，求x的集合 20、在所对的边分别为， （1）求，求的最大值 21、已知向量，函数的周期为，当22、如图，足球比赛场的宽度为a米，球门宽为b米，在足球比赛中，甲方边锋沿球场边线，带球过人沿直线向前推进试问：该边锋在距乙方底线多远时起脚射门可命中角的正切值最大？（注：图中表示乙方所守球门，所在直线为乙方底线，只考虑在同一平面上的情形） 【试题答案】 1、A2、D3、A4、A5、A6、A 7、D8、B9、B10、D11、B12、D 13、 17、解：（1）， 定义域：R，最小正周期为； （2），且定义域关于原点对称， 所以 （2） 当， 当 19、解：，因为，有， 亦即，由， 解得， 当，最大值为0，不合题意， 当，最小值为0， 当时，x的集合为： （2），又时，故的最大值是 21、解：（1）且最大值为1，所以由； （2）由（1）知，令所以是的对称轴 22、解：以L为x轴，D点为坐标原点，建立直角坐标系， 设AB的中点为M，则根据对称性有 设动点C的坐标为，记， 当且仅当， 故该边锋在距乙方底线时起脚射门可命中角的正切值最大 不过作为集合大小的定义，我们希望能够比较任意两个集合的大小。所以，对于任何给定的两个集合A和B，或者A比B大，或者B比A大，或者一样大，这三种情况必须有一种正确而且只能有一种正确。这样的偏序关系被称为“全序关系”。 最后，新的定义必须保持原来有限集合间的大小关系。有限集合间的大小关系是很清楚的，所谓的“大”，也就是集合中的元素更多，有五个元素的集合要比有四个元素的集合大，在新的扩充了的集合定义中也必须如此。这个要求是理所当然的，否则我们没有理由将新的定义作为老定义的扩充。 经过精心的，有关“高一数学学习：集合大小定义的基本要求三”的内容已经呈现给大家，祝大家学习愉快! 学好高中数学也需阅读积累 阅读，在语文中要抓住精炼的或生动形象的词与句，而在数学中，则应抓住关键的词语。比如在初二课本第一学期第21章第五节反比例函数性质的第一条：“当k0时，函数图像的两个分支分