连续系统数学模型的一种近似计算法.pdf

第l T 鲁 第3 期 东北重型机械学院学箍 一 d 1 N o j 石 拜 面 r i f f 一 时 e a i q e k y研 m e f t T E l 一一一 一 两 2 一叶 渣续系统数学模型的一种近似计算法 自动控莉系 朴春悭吴玉岩 一 摘耍本文将给出近似计算连续系统传递幽数系数的方法 而且只要原系 一 统是稳定的 剜可以保证用这种方法得到的近似模型也是稳定的 关 叠 词 苎丑 竖 l 堑 鱼 塑 熊 堕 直 堡 囊 吼 中圈分类号 TP 一 1 1 l 引 言 一 般来说 当一个系统的构结与参数未知时 可以把系统做为离散系统 用数学模 型辨识方法 求出其数学模型 如果得到的是高阶模型 则为了便于用计算 机 进 行 控 制 有必要把高阶模型转换成低阶模型 常用的转换方法 有 p a d e近 似 法 与Mu l 1 i s R o b e r t s 法 后一种方法的优点是计算较简单 也能保证模型的稳定性 本文借助Mu l l i s R o b e r t s 的评价函数的选择思想 当连续系统的脉 冲响虚函数已 知时 近似计算出稳定的鼓学模型 2 连续 系统中的参数计算 如果给定单输入单输出稳定连续系统的传递函数 丑 5 s 一 5 1 现在要对该系统进行近似计算得到如下形式的传递函数 茁 黟 篙 2 在近似计算中我们取如下形式的评价函数 D 古 I 徊 丑 一 b 徊 I 如 一 最 小 为使 3 式成立应有下式成立 s 丑 一b s 0 5 s 一 这与下述的 口 c 近似条件是等价的 丑 s 一b h 1 5 o s 一 对子任意的多项式 s 有 1 9 9 l 车 3月 6 日 3 4 5 维普资讯 茹 3 朴春位等 连续系统数学楗型的一神近似计算法 2 4 1 P 日 s 一日 5 r s 6 上 式 中 g s 为多项式 1 l i ra 0 造时假定r 0 s 日 f L t f s 的时间脉冲响应函数为 1 则 P J I c d t 如果H s 满足 4 式 那么 s s b s 0 日 s 日 s 口 日 一 s d H 上式 中 H I s C S H 一l I d h J l 斋 耶么评价 函数D可 用下式表示 D 1 a 4 1 aI J 口 M t l I l I it t 一l k 0 It l 7 8 9 1 0 百 1 J 日 加 日 一 细 d p t 1 d l 1 1 为了求樽mi n D时的 先考虑如下定理 设五为半正定对称矩阵 为给定的向量 对如下问蹶 I m i n x K X t 条件为x 甲 l 的解向量 满足五 x 口 d m i n X KX x 皇1 因此 解如下矩阵方程可 以得到 1 a1 口 M 8 o a 为问题的最小值 一 1 利用p a d e 近似条件与巳求出的口 可 以求得b 进而 计 算 ti t H 0 由 1 1 式及h 0 有 k l j t I I I 0 1 3 设 一 古 1凰 m l 幽 一 a t 维普资讯 东北重型机械学院学报 则由 1 1 式 1 2 式可知 4 i 只取决于 与 0 l 一1 而且口 一 旦 教 确定 也随之被确定 由此可 以得到如下结论 1 日 只取决于 口 一 j o h I 但求6 时 必须用到 令 一 口l 1 0 d O O 1 O b i 一 1 则从 1 1 1 2 与 1 3 式可以得到如下的里亚谱诺夫方程 A M 一 l 凹 一 l A b b 0 H 显然当 b 为可控时 从 1 4 式可知 s 的所有零点都在 s 平面的左半平面 日 1 是稳定的 2 当日 s 是稳定时 同样可以定义 一 以及关于凹 一 l 的类似于 1 4 式的里 亚谱诺夫方程 这样可以得到 一 一 的结论 3近似模 型的变形问题 在离散系统中口 日 b O在单位圆上的绝对平方积分是一样的 但在连续系统 中 4 on o b s 与s 日 s b s J 的积分有限条件是不一样的 因 此 近 似 鳍果也不一样 对任意的多项式P s 与任意的自然数 有如下表达式 s 一 P On s s 口 1 r O 式中 q O是多项式 1 l l m r s 0 I l l m r s l 避时r C s 可写成 r s 一 s 日 s 特别是 日一 E s s 一 P s 日 1 对于n o的时间脉冲响应 根据下式 f t 0 I h X 1 f I h z f 定义 c 0 日 s I 一 f f h K h e x o 剜日 s 可写成如下形式 日 s 一 一 l h s s 2 一 避时有下式成立 日 x Offi 一 x s 一 一 I l s 一 r 一 一 rI i 一 一 0 一 维普资讯 茹3 期 t l 春佳等连墙摹 纯数毕模型曲一种近似计茸法 3 二 1 呻 一r 固定一个 0 n 的 自然数 并且考虑使得 D 击L b 抽 最小的方法求得 阶系统传递函数 口 s 一b O a s 的问题 使D有限的条件为 S 口 日 一b s O r s 一 o 1 一0 即日 s 0 i 一 t 一 1 r 0 s 一 一 一 l 一 一 l l k D s 或者也以表示成如下形式 H l s 一 1 s 一 一 l s 0 r 1 5 在这十条件下 有 s 日 O b s 0 L 0 1 6 由 1 4 式 1 5 式与 1 6 式可知日一 t s 为 日一 t s 的解 这样我们 可以得到 如下绪论 如果 古j l以 l d 1 7 则日 s 只决定于 一 I I 1 t 1 且 a Oi b 0 苹可蜘 则日 s 是稳定的 4数学模型转换问题 我们知遭 一个连续系统的脉冲响应函戤 t 可以 甩实验方法得到 也可以从已知 的状态方程经过计算得到 即如果 已知 J f 0 1 n x 舛 口 1 月 1 t f 一c C I x n 系统的时阃脉冲函数为 lC c B B 0 C c 皇C 一 0 e c C A 0 C 上式 中 I 8 口 C 船 A I J d 0 r C 0 I l I 1 维普资讯 2 4 采北重 型机域学院学报 1 9 9 2 砉 由此可 得 r c c f C A f C A c 而且 我们有 k l I M l 1 I l l C A Q a C C A Q A c C A 肋 c C A A P P A 衄 C r 一0 1 0 d s 日 s 一b s 篁 s 4 s 一 2 s Q a Z 詈 卜 争 一 b i s b 一 t b s d t 2 一 b 3 s 口 I I 口 l 2 3 一b 一 口 一 l l 口 一 2 矗 j b 0 l 口 J t 3 1 r 0 矗 3 口 一 I 2 s 一 OI b 1 s 4 J l 一b s 4 一 l l 一b s 0 口 一 l 一4 I 1 C C S r 一 一 A C S I A I I 2 0 C A 甜一 暑 J 因此评价盾数 m i 刳 s n c s s s t s z A r d s CA f亩 J l j 一 1 一 羔 j 口 1 j j 维普资讯 第3期 朴春谴等连媾晕统数学媾型埘 种近似计算法 2 t 5 从上式可知只要已知状怒空间模型 那么可以得到连续系统的稳定的传递函数 5 计算近似模型系数的方法 设月 s 的阶数为 用实验方法或用平常的手段求得 h 然后解类似 1 4 式的董韭谱诺夫方程 搏到 知 接着膏 I 正掘劈程 2 2 穆 蜀 s 再 搬 据 巴德近似条件解得6 s 求解4 5 可用如下的选代方法 设定初始值 d l 6 0 目 t J e i h e M 5 f j 2 迭代过程 6 圭4 j 1 r 如 一 E 4 h 一 e f s 一e 一 s u b s 5 一 i 2 8 4 s 6 6 一 5 由 暮 l i 6 结 论 只要已知连续系统咏冲响应函数贝 n 可以和用本文给出的方法近似计算出稳定的传递 函 数 而且 如果状态 窟翟给定时t 不用一 般的 转换 方拳用率 方法即 可 列传遗函 数形式 f J t t 攀槔型 一 膏文献 1 C T M u l l l s a n d R A Ro b e r t s T h e u s e o f S e c o n d Or d e r I nf o r ma t i o n i n t h e Appr o xi mat j D n o f D c r e e Ti m e l i ne a r s y st e ms TEEE TJ o n8 As s p 2 4 3 2 2 6 2 1 8 1 9 7 6 A Me t h o d i n Ap p r o x i ma t i o n f o r Ma t h ma t i c a l Mo d e l o f CO nt i n u e Sy s t e rn PI A O C 矿 Yu y an ABS TRAOT A me t ho d i n app r o xi mat i o n of c ont i nu o u s s ys t e m i s gi ve n 0 1 1 t i n t hi s pa pe r As l o n g as O T i gna l s y st e r n i s S