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12 中等数学 近似计算浅介 毅 如 设计桥墩尺寸 最多只要求到厘米 如 果计算到毫米或更精确 就没有 多大必要 了 因为设计所根据的数据如桥梁的最大荷 载 风力 水力等都是不太精 确的近似数 因而据之计算出来的结果 也就不可能十分 精确 同时 混凝土施工也不可能精确到毫 米 但如设计精密机床构件的尺寸 有时需 毫米或更精确 所以计算桥墩 一nU 一 一 日 一 近似 数的 概念 1 准确数与近似数 表示量的准确值的数 叫 战淮靡 熬 夕 例 如 选举时统计参加选举人数 被选人获得 的选 票数等 都是准 确数 这些准确数的取 得 不仅有必要 而且有可能 表示 量的近似值的数 叫做近似数 例 如 计算某些百分数 虽可能用准 确数表 示 但没有必要 因而一般 把1 0 0 3 2 00用它 的近似值3 1 表示 而不用它 的 准 确 值 3 12 5 表示 量物体的长度 称物体的重量等 由于 仪器的误差 人的视差等因素 不可能完全 准确地量 出物体的实长 实重 就是说 不 司能求得真值 所以 表 示量度结果的数 一般都是近似数 在实数运算中 遇到分数特别是遇到无 理数时 经常取它的近似值进行计算 例如 要精确到 1 月 4 石 甲一 沁 宁 o 2 7 4一 侧 2 澎2 7 4 一1 41 允 X6 22 澎3 1 4X6 22 符号 二 表示近似相等 这 里李 西 了万 二是准确数 而0 3 3 1 4 2 3 2 4分 别是粤 石 了厄 一 的近似值 是近似数 在生产和 生活中 经常遇到 的是近似 数 它的精确程度 要根据需要与可能 既 不要盲目追求精确 更不可 随 意粗略 例 尺寸时取二的近似值和计算精密机床构件时 所取二的近似值就不应该相同 前 者取3 1 4 或3 1 4 2就够了 后者也许要取3 1 415 9或 3 14 1592 这些属于近似计算要研 究的问 题 在计算中 分清准确数和近似数是重要 的 它不仅决定我们是否用近似计算法则进 行计算 而 且决定如何用近似计算法则 进行 计算 2 近似数的截取方法 l 索展造 把某数保留到某一指定 的数位为止 后面的数字全部舍去 2 收尾法把某数保留到某一指定 的数位为止 后面的数字全部舍去 但只要 舍去的数字不全为零 就必须在保留的最后 一位数加 1 所以又 叫做进一法 3 理查 五杰毅 把某数保留到某一 指 定的数位为 止 后 面的数字全部舍去 如 果舍去的第一位数字是 5 或者大于 5 在保 留的最后一位数字上加 1 如果舍去的第一 位数字小于 5 保留的数字不变 例如 3 1 4 1 5 926 1 9 8 2年 创刊 号 百百分位位千分位位万分位位十万分位位 去去尾法法 3 14 4 4 3 1 41 1 13 1415 5 5 收收 尾法法 3 15 5 5 3 142 2 23 141 6 6 6 3 14160 0 0 四四 舍五人法法 3 14 4 43 1 42 2 2 3 1 4 1 6 6 63 14 159 9 9 由 上表可 以看出 用去尾法和收尾法截 取得的近似数 随着舍去的数字的不同 和 真值的差互有大小 但用四舍五人法截取得 钓近似数 它和真值的差总是较小的 这也 就是四舍五人法较为常用的原因 但从另 一 方面看 用去尾法得到的近似值 永远小于 真值 我们把它叫做真值的玉履则数真 用 收尾 法得到的近似值 永远大于真值 我们 把它叫做真值的过剩近似值 而用四舍五人 法得到的近似值 有时大于真值 有时小于 真值 因 此 当我们要求近似值必须不大于 或不小于真值时 四舍五入法就不适用 必 须分别用去尾法和收尾法 例如 每支 3 分 的铅笔 两毛钱只够买 6 支 这里不能用四 舍五人法 必须用去尾法 如果没有分币 要买 7 支铅笔 则要带3毛钱 这里只能用 收尾法 又如 解不等式 x 一 1 了 2 得 1 十 训 2 如用精确到千分位的近似数表示这一结果 应用收尾法取了 2二1 415 从而得 x 2 4 15 如用四舍 五 人法取侧百二 1 414 则 得 x 2 4 14 这个结果是错误的 因为2 4141 2 414 但 2 4142一i z 4 r41 斌2 一 所以2 4 141不是原不等式的解 同理 解不等式 x一 1 汀 得 1 十 气 如用精确到千分位的近似数表示这一结果 应用去尾法取二二 3 1 4 1 从而得 X 镇4 141 如用四舍五人法取二侣3 1 42 则得派 4 1 4 2 这个结果也是错误的 因为4 1419 4 14 2 但 4 1 4 19一1 3 1 419 所以4 1419不是原不等式的解 3 绝对误差界与相对误差界 在计算过程中 我们虽可以用近似值代 表准确值 真值 进行计算 但必须知道近 似值的精确程度 一个近似数 a 和它所代表的准 确数A的 差的 绝对值 即 a一 A 叫做这个近似 数 a 的乡红杖垂录羞 实际上 更多的情况是不知道准确数 因而 无法知道绝对误差 但可以知道绝对误 差的 范围 为 此 引进绝对误差界的概念 如果能找到一个尽可能小的正数a 使 近似数 a 的绝对误差不超过它 即 a一A 入 那么汽就叫做近似数 a 的 户绝户狱 r 逞羞 界 绝对误差界通常用收尾法写成只含有一 个 最多两个 非零数字的数 用去尾法取了百 丫百 的不足近 似 值 都保留三位小数 分别是1 73 2 1 4 1 4 和3 1 41 它们的 绝对误差界分别是O 0 00 1 0 0 0 03和0 0 006 但它们和用去尾法或收尾 法保留三位小数的一切近似数都有共同的绝 对误差界O 0 0 1 所以 一般地说 用去尾 法和收尾法所截取的近似数 它们的绝对误 1 4 中 等数学 差界都是它们的末位的一个单位 同理 用 四舍五人法截取的近似数 它们的绝对误差 界都是它们的末位的半个单位 绝对误差界越小 精确度越高 如测量 长度时 精确到厘米显然比精确到米的精确 度高 但另一方面 测1 米长度 差 1 米比 测 1 米长度差 1 厘米要准确 前者差真长的 0 1 后者差真长的 1 所以 还要引 进相对误差的概念 近似数 a 的绝对误差和它所代表的 准确 数A的比 即 相对误差 a 一A A 叫做近 似数 a 的 在多数情况下 不知道绝对误差而只知 道绝对误差界 所以多用相对误差界表示近 似数的准确程度 近似数 a 的绝对误差界 和它所代表 的 准确数A的比 即令 叫做 近 似数 的 担煎逞羡界 用夕 二 表示 J 占 J 竺一 澎一 二 A a 相对误差界都记成百分数的形式 通常 也是用收尾法写成只含有一个 最多两个 非零数字的数 4 有 效数字和可靠数字 如果近似数的绝对误差界不超过它的末 位的半个单位 那末除第一个非零数字前的 零外 所有数字都叫直熬邀字 用 四舍五人法截取的近似数 除第一个 非零数字前的零外 都是有效数字 用 四舍五人法截取的近似数0 0 0 01 6 o 16 1 6和1 6 它们的有效数字都是两 个 1 和6 但1 6 0 的有效数 字 是三个 1 6 和 2 6表 示1 55 真值 1 6 5 它 的绝对误差界是0 0 5 相对误差界是 4 而1 60表示1 5 9 5 真值 1 6 0 5 它的绝对 误差界是0 00 5 相对误差界是0 4 如果用 四舍五 人法截取1 50 3 2 4 成 三位有效数字 不能写成1 5 00 0 因为1 5000 表示五位有效数字 一般用 带一位整数的小 数与1 0的幂的积表 示 写成1 5 0 X l少 也 不能写成1 5 x 1 0 4 因为它表示两位 有效数 字 在工程上有时用标注绝对误差界来表 示 写成2 50 00 士5 0 在演算过程中 也可 以把 非有效数字的零 写成 小 零 即 1 5 0 0 0 如果近似数的绝对误 差界不超过它的末 位的一个单位 那末除第一个非零数字前的 零外 所有数字都叫叹靠数字 如果绝对误 差界超过某位的一个单位 那末由这位起 向右的一切数字 都叫不旦靠数穿 有效数字一律是可靠数字 可靠数字除 最后一位数外都是有效数字 但末位数不一 定是 有效数字 用去尾法或收尾法截取得的近似数 除 第一个非零数字前的零外 都是可靠数字 例1 下列各数全是用四舍五人法 截 取 得的近 似数 求它们的绝 对误差界和相对误 差界 1 a 澎1 2 5 2 a 澎1 25X1 04 3 a3 澎0 012 5 解 1 占a o 05 捌 工 a2 12 Q巨 二o 5 2 4 aa Z 二5 0 别 旦叼 a 12 5 0 0 二0 4 3 0 0 0 005 a5 0 0 125 aa 3一o 0 0 0 0 5 0 4 由本例可知 有效数字完全相同的近似 数 不论小数点在什 么位置 它们的相对误 差界相同 例2 求下 列近似数 用四舍五人法截 取得的 的绝对误差界和相对误差界 1 a 创1 0 0 2 aZ 澎9 9 9 3 a 澎1000 0 4 a 澎9 9999 1982 年 创刊 号 解 1 Ja a a i 口 aZ O 5 100 0 5 2 aa 0 5 9 99 澎0 0 5 3 aa s一 0 5 口 a 3二 J a 巴 0 一 5 10000 0 0 0 5 4 占a 4 0 5 谓 云 豁 5 由本例可知 不论几位有效数字 也不 论这些数字是否相同 只要有效数字末位所 在的位置 与小数点的相对位置 相同 它 们的绝对误差界就相同 另外 三位有效数 字的相对误差界在 0 5 和 5 之间 五 位有效数字的相对误 差界 在 05 和 0 0 0 5 之间 所以 有效数字的个数 决 定了相对误差界的范围 同样 可靠数字末 位所在的位置 决定它的绝对误差界 可靠 数字的个数 决定了它的相对误差界的范围 综上所述 最后一个有效 可靠 数字 近似数的末位所在的位置和绝对误差界 创 近似数的数字个数和相对误差界范围 可 靠数字 1 1 0 一尸 牛攀 丁一 一 竺四 坐二生巡 一 001 一 01 一一钾 场 鱼 甘恤 数数有效数字字 数数字个数 一 二 2 2 2 2 2 O 5 5 3 3 3 3 3O 05 0 5 4 4 4 4 4 0 0 05 0 0 5 5 5 5 5 5 0 0 005 0 005 所在的位置 决定了近似数的绝对误 差界 a 通常以这个近似数精确到a 或精确到某 位 表示它的碴班寡 有效 可靠 数字的 个数 决定了相对误差界的范围 通常以准 确到几位有效 可靠 数字表示这个近似数 的准夔靡 戈 1 6 中等 数学 二 近似 数的计算 1 加减法 几个近似数 这里所说的近似数 都是 四舍五人得来的 下同 相加减 当参与加 减的近似数的末位位置相同时 如果所有的 加数都是过剩 不足 近似值 所有减数都 是不足 过剩 近似值 那末结果的绝对误 差界是参与加减的几个近似数的绝对误差界 的和 在实际计算中 往往不知道哪些近似 数是过剩近似值 哪些是不足近似值 因 此 对于精确度要求较高的计算 必须按最 不利情况来考虑 例如 要保证1 0个长度相 加减的结果精确到厘米 那末测每个长度时 必须精确到毫米 但这只是问题 的一 个方 面 另一方面 参与加减的近似数越多 最 不利情况出现的可能性越小 相互抵消部分 误差的可能性越大 例如计算 工 工 工 1 3 7 1 11 3 所有分数都是准确数 如先求各分数的近似值 四舍五人到百分位 再相加 得 生 十 工 十 工 生 371 113 由算式看出 和的百分位上的数已经不准 所以和的千分位以及以后的数更无法确定 如果按一般准确数的算法得11 285 85 显然 既浪费了时间 又不正确 因为这标志着 1 1 2 8 5 8 4 5 3 74 2 15 4 34 3 7 3 2 1 1 28 585 5 而事实上 由于加数的绝对误差 界 分别为 0 00 0 0 0 5 0 00 0 05和0 05 所以和 的绝对 误差界为0 0500 5 5 从而 1 1 2 3 3 742 1 5 进 34 3 7 一 卜3 2 11 34 因 此 严格地说 和应为n 3 这里 3 是可 靠数字 根据近似数据的计算实践 定出近似数 的加减计算法则如下 返理数力 喊时 J 肇鲤旦遨焦数聋的熟 四鱼蕊杰使比少熬泣熬 归 量少的熬只窦二焦刁 数 吐篡绩黑堡贸熊少数位数 夏与奎氯力 口 减 煎近嫂熬史刁 互 数位数最少放担旦 根据这个法则 3 74 2 1 5 4 3 4 3 7 3 2 召3 7 4 4 34 3 2侣11 3 一 l 二 n 二 二 一 例 计算 幸 4 一 47 375 令 是准确数 其他全是近似数 侣0 3 3 0 14 0 09 0 0 8 侣0 6 4 如先把分数相加 再化为小数 把结果仍四 舍五人到百分位 得 工 工 生 工 37 11 1 3 1934 300 3 侣O 64 在这里 和的绝对误差界和加数的绝 对误差 界相同 当参与加减的近似数的末位位置不完全 相同时 例如 3 7 4 2 1 5 4 3437 3 2 用竖式计算 3 74 215 4 3437 3 2 表示不能确定的数字 解 小数位数最少的近似数是4 3 8 所 以其他的数只需截取到百分位即可 结果精 确到十分位 1 月 一圣 43 8一13 94 7 0 00375 7 澎0 14 4 3 8一13 9 5澎3 0 0 例2 计 算7 3 8X1 0 2 26X10 4 都 是近似数 解 7 3 8x1 0 2 26X104 0 738又10 4 2 26X1 04侣3 00 x 10 4 2 乘除法 设2 7 138和2 8都是近似 数 用竖式计 算2 7 138X2 8如下 11 2 1982 年 创 刊号 2 713 8 x Z 8 2171 04 542 7 6 7 6 在相加时 百分位已经不准 但接近于1仇 可向十分位进 1 所以乘积的近 似 值等于 7 6 如按一般计算方法 得7 5 9 86 4 其中 9 8 6 4 都是不可靠数字 除 9 可作 为进位的依据外 其他数字没有意义 根据近似数据的计算实践 定出近似数 的乘除计算法则如下 近塑数乘哇时 黑走鲤真熬数皇炙熊奥 舍五杰使焦直鲤数烹最勿迫 具鱼二土直 熬数 熟 且 算兰显的直熬 数 宝企彗 夏和参袅乘 唆丝近卫数史直熬熬皇最尘放担回 根据这个法则 2 7138xZ 8 澎2 7 1 xZ 8 侣7 6 例3 测得圆的周长是1 0 7米 求它的 半径 则 法则可归结为以下三条 1 加减考虑精确度 末位有效数字 的位置 乘 除 乘方 开方考虑准确度 有效数字个数 2 运算中每一步骤 同级运算 截 取的近似数 要比参与该运算步骤的近似数 中精确度 一级运算时 或准确度 二 三 级运算时 最差的多保留一位数字 3 运算中每一步骤的结果 应和参 与运算的近似数中精确度或准确度最差的相 同 但如系中间运算的结果 则多保留一位 数字参与下一步骤的运算 下列各例题 除注明是准确数外 所给 数据全是近似数 粗体数字表示中间运算多 保留的数字 例4 计算 3 6 x 1 1 7 4 x 138 4 6 X243 7 6是准确数 3 6 x 11 7 4 x138 4 6 X243 7 解半径 丝理侣 10 7 2X3 142 澎1 7 0 米 澎 3 6 x 1 1 7 x 1380 6 0 x1 1 7x138 24 4 3 乘方与开方 则撇朔助 黛 界断逸鲤刹熬塑 塞 鲍直丝数皇全数担亘 近丝数丝丑立 缝黑鲍直熬数烹全数和旗亚友数鲍直救数烹 个数相同 以 上所介绍 的近似计算法则 只是在大 多数的情况下是正确的 用 这些法则进行计 算 结果的宋位数大多是有效数字 但有时 是可靠数字 有时甚至是不可靠数 字 所 以 在乘 除 乘方 开方的法则 中 所提 结果的 犷有效数字个数 严格地说 应该 是 从第一个非零数字起保留 的数字个 数 但通常为了 简便 多说成 结果是 几个有效数字 4 混合运算 进行近似数运算时 首先应弄清哪些是 准确数 哪些是近似数 然后运 用有关 法 澎里 6 X24 40 旦些丝丝侣 望退 244 0 24 4 0 澎O 40 本例3 6 6 时 一 按 中间运算结果 应为 0 6 0 0 但多保留一位的目的 是使运 算结 果准确 o就没有多保留的价值 至于 百分 位上的 不是多保留的 它 标 志 着准确 度 不能省略 如写成0 6 最后结果 就会 误为 4 了 中间运算结果多保留的数 如不用粗体 字表示 做算草时应有记 号 否 则 算到 7 02 X 138 244 0 就会把结果 误为 39 7 本题 只包含乘除运算 可以开始就确定结果为两 位有效数字 多保留数字也可以不做记号 但如还有加减运算 就必须加以标志 例5 计算 2 7 3 5 32 5 3 解 27 3 3 32 53侣2 0 3 5 x10 8 甲等 数字 3 432 x 10 5 澎5 4 7 x1 0 5 从本例看出 如果中间运算结果不多保 留 则得5 45x20 误差加大 如果多保 留数字不做记号 就会误为5 4 6 7义1 0 例6 计算 1 7 2 十 8 2 3 全是准确 数 解查四位数学用表 得 17 2 3 82 33 5 0 8 8 x 10 3 5 5 7 4 x 10 6 澎0 0 5 0 9x10 5 5 5 7 4X1 0 5 澎5 6 2 5X1 0 5 本例原有数据虽都是准确数 但幂是查 四位数表得来的 只有四位有效数字 根据 法则 和 的有效数字的末位只能是百位 如 果不按近似计算法则进行运算 则 1 7 2 3 8 2 33 5088 5 5740 0 5624 8 8 它表示 56245 7 5成17 2 8 2 3 562488 5 而实际上 17 2名 8 2 3 8 5088 44 8 5 574 4 1 7 6 7 5 6253 0 215