第1章 向量方法.doc

第1章 向量方法二、典型例题讲解若向量a，b，计算a与b的模长，内积和夹角解 理论 a，模aabab b，内积ab ，夹角余弦 |a|, |b|, ab, 2若向量a，b，计算ab解 理论 i j kab = ab3三角两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半证明关键用表示或用表示 注意 a，b，c构成三角形时， abc如图所示，设a，b，c，则abc，于是cab cabaa说明，且 4以任意三角形的三条中位线为边可做一个三角形证明如图， cba设c，a，b，则abc设分别为三边的中点，则a，b ， c ，abc（abc），即，以中位线，为边可作成一个三角形第2章 仿射变换二、典型例题讲解1填空题1）在仿射变换下梯形变成（）2）仿射变换把平行四边形变成（） 3）仿射变换把三角形中位线变成（）4）仿射变换把三角形重心变成（）5）在仿射变换下，矩形变成（）6）仿射变换把圆变成（）7）仿射变换把圆心变成（）8）仿射变换把等腰三角形变成（）解 理论仿射变换性质：仿射变换保持简比不变仿射变换保持平行性仿射变换不保持角度不变答：1）梯形2）平行四边形3）三角形中位线4）三角形重心5）平行四边形6）椭圆7）椭圆中心8）任意三角形2在实轴上，三点坐标分别为，求三点的单比解 理论用公式3设通过与两点的直线被直线截于点，求单比解 关键 求出交点，用公式 4求使三点，的对应点分别为，的仿射变换式解 关键 仿射变换把点变成时，把所有点带入后，解方程组，求出再代入即可所求的仿射变换式 第3章 射影平面二、典型例题讲解1填空选择题）射影对应把平行四边形变成（）射影对应把矩形变成（）射影对应把梯形变成（）射影对应把三角形中位线变成（）射影对应把三角形中线变成（）解理论）平行性质不是射影性质，在中心投影下会改变）单比不是射影性质，在中心投影下会改变）距离（长度）不是射影性质，在中心投影下会改变）角度不是射影性质，在中心投影下会改变答：）任意四边形）任意四边形）任意四边形）相交于两腰的任意一条直线）过这个顶点和对边上任意一点的直线2设，为三条定直线，为二定点，其连线过，点为上的动点，且直线，分别交，于点，求证：通过上一定点证明关键 这个题目是要证明的连线通过上一定点，属于三线共点问题，只涉及点和直线的结合性，可以利用“射影到无穷远”理论 相交于影消线上的二直线，其象为二平行直线取所在直线为影消线，经过中心投影之后，为无穷远直线，如图2所示， 则，为平行四边形于是 ，所以 因此，与的象交于无穷远点，所以，与相交于上一定点3证明如果两个三角形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点证明理论 笛沙格定理：1如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一条直线上2如果两个三点形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点如图所示，若三点形与的对应边与的交点，与的交点，与 的交点共线，考虑三点形，由于与，都交于点，由笛沙格定理，三组对应边的交点， ，共线，于是，共线4设，为完全四点形的顶点，（与的交点为），试证： ，共线证明理论 笛沙格定理：1如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一条直线上2如果两个三点形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点如图所示在三角形和中，对应顶点的连线，共点于，由笛沙格定理，对应边的交点，共线5试求出下面各点的齐次坐标（1）以为方向的无穷远点（2）上的无穷远点解 （1）理论 一组直线上的无穷远点的齐次坐标为.于是，以为方向的无穷远点的齐次坐标为（2）理论 与表示同一个无穷远点的齐次坐标，即平行线相交于同一个无穷远点为一组直线上的无穷远点的齐次坐标，因为平行于，所以上的无穷远点为注意 平面内一组平行线相交于同一个无穷远点所以，可以利用来求上的无穷远点6若存在，求下列各点的非齐次坐标；解 关键 利用齐次坐标和非齐次坐标之间的关系，取注意 无穷远点没有非齐次坐标由于的，所以是无穷远点，而无穷远点没有非齐次坐标7求下列各线坐标所表示的直线方程；解关键将线坐标代入直线方程即得到直线方程将代入得直线方程，即同理得到其它线坐标的直线方程，依次为；7求两点与的连线的坐标解关键利用两点与的连线的方程为 两点，的连线的坐标为代入得于是，所求坐标为，或第4章 射影变换 二、典型例题讲解1已知和的齐次坐标分别为和，求直线上一点，使，若，求出解理论利用非齐次坐标与齐次坐标之间的关系，和简比公式这时，设，利用则，解得，解得即，点的齐次坐标为因为，所以 说明），代入点得，运算得，解得，于是2）将代入，得，是否矛盾？实际上，与表示同一点的齐次坐标注意以为基点的点列中，任何一点都可以表示为，用齐次坐标可以表示为实际是2已知直线与，求过两直线的交点与点的直线方程解 理论 两直线与的交点为 两点与的连线为 注意两直线与的齐次坐标形式分别为，交点为于是，过点与点的直线方程为 即 ，或 3设三点的坐标分别为，且，求点的坐标解理论 定理4.6，四直线，若，则因为，则由，于是设，已知，于是得，所以 注意 以为基点的点列中，任何一点都可以表示为，用齐次坐标可以表示为4求证，成调和共轭解 注意可以采用非齐次坐标与齐次坐标两种方法解法理论 四点，成调和共轭的充要条件是所以，成调和共轭解法理论利用定理4.1 ， 取，为基点，将，四点的坐标依次表示为，则，的齐次坐标分别为，可以将，写作，于是由定理4.1，所以5设是完全四点形的对边三点形，分别交于，不用笛沙格定理，证明共点证明理论利用定理4.9完全四点形通过每一个对角点有一组调和线束，即通过这个对角点的两边和对角三角形的两边定理4.10完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列，即这条直线上的两个顶点及对角三角形的两个点如图，对四线形，根据定理4.10可知，在对角线边上的四点调和共轭，即在四点形中，与交于，设与交于，由定理4.9可知，过对角点有一组调和线束，即、和、，于是，所以，点应与点重合，即共点6若三角形的三边AB、BC、C A分别通过共线的三点P，Q，R，二顶点与C各在定直线上移动，求证顶点A也在一条直线上移动证明理论利用定理4.15两个射影对应的线束成透视的充要条件是：两个线束的公共线自对应定义4.10若两个线束与同一个点列成透视对应，则称这两个线束成透视对应如图所示，取为透视中心，则，于是在这两个射影线束中，是自对应元素，所以，由定理4.15， ，由定义4.10，两个透视对应的线束对应直线的交点共线，即顶点A也在一条直线上移动第5章 二次曲线 二、典型例题讲解1求通过点，的二阶曲线方程解关键把点代入解方程组即可将已知五点的坐标代入上式得 解方程组得 ， ， ， ，所求二阶曲线的方程为，即2求由两个射影线束，决定的二次曲线的方程解关键代入求解即可两个线束可以写成消去，得所求二次曲线为如果化成非齐次形式，只需利用理论利用公式，消去即可如果利用公式，则，即，这就得到了二次曲线的非齐次形式3求点关于 二阶曲线的极线解关键将点及系数代入极线方程即可代入得整理即得所求极线方程4求直线关于的极点解理论利用因为，所以，（为元素的代数余子式），于是即所求极点的坐标为5求二次曲线在点（1，2，1）的切线方程解理论如果点在二次曲线：上，则在这一点的切线方程为即由于，说明点（1，2，1）在二次曲线上因此，所求切线方程为即6求二阶曲线的中心解理论二次曲线的中心为因为于是，因此，中心坐标为，或写成非齐次坐标7求二阶曲线过点的直径解理论二次曲线：的直径为其非齐次坐标形式为注意二次曲线是以非齐次坐标形式给出的，其中， ，代入直径公式的非齐次形式得代入非齐次坐标的点得于是将代入，得直径为第6章 公理化方法与几何体系 二、典型例题讲解 1几何公理体系的三个基本问题包括_、_、_ 答：相容性（即无矛盾性）；独立性（即最少个数问题）；完备性2在欧氏几何内，直径对应的圆周角（ ）A大于 B 小于 C 等于 D以上都正确答： 3公理法的结构包括_、 _、 _、 _. 答：原始概念的列举；定义的叙述；公理的叙述；定理的叙述和证明 4欧氏几何与非欧几何的本质区别在于（ ）. A.平行公理不同B.长度的算法不同 C.结合公理不同D.角度的算法不同答：选5三角形内角和等于180度（）A 与欧氏平行公设等价 B与罗氏平行公设等价 C与椭圆几何平行公设等价 D不可判定答：选6.欧氏几何与非欧几何的本质区别在于（ ）. A.平行公理不同B.长度的算法不同 C.结合公理不同D.角度的算法不同答：选7三角形内角和等于180度（）A 与欧氏平行公设等价 B与罗氏平行公设等价 C与椭圆几何平行公设等价 D不可判定答：选典型例题例1求极线（）点关于二阶曲线（）点关于二阶曲线解（）将点的坐标及的值代入极线方程即整理即得所求极线方程（）将点的坐标及的值代入极线方程即整理即得所求极线方程 例2求极点（）直线关于（）直线关于解利用（）因为，所以，（为元素的代数余子式），于是即所求极点的坐标为（）按照（）的做法可求出：极点为例3求二次曲线在点（1，2，1）的切线方程解如果点在二次曲线：上，则在这一点的切线方程为即由于，说明点（1，2，1）在二次曲线上因此，所求切线方程为即 典型例题例内接于圆的两个三角形和中，设交点，证明这三点共线证明如图5-7所示，是内接于圆的六点形的六个顶点，则边与，与，与为三对对边，由巴斯卡定理，三对对边的交点共线例1求通过点，的二阶曲线方程解设二阶曲线方程为将已知五点的坐标代入上式得 解方程组得 ， ， ， ，所求二阶曲线的方程为，即例2求通过直线，的二级曲线方程解设二级曲线方程为将已知五条直线的线坐标代入上式得解方程组得， ， ， ，所求二级曲线的方程为，即例3求由两个射影线束，决定的二次曲线的方程解两个线束可以写成消去，得所求二次曲线为如果利用公式，则，即，这就得到了二次曲线的非齐次形式例4三角形和三角形同时外切于一条二次曲线，证明：它们的六个顶点在另一条二次曲线上，其逆命题也成立证明因为三点形与同时外切于一条二次曲线，所以六条直线属于同一二级曲线， 如图5-3所示因此，由定理5.2，四条直线与的交点构成射影对应点列设交于，交于，于是，所以即根据定理5.1可知，在同一二次曲线上典型例题例若三角形的三边AB、BC、C A分别通过共线的三点P，Q，R，二顶点与C各在定直线上移动，求证顶点A也在一条直线上移动证明如图4-16所示， 取为透视中心，则， 于是在这两个射影线束中，是自对应元素，所以，由定理4.15， ，由定义4.10，两个透视对应的线束对应直线的交点共线，即顶点A也在一条直线上移动例2四边形被分成两个四边形和，求证三个四边形，的对角线交点共线证明见图4-17，DAFBCEGKH因为，直线上互异的三点，是直线上互异的三点，由定理4.16（巴卜斯定理），三个交点，共线几何基础作业解析一、 选择与填空题1.非零向量与的内积，那么（ ）. A. 与平行 B. 与垂直 C与线性相关 D.无法判定 解 选B由定义1.4，所以，与垂直的充要条件是2若向量与线性相关，那么（ ）. A存在实数，使 B存在不全为0的实数，使 C与不平行 D与垂直解 选由向量的线性相关性定义即可得出3.设与是两个非零向量，则下列结论正确的是（）A B CD解 选因为，所以4平行射影保持如下哪种关系和量不变（）。A垂直关系 B平行关系C长度 D角度解 选因为平行射影是仿射对应，由定理，二直线的平行性是仿射不变性质5平行射影把（ ）.A. 平行线投影为平行线 B. 把平行线投影为相交线C. 保持线段的长度不变D. 保持图形面积不变解 选因为平行射影是仿射对应，由定理，二直线的平行性是仿射不变性质6在中心射影下，如下哪种量不变（ ）。A角度 B交比C 面积 D 长度解 选由定理，两个点列经过中心投影交比不变 7在中心射影下，（ ）.A. 交比不变. B. 平行线变成平行线.C. 直角三角形变成直角三角形 D. 平行四边形变成平行四边形.解 选由定理，两个点列经过中心投影交比不变8点列之间的射影对应是由（）A三对对应点唯一确定B 两对对应点唯一确定C四对对应点唯一确定D 无限对对应点唯一确定解 选因为已知两个一维图形的三对对应元素可以确定唯一一个射影对应 9仿射变换把正方形变成( ).A正方形 B矩形C平行四边形 D不能确定解 选由定理，两直线间的平行性是仿射不变性而角度不是仿射不变量10仿射对应下，哪些量不变。（）A长度B角度C单比D 面积解 选由定理，共线三点的简比（单比）是仿射不变量11仿射对应是平行射影的充分必要条件为（ ）A 象点与原象点的连线平行B 象点与原象点的连线交于一点C 不可判定 D 象点与原象点不平行解 选由平行射影的定义即可得出12在实轴上，三点坐标分别为，那么三点的单比为（ ）.A.B. C.D. 解 选由单比公式13线段AB的中点C与AB上哪一点调和共轭（）。AABBC AB上无穷远点DC解 选两条平行直线交于无穷远点，一有穷远直线与无穷远直线交于无穷远点 14.在射影平面上，两直线与的交点为（ ）.A. B.C.D.解 选取，代入得 ，将和代入得注意：齐次坐标不是唯一的15.仿射平面上无穷远直线与有穷远直线（ ）. A.有一个交点B.没有交点C.有无数个交点D.无法判定解 选因为两条不平行的有穷远直线若交于有穷远点，两条平行直线交于无穷远点，一有穷远直线与无穷远直线交于无穷远点16.在射影平面上，下面哪些图形可以区别开来（ ）.A.三角形与圆B.圆与椭圆C. 四边形与正方形D. 等腰三角形与直角三角形解 选因为在射影平面上没有无穷远元素，平行线不存在 17 A、B、C、D为直线上的互异的四点，C、D在A、B之内，则四点交比（AB，CD）（ ）A 大于零 B小于零C 等于零D 无穷大18方程表示的点为（）A（1，1，2）B （2，1，1）C（1，1，1）D （1，1，2）19. 直线上 A、B、C、D为互异的四点，C、D在A、B之内，则四点交比（AB，CD）（ ）A 大于零 B 小于零C 等于零D不确定解 选由定义的公式即可得出20无穷远点关于二次曲线的极线称为二次曲线的（）A半径B 直径 C 渐近线D 切线解 选由定义即可得出21若点在二次曲线上，那么它的极线一定是的（）A切线 B 直径C 半径D渐近线解 选由定理5.12即可得出22极线上的点与极点（）A共轭 B不共轭C可能不共轭D不可判定 解 选由极线与极点的定义即可得出23. 两个不共心的射影对应的线束，对应直线的交点全体是（ ）A一条二次曲线B 一条直线C一个点 D 两个点解 选由二次曲线的射影定义可知，两个不共心的射影对应的线束，对应直线的交点全体是一条二次曲线 24.在仿射平面上，若二次曲线与无穷远直线有一个交点，则这条曲线是（ ）. A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆解 选由定义5.6即可得出 25.欧氏几何与非欧几何的本质区别在于（ ）. A.平行公理不同B.长度的算法不同 C.结合公理不同D.角度的算法不同解 选26三角形内角和等于180度（）A 与欧氏平行公设等价 B与罗氏平行公设等价 C与椭圆几何平行公设等价 D不可判定解 选 二、计算题1 已知向量，计算，的模长与夹角解 ，的模长分别为，的夹角余弦所以夹角为2 设通过与两点的直线被直线截于点，求单比解法求出点的坐标，利用过，两点的直线方程为即解方程组得直线与直线的交点，因为点位于点与点之间，所以，于是注意：两条有向线段相比时，同向为正，反向为负解法设，其中为分点，则将，代入直线方程得于是3 求点P1（3，1），P2（7，5）与P3（6，4），P4（9，7）的交比 分析 可以采用非齐次坐标与齐次坐标两种方法进行计算解法 解法2 将，写成齐次坐标，则，可以写作，于是，所以4 计算直线上无穷远点的齐次坐标解取，代入直线方程，得令，于是直线上无穷远点的齐次坐标为注意：直线上无穷远点的齐次坐标不是唯一的5 计算下列各点的非齐次坐标：A（2，4，1），B（0，4，3），C（0，1，1）解欧氏平面内点的笛氏坐标为，满足，的三元数组叫做点的齐次坐标，记为叫做点的非齐次坐标于是三点的非齐次坐标依次为，和欧氏平面上直线的方程为，求出该直线在齐次坐标下的方程.解由齐次坐标与非齐次坐标的关系：，代入直线方程，即，整理得求过点A（2，4， 6）与B（2，4，2）的直线方程，若与轴及轴的交点分别为C，D，求出交比 解 设过点A（2，4， 6）与B（2，4，2）的直线的方程为，于是令，则有解之得，于是直线的方程为与轴的交点C为（1，0，1），与轴的交点D为（0，1，1），AB CD四点的交比为8在射影平面上，求直线在射影变换： 下的象直线的方程解 把直线改写为由可得代入上面方程得=0所以，象直线的方程为求二次曲线在点处的切线方程.解将点代入二次曲线，因为 ，所以该点在二次曲线上，故所求的切线方程为即为所求的切线方程求二次曲线在（1，2，1）点的切线方程解将点代入二次曲线，因为 ，所以该点在二次曲线上，故所求的切线方程为即为所求的切线方程求二次曲线在（）点的切线方程解将点代入二次曲线，因为 ，所以该点在二次曲线上，故所求的切线方程为即为所求的切线方程 求二次曲线与轴的交点，并求出过交点的切线方程解二次曲线与轴的交点由方程组确定，解之得（0，0，1），过该点的切线方程为化简后为，切线方程为求由两个射影线束，决定的二次曲线的方程解两个线束可以写成即消去，得所以，即为所求的二次曲线 三、证明题证明在两个三角形中，三组对应边的交点共线，则三组对应顶点连线共点.证明 若三点形与的对应边与的交点，与的交点，与的交点共线，考虑三点形，由于与，交于，由笛沙格定理知，三组对应边的交点，O共线，于是，共线利用向量方法证明三角形三条中线交于一点证明在三角形（见第题图）