数学建模队员的选拔模型.doc

数学建模队员的选拔模型班级：12数学（1）班 学号：1207021028 姓名：许菁菁 摘要： 本文通过对学生的综合素质以及专项素质进行比较之后选拔出优秀的同学再进行组队来建立模型。对于问题（1）属于优化问题，对这20名同学的综合素质，我们利用层次分析法，选出18名同学，并用Excel表格进行整理。对于问题（2）根据问题一选出的18名同学，通过多他们的专项进行分析得出竞赛水平最高的一组（3人）。对于问题（3）根据问题一，对这18名同学按照其专项能力求最优组合，利用0-1规划建立模型，并且利用lingo软件求解。最终分组得出总成绩。关键词：层次分析 0-1规划 Excel Lingo1 问题重述在一年一度的美国MCM和中国全国大学生数学建模竞赛活动中，任何一个参赛院校都会遇到如何选拔最优秀的队员和合理的组队问题。这是一个最实际的、而且是首先需要解决的数学模型问题。现假设有20名队员准备参加竞赛，根据队员的能力和水平要选出18名优秀队员分别组成6个队，每个队3名队员去参加比赛。选择队员主要考虑的条件依次为有关学科成绩（平均成绩）、智力水平（反应思维能力、分析问题和解决问题的能力等）、动手能力（计算机的使用和其他方面实际操作能力）、写作能力、外语水平、协作能力（团队协作能力）和其他特长。每个队员的基本条件量化后如下表。假设所有队员接受了同样的培训，外部环境相同，竞赛中不考虑其他的随机因素的影响，竞赛水平的发挥只取决于表1中所给的各项条件，并且，参赛队员都能正常发挥自己的水平。现在的问题是：（1）在20 名队员中选择18 名优秀队员参加竞赛；（2）确定一个最佳的组队使竞赛技术水平最高；（3）给出由18名队员组成6个对的组队方案，使整体竞赛技术水平最高；并给出每个队的竞赛技术水平。表1 队员的基本条件条件数值队员学科成绩（）智力水平（）动手能力（）写作能力（）外语水平（）协作能力（）其他特长（）A8.6 9.0 8.2 8.0 7.9 9.5 6B8.2 8.8 8.1 6.5 7.7 9.1 2C8.08.68.5 8.5 9.2 9.6 8D8.68.98.3 9.6 9.7 9.7 8E8.8 8.4 8.5 7.7 8.6 9.2 9F9.2 9.2 8.2 7.9 9.0 9.0 6G9.2 9.6 9.0 7.2 9.1 9.2 9H7.0 8.0 9.8 6.2 8.7 9.7 6I7.7 8.2 8.4 6.5 9.6 9.3 5J8.3 8.1 8.6 6.9 8.5 9.4 4K9.0 8.2 8.0 7.8 9.0 9.5 5L9.6 9.1 8.1 9.9 8.7 9.7 6M9.5 9.6 8.3 8.1 9.0 9.3 7N8.6 8.3 8.2 8.1 9.0 9.0 5O9.1 8.7 8.8 8.4 8.8 9.4 5P9.3 8.4 8.6 8.8 8.6 9.5 6Q8.4 8.0 9.4 9.2 8.4 9.1 7R8.7 8.3 9.2 9.1 8.7 9.2 8S7.8 8.1 9.6 7.6 9.0 9.6 9T9.0 8.8 9.5 7.9 7.7 9.0 62 问题分析每年数学建模比赛都需要选拔出真正优秀的队伍（每组三个人）代表学校参加比赛，来提高获奖的几率。这是一个需要考虑多方面的因素来分配的问题，以达到合理的最优组合。问题（1）根据表中已给的20个队员的信息，需要从中选出18位优秀的队员参加比赛，为此我们选拔队员主要考虑的条件依次为有关学科成绩（平均成绩）、智力水平（反应思维能力、分析问题和解决问题的能力等）、动手能力（计算机的使用和其他方面实际操作能力）、写作能力、外语水平、协作能力（团队协作能力）和其他特长。我们需要在这些主次因素中一一进行比较，选拔出综合成绩较好的队员。为此我们利用Excel软件帮助我们分析队员的综合素质排名，从而选拔出18名优秀的队员参加比赛。问题（2）在问题（1）的基础上，从18位优秀队员中选出3人组成一个团队，为了使该团队有较好的知识结构，需要将不同特长的同学放在一起。为此，我们仍然需要通过Excel数据进行分析，从而选择出一个最优秀的团队使得水平最高。问题（3）在问题（1）的基础上，需要将18名队员组成6队，每队3人，为了使得整体竞赛水平技术最高，那么每个组都需要有较好的结构知识，需要将不同特长的同学放在一起，。为此，我们需要对众多的影响因素进行分析，得出结果后加入约束条件进行优化，以得到最优的解组合。为此，我们借助0-1变量来表示一个队员是否被选择，从而建立0-1规划模型，并用Lingo软件进行求解。3 模型假设3.1假设评选人可以做到公正公平的评选3.2假设队员接受了同样的培训，除自身综合能力之外无其它外界因素的影响3.3假设第一次选拔，只考虑学生的学课成绩、智力水平3.4假设第二次选拔，附加考虑每个人的动手能力3.5假设第三次选拔，附加考虑每个人的写作能力、外语水平3.6假设第四次选拔，附加考虑每个人的协作能力和其他特长4 符号系统表2 符号 符号表示 符号说明i表示学生代号，i=A,B，j表示能力代号，j=1，2，sij 表示第i个学生第j种能力所得分数xij表示第i个学生第j种能力xij=1表示第i个学生可以以第j种能力入选xij=0表示第i个学生不可以以第j种能力入选xij.sij表示第i个学生可以以第j种能力入选的成绩xij.sij=0表示第i个学生可以以第j种能力不能入选j=1表示学科成绩j=2表示智力水平j=3表示动手能力j=4表示写作能力j=5表示外语水平j=6协作能力j=7其他特长5 模型建立与求解5.1模型一5.1.1第一次选拔 根据假设，对于第一次选拔，我们对学科成绩和智力水平做了如下的排名：表3 第一次选拔排名条件数值队员学科成绩（）智力水平（）总分1M9.59.619.12G9.29.618.83L9.69.118.74F9.29.218.45T98.817.85O9.18.717.87P9.38.417.78A8.6917.69D8.68.9 17.510E8.88.417.210K98.217.212B8.28.81712R8.78.31714N8.68.316.915C88.616.616J8.38.116.416Q8.4816.418I7.78.215.918S7.88.115.920H7815 由表3数据分析可知，学科成绩与智力水平综合排名前13名的同学有一定的优势，排名14到20的差异不是很明显，而且排名18和19名同学的综合排名成绩相同，不便于选拔，因此还需要其他的数据加进来进行筛选。5.1.2第二次选拔 根据假设第二次选拔需要加入动手能力来进行筛选，结果如下表4：表4 第二次选拔排名条件数值队员学科成绩（）智力水平（）动手能力（）总分1G9.29.6927.82M9.59.68.327.43T98.89.527.34L9.69.18.126.85F9.29.28.226.65O9.18.78.826.67P9.38.48.626.38R8.78.39.226.29A8.698.225.89D8.68.98.325.89Q8.489.425.812E8.88.48.525.713S7.88.19.625.514K98.2825.215B8.28.88.125.115C88.68.525.115N8.68.38.225.118J8.38.18.62519H789.824.820I7.78.28.424.3根据表4分析可得，学科成绩、智力水平和动手能力综合排名9到18的同学对最后两名同学没有明显的优势，而且表1排名后三名的同学I、S、H在表2中H、I仍然是最后两名，再次仍然不便于选拔。5.1.3第三次选拔 加入写作能力与外语水平做筛选，得出如下表结果：表5 第三次选拔排名条件数值队员学科成绩（）智力水平（）动手能力（）写作能力（）外语水平（）总分1L9.69.18.19.98.745.42D8.68.98.39.69.745.13M9.59.68.38.1944.54G9.29.697.29.144.15R8.78.39.29.18.7446O9.18.78.88.48.843.87P9.38.48.68.88.643.78F9.29.28.27.9943.59Q8.489.49.28.443.410T98.89.57.97.742.911C88.68.58.59.242.812N8.68.38.28.1942.213S7.88.19.67.6942.114E8.88.48.57.78.64214K98.287.894216A8.698.287.941.717I7.78.28.46.59.640.417J8.38.18.66.98.540.419H789.86.28.739.720B8.28.88.16.57.739.3 由表5我们可以知道，加入了写作能力和外语水平这两个筛选条件之后H仍然排名在后两名，I、J排名也比较靠后。17、18两名较最后两名没有明显的优势。5.1.4第四次选拔 再加入最后两项进行筛选，结果如下表： 表6 第四次选拔排名条件数值学科成绩（）智力水平（）动手能力（）写作能力（）外语水平（）协作能力（）其他特长（）总分队员1D8.68.98.39.69.79.7862.82G9.29.697.29.19.2962.33R8.78.39.29.18.79.2861.24L9.69.18.19.98.79.7661.15M9.59.68.38.199.3760.86S7.88.19.67.699.6960.77C88.68.58.59.29.6860.48E8.88.48.57.78.69.2960.29Q8.489.49.28.49.1759.510P9.38.48.68.88.69.5659.211F9.29.28.27.999658.512O9.18.78.88.48.89.4558.213T98.89.57.97.79657.914A8.698.287.99.5657.215K98.287.899.5556.516N8.68.38.28.199556.217H789.86.28.79.7655.418I7.78.28.46.59.69.3554.719J8.38.18.66.98.59.4453.820B8.28.88.16.57.79.1250.4 由表6分析有H、I、J三名同学排名仍然靠后，同学虽然在最后两次选拔处于劣势，但是根据关键因素的主次之分，在表1、2中分别排名12、15，还是比较有优势的。而H同学在前三个表格中都处于后两名，应于筛除。对于I、J两名同学，在表3、4中J比I有优势，表5中排名相同，表6中I虽然比J排名靠前，但是优势不明显，所有筛除I。综上所述，在对每位同学所有成绩进行比较之后，选择A、B、C、D、E、F、G、J、K、L、M、N、O、P、Q、R、S、T这18位同学。5.2模型二 根据问题（1）我们对这18位同学进行各项成绩进行分析，选出3名同学组成一个最优秀的队。表7 18名同学各项成绩条件数值队员学科成绩（）条件数值队员智力水平（）条件数值队员动手能力（）条件数值队员写作能力（）条件数值队员外语水平（）条件数值队员协作能力（）条件数值队员其他特长（）L9.6G9.6S9.6L9.9D9.7D9.7E9M9.5M9.6T9.5D9.6C9.2L9.7G9P9.3F9.2Q9.4Q9.2G9.1C9.6S9F9.2L9.1R9.2R9.1F9S9.6C8G9.2A9G9P8.8K9A9.5D8O9.1D8.9O8.8C8.5M9K9.5R8K9B8.8J8.6O8.4N9P9.5M7T9T8.8P8.6M8.1S9J9.4Q7E8.8O8.7C8.5N8.1O8.8O9.4A6R8.7C8.6E8.5A8L8.7M9.3F6A8.6E8.4D8.3F7.9R8.7E9.2L6D8.6P8.4M8.3T7.9E8.6G9.2P6N8.6N8.3A8.2K7.8P8.6R9.2T6Q8.4R8.3F8.2E7.7J8.5B9.1K5J8.3K8.2N8.2S7.6Q8.4Q9.1N5B8.2J8.1B8.1G7.2A7.9F9O5C8S8.1L8.1J6.9B7.7N9J4S7.8Q8K8B6.5T7.7T9B2综合上表每位同学的各项能力，L同学在学科成绩，写作能力，协作能力方面都有优势，M同学在学科成绩，智力水平方面有优势，S同学在动手能力和其他特长有优势。所以选择L、M、S同学可以组成一个竞赛技术水平最高的队。5.3模型三 针对问题（1）我们还需要考虑他们的专项能力以达到最优组合。为此，我们队这18位同学A、B、C、D、E、F、G、J、K、L、M、N、O、P、Q、R、S、T进行分组，分别为队员i=1,2,3,，18；学科成绩，智力水平，动手能力，写作能力，外语水平，协作能力，分别为j=1,2,.6。根据题中所给表格即有以下表：表8 专项能力条件数值队员学科成绩(j=1)智力水平(j=2)动手能力(j=3)写作能力(j=4)外语水平(j=5)协作能力(j=6)A（i=1）8.698.287.99.5B（i=2）8.28.88.16.57.79.1C（i=3）88.68.58.59.29.6D（i=4）8.68.98.39.69.79.7E（i=5）8.88.48.57.78.69.2F（i=6）9.29.28.27.999G（i=7）9.29.697.29.19.2J（i=8）8.38.18.66.98.59.4K（i=9）98.287.899.5L（i=10）9.69.18.19.98.79.7M（i=11）9.59.68.38.199.3N（i=12）8.68.38.28.199O（i=13）9.18.78.88.48.89.4P（i=14）9.38.48.68.88.69.5Q（i=15）8.489.49.28.49.1R（i=16）8.78.39.29.18.79.2S（i=17）7.88.19.67.699.6T（i=18）98.89.57.97.79记Sij为队员i的第j种能力所得分数。下面引入0-1变量xij，若队员i拥有第j种能力，记为xij=1，否则记为xij=0。当队员入选时，xij.sij表示他的成绩，否则xij.sij=0。于是目标函数代表队的成绩可以表示为综上可得0-1规划模型为：运用Lingo软件，得出结果如下：XA6=XB2=XC5=XD4=XE6=XF1=XG2=XJ6=XK5=XL4=XM2=XN5=XO1=XP1=XQ3=XR4=XS3=XT3=1.整理后可得如下表格：表9 专项能力整理结果条件数值队员学科成绩(j=1)智力水平(j=2)动手能力(j=3)写作能力(j=4)外语水平(j=5)协作能力(j=6)A8.698.287.99.5B8.28.88.16.57.79.1C88.68.58.59.29.6D8.68.98.39.69.79.7E8.88.48.57.78.69.2F9.29.28.27.999G9.29.697.29.19.2J8.38.18.66.98.59.4K98.287.899.5L9.69.18.19.98.79.7M9.59.68.38.199.3N8.68.38.28.199O9.18.78.88.48.89.4P9.38.48.68.88.69.5Q8.489.49.28.49.1R8.78.39.29.18.79.2S7.88.19.67.699.6T98.89.57.97.79红色部分表示每个队员以这个能力入选 为使得这18位同学组成的6个队伍（每队3人）整体竞赛水平最高，综上分析可得如下组队方案：表10 组队方案组别队员（分数）总分第一组O（9.1）S(9.6)N(9)27.7第二组F（9.2）T(9.5)E(9)27.7第三组P（9.3）Q(9.4)C(9.2)27.9第四组B（8.8）L(9.9)E(9.2)27.9第五组G（9.6）D(9.6)J(9.4)28.6第六组M (9.6)R(9.1)A(9.5)28.26 模型的优缺点6.1优点6.1.1本模采用了层次分析法，使得问题更加简化，方法比较直观6.1.2使用0-1规划模型并且采用Lingo软件求解，大大地简化了计算6.1.3本模型具有实际意义，可以推广6.2缺点6.2.1对于最后两个问题没有对各项指标都进行详细考虑，忽略了实际问题中的一些因素6.2.2模型的建立只从规划方面运用了Lingo求解，没有从多方面进行考虑，得出的结果可能没有很大的说服力参考文献1谭千蓉，林宗兵.数学实验与数学模型M.成都：西南交通大学出版社，2009.2郭大伟.数学建模M.合肥：安徽教育出版社，2009.附录max=8.6*xa1+9*xa2+8.2*xa3+8*xa4+7.9*xa5+9.5*xa6+8.2*xb1+8.8*xb2+8.1*xb3+6.5*xb4+7.7*xb5+9.1*xb6+8*xc1+8.6*xc2+8.5*xc3+8.5*xc4+9.2*xc5+9.6*xc6+8.6*xd1+8.9*xd2+8.3*xd3+9.6*xd4+9.7*xd5+9.7*xd6+8.8*xe1+8.4*xe2+8.5*xe3+7.7*xe4+8.6*xe5+9.2*xe6+9.2*xf1+9.2*xf2+8.2*xf3+7.9*xf4+9*xf5+9*xf6+9.2*xg1+9.6*xg2+9*xg3+7.2*xg4+9.1*xg5+9.2*xg6+8.3*xj1+8.1*xj2+8.6*xj3+6.9*xj4+8.5*xj5+9.4*xj6+9*xk1+8.2*xk2+8*xk3+7.8*xk4+9*xk5+9.5*xk6+9.6*xl1+9.1*xl2+8.1*xl3+9.9*xl4+8.7*xl5+9.7*xl6+9.5*xm1+9.6*xm2+8.3*xm3+8.1*xm4+9*xm5+9.3*xm6+8.6*xn1+8.3*xn2+8.2*xn3+8.1*xn4+9*xn5+9*xn6+9.1*xo1+8.7*xo2+8.8*xo3+8.4*xo4+8.8*xo5+9.4*xo6+9.3*xp1+8.4*xp2+8.6*xp3+8.8*xp4+8.6*xp5+9.5*xp6+8.4*xq1+8*xq2+9.4*xq3+9.2*xq4+8.4*xq5+9.1*xq6+8.7*xr1+8.3*xr2+9.2*xr3+9.1*xr4+8.7*xr5+9.2*xr6+7.8*xs1+8.1*xs2+9.6*xs3+7.6*xs4+9*xs5+9.6*xs6+9*xt1+8.8*xt2+9.5*xt3+7.9*xt4+7.7*xt5+9*xt6;xa1+xa2+xa3+xa4+xa5+xa6=1;xb1+xb2+xb3+xb