主要辅助线技巧.doc

1、如图1，是的平分线，请你利用该图形画一对以所在直线为对称轴的全等三角形请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图2，在中，是直角，分别是，的平分线，相交于点请你判断并写出与之间的数量关系；NPMOACDBEFBEACD图3（2）如图3，在中，如果不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由2、已知MON60，射线OT是MON的平分线，点P是射线OT上的一个动点，射线PB交射线ON于点B（1）如图，若射线PB绕点P顺时针旋转120后与射线OM交于点A，求证：PAPB；（2）在（1）的条件下，若点C是AB与OP的交点，且满足PC PB，求POB与PBC的面积之比；（3）当OB2时，射线PB绕点P顺时针旋转120后与直线OM交于点A（点A不与点O重合），直线PA交射线ON于点D，且满足PBDABO，求OP的长BCMAONPTMONT备用图MONT备用图BCMAONPTFG（1）证明：作PFOM于F，PGON于GOP平分MON，PF PGMON60，PFG120APB120，APFBPGPAFPBGPAPB 4分（2）解：由（1）得：PAPB，APB120PABPBA30MON60，OP平分MON，TON30POBPBC又BPOCPB，POBPBC 即POB与PBC的面积之比为4 : 3 8分DMAONPTEB（3）解：当点A在射线OM上时APB120，BPD60BOAPBDABO，PBA30，PBDABO75作BEOT于ENOT30，OB2，BE1，OE，OBE60EBPEPB45，PEBE1OPOEPE1 10分DMAONPTEB当点A在射线OM的反向延长线上时则AOBDPB120PBDABO，PBA30，PBDABO15作BEOT于ENOT30，OB2，BE1，OE，OBE60EBPEPB45，PEBE1OPOEPE1 12分3、点是边上一点，试判断的数量关系。说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取（1）或（2）中的条件，选（1）中的条件完成解答满分为7分；选（2）中的条件完成解答满分为5分.（1）=1（2）4已知菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上（点E、F分别不与点C、D重合），且AEAF，EAF54（1）如图1，当AC平分EAF时，若ABAE，求AEB的度数；（2）如图2，当AC不平分EAF时，若ABE是一个等腰三角形，求AEB的度数ADCBFE图1ADCBFE图2解：（1）设BxABAE，AEAF，ABAD，BAEDAF1802xADCBFE图1ADBC，x2(1802x)54180解得x78，即B78AEBB78（2）作AGBC于G，AHCD于H由AC平分BCD得AGAH又AEAF，RtAGERtAHFGAEHAF，GAHEAF又GAHGCH180，BGCH180ADCBFE图2GHBGAHEAF54若ABE是一个等腰三角形，则有三种情况：当AEBE时，则BBAE54AEB18025472当ABAE时，则AEBB54又EAF54，AFBCAF与AD重合，即点F与点D重合，这与点F与点D不重合矛盾这种情况不存在点E与点C不重合，BABE综上所述：当ABE是一个等腰三角形时，AEB725已知平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上（点E、F分别不与点C、D重合），EAF54（1），当AB=BC，且AEAF时，求B的度数（2）当AB=KBC，且AEKAF时，求B的度数ADCBFE图26、在中， BD平分交AC于D， 求证：7、ABCEFG图-2DABCDEFG图-3ABCFG图-1在ABC中，AB=AC，CGBA交BA的延长线于点G一等腰直角三角尺按如图15-1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B（1）在图-1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图-2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DEBA于点E此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DEDF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图-3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）8探究问题：（1）方法感悟：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足EAF45，连接EF，求证：DEBFEF感悟解题方法，并完成下列填空：将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：ABAD，BGDE，12，ABGD90ABGABF9090180因此，点G，B，F在同一条直线上EAF45，23BADEAF90454512，1345即GAF_又AGAE，AFAF，GAF_EF，故DEBFEF（2）方法迁移：如图，将RtABC沿斜边AC翻折得到ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且EAF DAB试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想（3）问题拓展：如图，在四边形ABCD中，ABAD，E，F分别为DC，BC上的点，满足EAF DAB，试猜想当B与D满足什么关系时，可使得DEBFEF请直接写出你的猜想（不必说明理由）CFBADE图CFBADE图CFBGADE123图9、已知：四边形ABCD中，ADBC，AB=AD=CD，BAD=ADC，点E在CD上运动（且不与C、D两点重合），AEP是直角三角形，AEP=90，P=30，过点P作EMBC交AF于点M（1）：若BAD=120，如图1，求证：EM=DE+BF（2）：若BAD=90，如图2，试探究BF、DE、EM之间的数量关系10、BD是等腰直角三角形的腰AC上的中线，交BD、BC于点E、F 求证：11、在平行四边形ABCD中，BAC=90，AB=AC，点M为BC边上一点，BEAM于E交AC于F，延长MF交AD于点H。 （1）BM=2CM求证：AF平分BFH （2）若BM=nCM，求12如图，已知四边形ABDE、ACFG都是ABC外侧的正方形，连接DF，若M、N分别为DF、BC的中点，求证：MNBC且MN BCCAFBDEGMNCAFBDEGMNPQR证明：分别过点D、A、F作直线BC的垂线，垂足分别为P、R、Q四边形ABDE为正方形，ABBD，ABD90DBPBAR，RtDPBRtBARDPBR，PBAR，同理CQAR，CRFQPBCQ又N为BC的中点，BNNCPBBNCQNC，即PNQN在直角梯形DPQF中，M为DF的中点，N为PQ的中点MNDP，MN ( DPFQ ) ( BRCR ) BC又DPBC，MNBC即：MNBC且MN BC13、已知，以、向形外做直角三角形、， DEBC（1）若AB=BD，AC=CE 求证：AB=AC（2）若AB=kBD，AC=kCE （1）问结论是否发生变化？14、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）求证：EGCG；EGCG（2）将图中BEF绕B点顺时针旋转45，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？15、已知和，ABC=HDC=90，AB=kBC，DH=kDC，取的中点，连接、（如图4），请探究与的数量关系说明：如果你经过反复探索没有解决问题，可以补充条件，16、如图，ABC中，D是AB的中点，分别延长CA、CB到E、F，使DE=DF，过E、F分别作CA、CB的垂线，相交于点P，求证：PAE= PBF。17. 在矩形ABCD中, 点F在AD延长线上，且DF= DC, M为AB边上一点, N为MD的中点, 点E在直线CF上（点E、C不重合）.（1）如图1, 若AB=BC, 点M、A重合, E为CF的中点，试探究BN与NE的位置关系及的值, 并证明你的结论; （2）如图2，且若AB=BC, 点M、A不重合, BN=NE，你在（1）中得到的两个结论是否成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由; （3）如图3，若点M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论.FA(M)DNDACEDNMBFECBFNMECBA. 解：（1）BN与NE的位置关系是BNNE；=. 证明：如图，过点E作EGAF于G, 则EGN=90 矩形ABCD中, AB=BC， 矩形ABCD为正方形. AB =AD =CD, A=ADC =DCB =90 EG/CD, EGN =A, CDF =90 1分 E为CF的中点，EG/CD, GF=DG = N为MD(AD)的中点， AN=ND= GE=AN, NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB. 2分 NGEBAN 1=2. 2+3=90， 1+3=90 BNE =90. BNNE 3分 CDF =90, CD=DF, 可得 F =FCD =45， .于是 4分（2）在（1）中得到的两个结论均成立.证明：如图，延长BN交CD的延长线于点G，连结BE、GE，过E作EHCE，交CD于点H 四边形ABCD是矩形， ABCG MBN=DGN，BMN=GDN. N为MD的中点， MN=DN BMNGDN MB=DG，BN=GN. BN=NE， BN=NE=GN. BEG=905分 EHCE， CEH =90 BEG=CEH BEC=GEH由（1）得DCF =45 CHE=HCE =45 EC=EH, EHG =135ECB =DCB +HCE =135， ECB =EHG ECBEHG EB=EG，CB=HG BN=NG， BNNE.6分 BM =DG= HG-HD= BC-HD =CD-HD =CH=CE，=.7分 （3）BNNE；不一定等于. 8分 18. 如图，D是ABC中AB边的中点，BCE和ACF都是等边三角形，M、N分别是CE、CF的中点.（1）求证：DMN是等边三角形；（2）连接EF，Q是EF中点，CPEF于点P. 求证：DPDQ.同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将NCM绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.24. 证明：（1）取AC的中点G，连接NG、DG.DGBC，DGBC；NGC是等边三角形. NG = NC，DG = CM. 2分1 + 2 = 180，NGD + 2 = 240.2 + 3 = 240，NGD =3.NGDNCM . 3分ND = NM ，GND =CNM. DNM =GNC = 60.DMN是等边三角形. 4分（2）连接QN、PM.QN =CE= PM. 5分RtCPE中，PM =EM，4= 5. MNEF，5= 6，7= 8.NQCE，7= 4.6= 8.QND= PMD. 6分QNDPMD. DQ= DP. 7分19、如图1，在四边形中，分别是的中点，连结并延长，分别与的延长线交于点，则（不需证明）（温馨提示：在图1中，连结，取的中点，连结，根据三角形中位线定理，证明，从而，再利用平行线性质，可证得）问题一：如图2，在四边形中，与相交于点，分别是的中点，连结，分别交于点，判断的形状，请直接写出结论问题二：如图3，在中，点在上，分别是的中点，连结并延长，与的延长线交于点，若，连结，判断的形状并证明ACBDFENMOEBCDHAFNM12图1图2图3ABCDFGE20、已知在ABC中，以ABC的边AB、AE为边向外做ABE、AFC，且，BAE与CAF互补。点D是BC上一点，延长DA交EF于点M，使MDB=BAE。试判断EM与FM的数量关系。说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取（1）或（2）中的条件，选（1）中的条件完成解答满分为7分；选（2）中的条件完成解答满分为5分.（1）=1（2）=1且ADBC于点D21如图17，点A是ABC和ADE的公共顶点，BACDAE180，ABkAE，ACkAD，点M是DE的中点，直线AM交直线BC于点N探究ANB与BAE的关系，并加以证明说明：如果你经过反复探索没解决问题，可以从下面中选取一个作为已知条件，再完成你的证明，选取比选原题少得2分，选取比选原题少得5分 如图18，k1；如图19，ABAC若ADE绕点A旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中的结论是否发生变化？如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并直接写出变化后ANB与BAE的关系22如图1，在中，为锐角，点为射线上一点，联结，以为一边且在的右侧作正方形（1）如果，当点在线段上时（与点不重合），如图2，线段所在直线的位置关系为 _ ，线段的数量关系为 ；当点在线段的延长线上时，如图3，中的结论是否仍然成立，并说明理由；FD图3ABDCE（2）如果，是锐角，点在线段上，当满足什么条件时，（点不重合），并说明理由 图2ABDECF图1ABDFECCABEFMN图23、思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决可将沿直线对折，得，连，只需证，就可以了请你完成证明过程：CABEFMN图（）当扇形CEF绕点C旋转至图的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由24、已知：，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB 的两侧.（1）如图，当APB=45时，求AB及PD的长；（2）当APB变化，且其它条件不变时，求PD 的 最大值，及相应APB的大小.25、请阅读下列材料问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2， PB=， PC=1求BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长李明同学的思路是：将BPC绕点B顺时针旋转60，画出旋转后的图形（如图2）连接PP，可得PPC是等边三角形，而PPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）所以APC=150，而BPC=APC=150进而求出等边ABC的边长为问题得到解决请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1求BPC度数的大小和正方形ABCD的边长图3图2图126已知P为正方形ABCD的边BC上任意一点，BEAP于点E，在AP的延长线上取点F，使EFAE，连接BF、CF（1）如图1，求证：BFBC；（2）如图2，CBF的平分线交AF于点G，连接DG，求证：BGDG AG；（3）若正方形ABCD的边长为2，当P点为BC的中点时，求CF的长CFBADEP图1CFBADEP图2G26（1）证明：四边形ABCD为正方形，ABBCBEAF，EFAE，ABBFBFBC 2分CFBADEPGH（2）解：过点D作DHAF于HBG平分CBF，FBGCBGABBF，BFGBAPBEAP，ABP90，BAPPBEBAPPBEBFGPBEBGEBFGFBG，GBEPBECBGBGEGBE，BEGEBG GE 5分DHAF，DAB90，BAEADH又ABDA，BAEADHDHAE，AHBEEGDHHG，DG DH AEBGDG AG 8分ACBEDPFG27正方形ABCD中，P为AB边上任一点，AEDP于E，点F在DP的延长线上，且DEEF，连接AF、BF，BAF的平分线交DF于G，连接GC（1）求证：AEG是等腰直角三角形；（2）求证：AGCGDG；（3）若AB2，P为AB的中点，求BF的长27（1）证明：AEDF，DEEF，ADAFABADEAFEPAEADE90DAE，AFEPAEFAGBAG，AGEFAGAFE，GAEBAGPAEAGEGAE，AEGE又AEG90，AEG是等腰直角三角形 3分ACBEDPFGH（2）证明：过D作HDDF交GA的延长线于点HAEG是等腰直角三角形，AGE45DGH是等腰直角三角形HGAHAGDG，DHDG又ADHCDG90ADP，ADCDADHCDG，AHCGAGCGDG 7分28在ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F（1）在图1中证明CECF；（2）若ABC90，G是EF的中点（如图2），直接写出BDG的度数（3）若ABC120，FGCE，FGCE，分别连结DB、DG（如图3），求BDG的度数图3ADBCEFG图2ABCFDEG图1ABCFDE图1ABCFDE（1）证明：如图1AF平分BAD，BAFDAF四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCDDAFCEF，BAFFCEFFCECF 2分（2）BDG45 3分图3ADBCEFG123（3）解：分别连结GB、GE、GC（如图3）ABDC，ABC120，ECFABC120FGCE且FGCE，四边形CEGF是平行四边形由（1）得CECF，CEGF是菱形EGEC，GCEGCF ECF60ECG是等边三角形EGCG GECEGC60，GECGCFBEGDCG 由ADBC及AF平分BAD可得BAEAEB，ABBE在ABCD中，ABDCBEDC 由得BEGDCG，BGDG，12BGD1323EGC60BDG是等边三角形BDG60 7分29、等边，P是三角形外一点，且，求证：30（辽宁省阜新市）如图1，RtABC中，ABC90，BCAB2BC在AB边上取一点M，使AMBC，过点A作ADAB且ADBM，连接DC，再过点A作ANDC，交直线CM、CB于点E、N（1）求证：AEM45；（2）若将题中的条件“BCAB2BC”改为“AB2BC”，其它条件不变，请在图2中画出图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请猜想AEM的度数，并说明理由NEDCABM图1CAB图2（1）证明：连接DM，如图1NEDCABM图1ADAB，DAMB90ADBM，AMBC，ADMBMCADMBMC，DMMCADMAMD90，BMC+AMD90DMC90DMC是等腰直角三角形DCM45ANDCAEMDCM45 5分（2）画出图形，如图2 7分不成立AEM135 8分CAB图2NDEM连接DM由（1）知DCM45ANDC，AEMDCM180AEM13510分31如图，已知正方形ABCD，点E是边AB上一动点，点F在AB边或其延长线上，点G在边AD上连结ED，FG，交点为H设EHF=（1）如图1，若AE=BF=GD，求（2）如图2，若EF =CD，GD=AE，请判断当点E在AB上运动时， 的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出 32、（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是DCP的平分线上一点若AMN=90，求证：AM=MN下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明证明：在边AB上截取AE=MC，连ME正方形ABCD中，B=BCD=90，AB=BCNMC=180AMNAMB=180BAMB=MAB图1=MAE本试卷由无锡市天一实验学校金杨建录制 QQ：623300747转载请注明！（下面请你完成余下的证明过程）图2（2）若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是ACP的平分线上一点，则当AMN=60时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由本试卷由无锡市天一实验学校金杨建录制 QQ：623300747转载请注明！33、在ABC，C=，点D是线段BC上一点，ADE=C=，CAB=EBF，（1）若AC=BC，求证： AD= DE （2）若AC=KBC，试判