分组与隔板法.doc

组合问题中分组问题和分配问题.（1）非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为例1：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为若从10人中选出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为.（2）均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为（其中A为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组均匀分组应再除以.例2：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为.若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为（3）非均匀编号分组: n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为例3：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：种.若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有种（4）均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为.例4：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为 练习题：1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（）2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法 （1260）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为_（）作业1：(1) 今有10件不同奖品,从中选6件分给三份，一份一件,一份二件和一份三件,有多少种分法?（2）今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?(3) 今有10件不同奖品, 从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件, 有多少种分法?(4) 今有10件不同奖品, 从中选6件分成三份,每份2件, 有多少种分法? (5) 今有10件不同奖品, 从中选6件分成三份,一份4件，另外2份各一件, 有多少种分法? （6）今有10件不同奖品, 从中选6件分成三个人,一个人4件，另外2个人各一件, 有多少种分法?（7）今有10件不同奖品, 从中选6件分成三个人,每人2件, 有多少种分法?作业2：（1）10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个有多少装法？ （2） 求这个方程组的自然数解的组数 隔板法隔板法又叫隔墙法，插板法，n件相同物品（n个名额）分给m个人，名额分配，相同物品分配常用此法。 若每个人至少1件物品（1个名额），则n件物品（n名额）排成1排，中间有n-1个空挡，在这个n-1空档选m-1个空挡放入隔板，隔板1种插法对应1种分法，所以有种分法。若允许有人分不到物品 ，则先把n 件物品和m-1块隔板排成一排，有n+m-1个位置，从这个位置中选m-1个位置放隔板，有种方法，再将n件物品放入余下的位置，只有1种方法，m-1块隔板将物品分成m块，从左到右可看成每个人分到的物品数，每1种隔板的放法对应一种分法，所以共有种分法。例4 9个 颜色大小相同的分别放入编号分别为1，2，3，4，5，6的6个盒中，要求每个盒中至少放1个小球，有多少种方法？ 解：（法1）将9个小球排成一排，9个小球之间有8个空挡，在这8个空挡选5个空挡放5个隔板，将9个小球分成6份，每份至少1个球，将这6份放到6个盒中，有=56种方法。 （法2）先给每个盒中放1个球，然后将余下的3个小球和5块隔板排成一排，排列位置有8个，先从8个位置中选5个放隔板，有=56种方法，再余下位置放小球只有1种方法， 5块隔板将小球分成6块，从左到右看成6个盒所得球数，每一种隔板放法对应1种分法，故有=56种方法。例6.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有种分法。变式1：某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有_种.变式2：某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有_种.:练习题：1 求这个方程组的正整数解的组数 2 求这个方程组的自然数解的组数 顺序固定用“除法”：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。例4、6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲-乙-丙”顺序排的排队方法有多少种？分析：不考虑附加条件，排队方法有A66种，而其中甲、乙、丙的A33种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有A66 A33 =120种。(或A63种)例5、4个男生和3个女