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第十五章不等式选讲 高考文数 考点一解含有绝对值的不等式1 绝对值不等式的解法 1 ax b c ax b c型不等式的解法 i 若c 0 则 ax b c等价于 c ax b c ax b c等价于ax b c或ax b c 然后根据a b的值解出即可 ii 若c 0 则 ax b c的解集为 ax b c的解集为R 2 对于形如 x a x b c x a x b c的不等式 可通过分类讨论或利用绝对值的几何意义进行求解 2 绝对值三角不等式定理1 若a b为实数 则 a b a b 当且仅当ab 0时 等号成立 知识清单 定理2 若a b c为实数 则 a c a b b c 等号成立 a b b c 0 即b落在a c之间 推论1 a b a b 推论2 a b a b 考点二证明不等式证明不等式的基本方法 1 比较法 2 综合法与分析法 3 反证法和放缩法 含有两个绝对值的不等式的解法形如 x a x b c 或 c 型不等式主要有三种解法 1 分段讨论法 利用绝对值符号内式子对应方程的根 将数轴分为 a a b b 此处设a b 三个部分 在每个部分上去掉绝对值符号 分别列出对应的不等式求解 然后取各个不等式解集的并集 2 几何法 利用 x a x b c c 的几何意义 数轴上到点x1 a和x2 b的距离之和不小于 不大于 c的点的全体 3 图象法 作出函数y1 x a x b 和y2 c的图象 结合图象求解 方法技巧 例1 2016课标全国 24 10分 选修4 5 不等式选讲已知函数f x x 1 2x 3 1 画出y f x 的图象 2 求不等式 f x 1的解集 解析 1 f x 4分 y f x 的图象如图所示 6分 2 由f x 的表达式及图象知 当f x 1时 可得x 1或x 3 当f x 1时 可得x 或x 5 8分 故f x 1的解集为 x 11的解集为 10分 证明不等式的方法1 用比较法证明不等式最常用的是差值比较法 其基本步骤是 作差 变形 判断差的符号 下结论 其中 变形 是证明的关键 一般通过因式分解或配方将差变形为几个因式的积或配成几个平方和的形式 2 在证明不等式时 分析法与综合法常常联合使用 实际上是以分析法为主 借助综合法 使证明的问题明朗化 此种方法称为分析综合法 分析综合法的实质是既充分利用已知条件 又时刻不忘解题目标 兼顾条件与结论 便于找到解题途径 例2 2017福建福州八中第六次质检 23 已知函数f x x 1 1 解不等式f x f x 4 8 2 若 a a f 解析 1 f x f x 4 x 1 x 3 当x1时 由2x 2 8 解得x 3 所以x 3 所以 不等式f x f x 4 8的解集为 x x
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