2018年高中数学_第1章 立体几何初步 1.3.2 空间几何体的体积课件5 苏教版必修2

空间几何体的体积 祖冲之父子 祖冲之 公元429 500年 字文远 是我国南北朝时代的数学家 天文学家 历学家 文学家 机械学家 说他是天文学家 历学家 是因为他创 大明历 说他是文学家 是因为他著有 述异记 十卷 说他是机械学家 是因为他制造水碓 水磨 说他是数学家 是因为他著有 缀术 其中对圆周率研究结果的得出 早于欧洲1100多年 祖暅是祖冲之的儿子 是一位博学多才的数学家 他继承家学 主要工作是修补编辑他父亲的著作 缀述 祖暅在数学上的主要成就 就是推算球的体积公式 所用原理 缘幂势既同 则积不容异 其中幂指截面积 势指高 等底等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等 则这两个几何体的体积相等 祖暅原理 类似于用单位正方形的面积度量平面图形的面积 我们可以用单位正方体 棱长为1个长度单位的正方体 的体积来度量长方体的体积 一个长方体的体积是单位正方体体积的多少倍 那么这个长方体的体积的数值就是多少 长方体的长 宽 高分别为a b c 那么它的体积为 V长方体 abc 或 V长方体 Sh 这里 S h分别表示长方体的底面积和高 S S S 柱体 棱柱 圆柱 的体积等于它的底面积S和高h的积 即V柱体 Sh 类似地 底面积相等 高也相等的两个锥体 它们的体积也相等 V锥体 V台 V大锥 V小锥 S s x h r R 台体 棱台 圆台 的体积可以转化为锥体的体积来计算 如果台体的上 下底面面积分别为S S 高是h 可以推得它的体积是 S S 柱 锥 台体积的关系 V柱体 Sh V锥体 Sh 这里S S 分别是上 下底面积 h是高 想一想 实验 给出如下几何模型 步骤 拿出圆锥和圆柱 将圆锥倒立放入圆柱 结论 截面面积相等 则两个几何体的体积相等 用一个平行平面截几何体得到截面 球的体积计算公式 R S1 探究 球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆 大圆的半径等于球半径 球的表面积是球的大圆面积的4倍 课堂练习一 1 一个上底面积为4 下底面积为9 高为6的台体 求它的体积 2 半径是R的球 如果半径发生了下述变化 则其体积 表面积分别增加了多少倍 1 半径增大到原来的2倍 2 半径增大了2倍 分析 增大到 与 增大了 是两个不同的概念 前者是指最终结果 后者还必须再加上原来的一份 例1有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5 8kg 已知底面六边形的边长是12mm 高是10mm 内孔直径是10mm 那么约有毛坯多少个 铁的比重是7 8g cm3 分析 六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差 再由比重算出一个六角螺帽毛坯的体积即可 所以一个毛坯体积为 V 3 74 103 0 785 103 2 96 103 mm3 2 96 cm3 约有毛坯 5 8 103 7 8 2 96 251 个 答 这堆毛坯约有251个 例2一个长 宽 高分别为3 4 5的长方体内接于一球 求球的体积和表面积 2R 课堂练习二 用一张长12cm 宽8cm的矩形围成圆柱体的侧面 求这个圆柱的体积 2 在 ABC中 AB 2 BC 1 5 ABC 120 如图 若将 ABC绕直线BC旋转一周 求形成的旋转体的体积 1 本节课主要学习了柱 锥 台及球体的