数学建模肖承烽.doc

由方程（3）可知，双方的兵力00000都是单调减函数，不妨认为兵力先减至零的一方为负方。为了得到双方胜负的条件，不必直接求解方程（3），而在相平面上讨论相轨线的变化规律。由方程（3）可得 其解为 (5)注意到方程（3）的初始条件，有 (6)由（5）式确定的相轨线是双曲线族，如图11.箭头表示随时间的增加，的变化趋势。可以看出，如果，轨线将与轴相交。这就是说存在使,，即当甲方兵力为零时乙方兵力为正值，表明乙方获胜。同理可知，k10，乙方必须10倍于甲方的兵力方可取胜.美国人曾用这个模型分析20世纪70年代的越南战争（甲方为越南，乙方为美国）.感觉类似于上面的计算以及在这之前发生在马来亚、菲律宾、印尼、老挝等地的混合战争的实际情况计出：正规部队一方要想取胜必须至少投入8倍于游击部队一方的兵力，而美国最多只能派出6倍于越南的兵力.越南战争的结局是美国不得不接受和谈并撤军，越南人民取得最后胜利.硫磺岛战役 J.HEngel用二次大战末期美日硫磺岛战役中的美军战地记录，对正规战争模型进行了验证，发现模型结果与实际数据吻合的很好.硫磺岛位于东京以南660英里的海面上，是日军的重要空军基地.美军在1945年2月19日开始进攻，激烈的战斗持续了一个月，双方伤亡惨重，日方守军21500人全部阵亡或被俘，美方投入兵力73000人，伤亡20265人.战争进行到28天时美军宣布占领该岛，实际战斗到36天才停止.美军的战地记录有按天统计的战斗减员和增援情况.日军没有后援，战地记录则全部遗失.用A（t）和J（t）表示美军和日军第t天的人数，在正规战争模型（2）式中忽略非战斗减员，且，再加上初始条件，有 （19）美军战地记录给出增援率为 （20）并可由每天伤亡记录得到实际兵力（见图14中虚线）.下面利用这些实际数据代入（19）式，算出的理论值，并与实际值比较.对方程（19）用求和代替积分可得 （21） （22）为估计b，在（22）式中t=36，由实际数据可得，于是由估计出.再把这个值代入（22）式 即可算出然后从（21）式估计a.令t=36，得 （23）其中分子是美军的总伤亡人数，为20265人，分母可由已经算出的J（t）得到，为372500人，于是从（23）式有.把这个值代入（21）式得 （24）由（24）式就能够算出美军人数0000的理论值，图14中用实线画出.与虚线表示的实际值相比，可以看出吻合的情况. 000000000000000000000 0000000000000000000 00000000000000000005.4 药物在体内的分布与排除 药物进入机体后，在随血液运输到各个器官和组织的过程中，不断地被吸收、分布、代谢，最终排出体外.药物在血液中的浓度，即单位体积血液（毫升）中药物含量（毫克或微克），称血药浓度，随时间和空间（机体的各部分）面变化.血药浓度的大小直接影响到药物的疗效，浓度太低不能达到预期的效果，浓度太高又可能导致药物中毒、副作用太强或药物浪费.因此研究药物在体内吸收、分布和排除的动态过程，及这些过程与药理反应间的定量关系，对于新药研制、剂量确定、给药方案设计等药理学和临床医学的发展都具有重要的指导意义和实用价值.这个学科分支称药物动力学.建立房室模型（Compartment Model）是药物动力学研究上述动态过程的基本步骤之一.所谓房室是指机体的一部分，药物在一个房室内呈均匀分布，即血药浓度是常数，而在不同房室之间则按照一定规律进行药物的转移.一个机体分为几个房室，要看不同药物的吸收、分布、排除过程的具体情况，以及研究对象所要求的精度而定.本节只讨论二室模型，即将机体分为血液较丰富的中心室（包括心、肺、肾等器官）和血液较贫乏的周边室（四肢、肌肉组织等）.药物的动态过程在每个房室内是一致的，转移只在两个房室之间以及某个房室与体外之间进行.二室模型的建立和求解方法可以推广到多室模型.显然，将一个机体划分为若干房室是人们为了研究目的所做的简化.值得庆幸的是，这种简化在一定条件下已由临床试验证明是正确的，为医学界和药理学界所接.模型假设 可以想到，对于二室模型我们将建立关于两个血药浓度的微分方程描述其动态特征.为了将问题进一步简化，得到线性常系数方程，作如下假设.1.机体分为中心室（I室）和周边室（II室），两个室的容积（即血液体积或药物分布容积）在过程中保持不变.2.药物从一室向另一室的转移速率，及向体外的排除速率，与该室血药浓度成正比.3.只有中心室与体外有药物交换，即药物从体外进入中心室，最后又从中心室排出体外.与转移和排除的数量相比，药物的吸收可以忽略.在这些假设下的一种二室模型示意图如图15所示. 和分别表示第室（）的血药浓度、药量和容积，和是两室之间药物转移速率系数，是药物从I室向体外排除的速率系数. 是给药速率，由给药方式和剂量确定（下面将详细讨论）.这种速率系数为常数的房室模型称乳突状模型. 000000000000000000000模型建立 根据假设条件和图15可以写出两个房室中药量满足的微分方程. 的变化率由I室向II室的转移，I室向体外的排除，II室向I室的转移及给药组成；的变化率由I室向II室的转移及II室向I室的转移组成.于是有 （1）与血药浓度、房室容积之间显然有关系式 （2）（2）代入（1）式可得 （3）这是线性常系数非齐次方程，它的解由齐次方程的通解和非齐次方程的特解组成.其对应齐次方程的通解为（习题5） （4）其中,由 （5）确定.为了得到非齐次方程的特解从而解出（3），需要设定给药速率和初始条件.我们考察下面几种常见的给药方式.1. 快速静脉注射 这种注射可简化为在的瞬时将剂量的药物输入中心室，血药浓度立即上升为，于是和初始条件为 （6） 方程（3）在条件（6）下的解为 （7） （8）其中由（5）式确定.可以看出当时.2. 恒速静脉滴注当静脉滴注的速率为常数时，和初始条件为 （9）方程（3）在条件（9）下的解可表示为 （10）其中常数由初始条件确定. 当充分大时,将趋向于（10）式右端第3项表示的常值.实际上，若后停止滴注，那么，,在以后将按