解析几何问题的题型与方法(第3课时).doc

解析几何问题的题型与方法（第3课时）一、椭圆及其标准方程1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|，则这样的点不存在；若距离之和等于|，则动点的轨迹是线段.2.椭圆的标准方程：（0），（0）.3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.4.求椭圆的标准方程的方法： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.二、椭圆的简单几何性质1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为（0）. 范围： -axa，-bxb，所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里. 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 顶点：有四个（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）. 线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点. 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0e1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义 定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e1时，这个动点的轨迹是椭圆. 准线：根据椭圆的对称性，（0）的准线有两条，它们的方程为.对于椭圆（0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即.3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径. 设（-c，0），（c，0）分别为椭圆（0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为，.椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有=+、两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.三、椭圆的参数方程 椭圆（0）的参数方程为（为参数）. 说明 这里参数叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角与直线OP的倾斜角不同：； 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.四、双曲线及其标准方程1. 双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|，则动点的轨迹是两条射线；若2a|，则无轨迹. 若时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.2. 双曲线的标准方程：和（a0，b0）.这里，其中|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.五、双曲线的简单几何性质1.双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率1，离心率e越大，双曲线的开口越大.2. 双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：，其中k是一个不为零的常数. 3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是和.在双曲线中，a、b、c、e四个元素间有与的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.六、抛物线的标准方程和几何性质1抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。2抛物线的方程有四种类型：、.对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。3抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例（1）范围：x0；（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；（3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；（4）离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；（5）准线方程；（6）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p0）： （7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px（pO）的焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的倾斜角为，则有|AB|=x+x+p以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x+bx+c=0，当a0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。七、轨迹方程 曲线上的点的坐标都是这个方程的解； 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形或轨迹）.例1、直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A两点.（1）求证：; （2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线. 解: （1）易求得抛物线的焦点. 若lx轴，则l的方程为.若l不垂直于x轴，可设,代入抛物线方程整理得 . 综上可知 .（2）设，则CD的垂直平分线的方程为假设过F，则整理得 ，. 这时的方程为y=0，从而与抛物线只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点，因此与l不重合，l不是CD的垂直平分线.说明：此题是课本题的深化，课本是高考试题的生长点，复习要重视课本。例2、已知椭圆，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，使它到左准线的距离为它到两焦点F1、F2距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。 解：假设存在满足条件的点，设M（x1，y1）a2=4，b2=3，a=2，c=1，点M到椭圆左准线的距离，或，这与x1-2，0)相矛盾，满足条件的点M不存在。例3、已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，焦距为4，离心率为，（）求椭圆方程； （）设椭圆在y轴正半轴上的焦点为M，又点A和点B在椭圆上，且M分有向线段所成的比为2，求线段AB所在直线的方程。解：（）设椭圆方程为 由2c=4得c=2 又 故a=3， 所求的椭圆方程为（）若k 不存在，则，若k 存在，则设直线AB的方程为：y=kx+2 又设A 由 得 点M坐标为M（0，2） 由代入、得 由、 得 线段AB所在直线的方程为：。例4、已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程 解：从直线所处的位置, 设出直线的方程, 由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为代入椭圆方程 得 化简后，得关于的一元二次方程 于是其判别式由已知，得=0即 在直线方程中，分别令y=0，x=0，求得 令顶点P的坐标为（x，y）， 由已知，得 代入式并整理，得 , 即为所求顶点P的轨迹方程说明：方程形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? 例5、已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是（1）求双曲线的方程； （2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值. 解：（1）原点到直线AB：的距离. 故所求双曲线方程为 （2）把中消去y，整理得 . 设的中点是，则 即故所求k=.说明：为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程. 例6、过点作直线与椭圆3x2+4y2=12相交于A、B两点，O为坐标原点，求OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。 分析：若直接用点斜式设的方程为，则要求的斜率一定要存在，但在这里的斜率有可能不存在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线的方程为，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化了运算。 解：设A（x1，y1），B（x2，y2），：把代入椭圆方程得：，即，此时 令直线的倾角为，则即OAB面积的最大值为，此时直线倾斜角的正切值为。例7、（2003年江苏高考题）已知常数，向量经过原点O以为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以为方向向量的直线相交于点P，其中试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.解：=（1，0），=（0，a）， +=（，a）， 2=（1，2a）.因此，直线OP和AP的方程分别为 和 .消去参数，得点的坐标满足方程.整理得 因为所以得： （i）当时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F； （ii）当时，方程表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点； （iii）当时，方程也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点.说明：由于向量可以用一条有向线段来表示，有向线段的方向可以决定解析几何中直线的斜率，故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系。求解此类问题的关键是：根据直线的方向向量得出直线方程，再转化为解析几何问题解决。例8、已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量。（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q是椭圆上任意一点， 、分别是左、右焦点，求 的取值范围；解：（1），。是共线向量，b=c,故。（2）设当且仅当时，cos=0，。说明：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题。例9、一条斜率为1的直线与离心率为的椭圆C：（）交于P、Q，两点，直线与Y轴交于点R，且，求直线和椭圆C的方程。 解： 椭圆离心率为，所以椭圆方程为，设方程为：，由消去得 （1） （2） 所以而所以 所以（3）又， 从而（4） 由（1）（2）（4）得（5）由（3）（5）解得， 适合，所以所求直线方程为：或；椭圆C的方程为说明：向量数量积的坐标表示，构建起向量与解析几何的密切关系，使向量与解析几何融为一体。求此类问题的关键是：利用向量数量积的坐标表示，沟通向量与解析几何的联系。体现了向量的工具性。 例10、已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且F1PF2的最大值为90，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，ABF2的面积最大值为12 （1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆C的方程 解法一：（1）设, 对 由余弦定理, 得 ， 解出 （2）考虑直线的斜率的存在性，可分两种情况： i) 当k存在时，设l的方程为 椭圆方程为 由 得 .于是椭圆方程可转化为 将代入，消去得 ,整理为的一元二次方程，得 .则x1、x2是上述方程的两根且，AB边上的高 ii) 当k不存在时，把直线代入椭圆方程得 由知S的最大值为 由题意得=12 所以 故当ABF2面积最大时椭圆的方程为： 解法二：设过左焦点的直线方程为：椭圆的方程为：由得：于是椭圆方程可化为：把代入并整理得：于是是上述方程的两根.,AB边上的高,从而 当且仅当m=0取等号，即 由题意知, 于是 . 故当ABF2面积最大时椭圆的方程为： 例11、（2002年天津高考题）已知两点M（-1，0），N（1，0）且点P使成公差小于零的等差数列，（）点P的轨迹是什么曲线？（）若点P坐标为，为的夹角，求tan。解：（）记P（x,y），由M（-1，0）N（1，0）得 所以 于是， 是公差小于零的等差数列等价于 即 所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆。（）点P的坐标为。 因为 0， 所以 说明：在引入向量的坐标表示后，可以使向量运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起。向量的夹角问题融入解析几何问题中，也就显得十分自然。求解这类问题的关键是：先把向量用坐标表示，再用解析几何知识结合向量的夹角公式使问题获解；也可以把两向量夹角问题转化为两直线所成角的问题，用数形结合方法使问题获解。说明：向量的长度，点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系，向量与解析几何的结合，为解决这些问题开辟了新的解题途径。注意： 用待定系数法求椭圆的标准方程时，要分清焦点在x轴上还是y轴上，还是两种都存在. 注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行a、b、c、e间的互求，并能根据所给的方程画出椭圆.求双曲线的标准方程 应注意两个问题： 正确判断焦点的位置