2026年北京市中考数学试卷真题（含官方答案及解析）

2026年北京市初中学业水平考试数学试卷姓名__________________准考证号考场号座位号考生须知1.本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题。满分100分。考试时间120分钟。2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分第题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列图形中，是中心对称图形的是ABCD2．如图，三角尺的直角顶点在直线l上．若，则的大小为A． B． C． D．3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是A． B． C． D．4．一个不透明的袋子中仅有5个球，其中有1个白球、1个黄球，其余都是红球，这5个球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是A． B． C． D．5．方程组的解为A． B． C． D．6．再生水利用提升工程是北京市“十五五”时期美丽北京建设的重大工程之一．北京市一家在建的再生水厂建成后每天能够供应高品质再生水．若一年按365天计．则该再生水厂建成后，一年能够供应的高品质再生水的总量用科学记数法表示应为A． B． C． D．7．如图，点B在射线上，在射线上截取，分别以A、B为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D．连接，，则的大小为ABMA． B． C． D．8．在平面直角坐标系中，点，．若点C不与点A重合，且以B，O，C为顶点的三角形与全等，则称C为B的“友好点”．给出下面四个结论：①对于所有的点B，在y轴上都有B的“友好点”；②能够找到点B，使得在x轴上有B的“友好点”；③对于所有的点B，在第一象限内都有B的“友好点”；④能够找到点B，使得在第四象限内有B的“友好点”．上述结论中，所有正确结论的序号是A．①③ B．①④ C．②③ D．②④第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是________．10．分解因式：________．11．在凸五边形中，，，则________．12．某学校共有2000名学生．为了解这些学生放假期间每周体育活动时间（单位：h）的情况，从中随机抽取了100名学生进行调查，数据整理如下：每周体育活动时间学生人数37552411学校建议，每周体育活动时间小于10h的学生应适当增加体育活动时间．根据以上信息．估计该学校2000名学生中应适当增加体育活动时间的学生人数是________．13．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）．14．如图，的两条对角线相交于点O．已知的面积为24，的长为8，当的长为________时，是菱形．15．如图，在平面直角坐标系中，过y轴正半轴上的点P作x轴的平行线，分别交函数和的图象于点A、B，过点B作x轴的垂线，垂足为C，连接交y轴于点Q，则的值为________．16．如图所示，公路旁自西向东依次有，，…，共6处住宅和一所学校．每个工作日早上，每处住宅各有1名学生需乘同一辆校车前往该学校，校车仅在设于某一住宅处的车站停车一次，每名学生需从自家住宅沿公路步行至该车站乘车，6名学生都上车后，校车沿公路向东行驶至学校．A1 A2A3 A4A5A6 学校已知每名学生在相邻两处住宅间的步行时间均为，校车在相邻两处住宅间的行驶时间均为，校车从处至学校的行驶时间为．一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至车站的步行时间与校车从车站至学校的行驶时间之和（不考虑其他因素）．（1）若车站设在处，则住在处的学生的理想通勤时间为________；（2）若当车站设在处时这6名学生的理想通勤时间之和最小，则________．三、解答题（共68分，第17~19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27~28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：．18．解不等式组：．19．已知，求代数式的值．20．如图，在中，，D，E分别为，的中点，，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，，求四边形的面积．21．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．（1）求k，b的值；（2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出m的取值范围．22．在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则：·A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）；·B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的1.2倍．已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为；一台B类机器人起跑后，前保持匀速，速度是这台A类机器人的1.1倍，之后原地维护，维护后匀速跑至终点，速度比维护前增加了，完赛成绩为．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程．23．若干名学生参加编程比赛，比赛共8轮，每轮有3道题，每人每轮的得分为该轮答对题目的数量（得分为整数）．已知甲、乙两名学生8轮得分的情况如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）甲8轮得分的平均数为________，乙8轮得分的平均数为________；（2）记甲、乙8轮得分的方差分别为和，则________（填“”“”或“”）；（3）如果丙8轮得分的中位数为2.5，那么丙8轮得分的平均数是不是一定大于乙8轮得分的平均数？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．24．如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，为的直径，过点B作的垂线，垂足为E，交于点D，连接，．（1）求证：；（2）连接交于点F，若，，求的长．25．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫作这种溶质的饱和溶液．固体的溶解度表示在一定温度下，某固态物质在100g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量．小云通过查阅资料，得到了溶剂为水时物质甲（硝酸钾）在不同温度下的溶解度数据和溶剂为水时物质乙（硝酸钠）的溶解度曲线，如下所示：温度01020304050607080甲的溶解度g13.320.931.645.863.985.5110138169（1）根据表中数据，在图中画出范围内甲的溶解度曲线；（2）当温度为________（精确到个位）时，甲和乙的溶解度相同，均为．在该温度下．将乙加入100g水中，充分搅拌使其全部溶解后，将温度降至，此时会有________g（精确到个位）乙从水中析出；（3）当温度为时，小云将100g甲加入到装有100g水的1号杯中，将100g乙加入到装有100g水的2号杯中，充分搅拌后，发现两种物质均不能全部溶解．为使两种物质均能全部溶解，小云考虑了以下两种方案：方案一：将温度提升至，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解；方案二：保持温度不变，向1号杯中再加入水，向2号杯中再加入水，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解．①方案一中，T的最小值为________（精确到个位）；②方案二中，的最小值为________（精确到个位）．26．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为．（1）求b的值，并用含a的式子表示c；（2）已知M是抛物线上的点，M的横坐标为t，抛物线的顶点为M，且可以由抛物线平移得到（特别地，当M是的顶点时，即为）．若无论t为何值，抛物线都不经过点O，求a的取值范围．27．在中，，，过的中点D作的垂线l，交于点E，点M在的延长线上，．（1）如图1，，求证：；（2）如图2，点N在的延长线上，，连接，，直接写出的大小，并证明．28．对于不共线的三点A，B，C，连接，，并作劣弧BC，使得BC所在圆的圆心在过点A且与平行的直线上，称由，和BC组成的图形为单弧三角形，记作△A－BC，其中BC所在圆的圆心称为△A－BC的弧心．在平面直角坐标系中，（1）如图1，点，，，直接写出△A－BC的弧心的坐标及BC的长；（2）如图2，点，，当△D－EF的弧心为O时，求点F的坐标；（3）已知点，对于平面内的点N，存在点P，Q满足△P－MN和△Q－MN的弧心均为O，和都不是钝角三角形，且，记N的横坐标为t，直接写出t的取值范围．2026年北京市初中学业水平考试数学试卷答案详解及评分参考阅卷须知：1．本试卷答案中解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．2．若考生的解法与答案中的解法不同，可参照评分参考相应给分．3．评分参考中每题所注分数，表示考生此题正确做到此步应得的累加分数．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）题号12345678答案CBCDABAB1.C【详解】A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；2.B【详解】∵三角尺的直角顶点在直线l上，且直角等于90°，∴∠1+90°+∠2＝180°，∵∠1＝48°，∴∠2＝180°﹣90°﹣48°＝42°.3.C【分析】根据数轴上点的位置确定a，b的取值范围及正负性，结合绝对值的性质及有理数的大小比较法则进行判断.【详解】解:由数轴可知，﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，∴a＜0，b＞0，A:∵a＜0，b＞0，∴a＜b，∴A不符合题意；B:∵﹣2＜a＜﹣1，∴1＜﹣a＜2，又∵b＞2，∴﹣a＜b，∴B不符合题意；C:∵a＜0，根据绝对值的性质可得|a|＝﹣a，∴C符合题意；D:∵a＜0，b＞0，∴ab＜0，∴D不符合题意.4.D【分析】先求出红球的个数，再用红球个数除以球的总个数，即可得到摸出红球的概率.【详解】解：∵袋子中共有5个球，其中1个白球，1个黄球，∴红球的个数为5－1－1＝3，∴5.A【详解】解：x+y＝4①3x﹣2y＝将①式两边同乘2得，2x+2y＝8③，②+③得，5x＝15，解得x＝3，将x＝3代入①式得，3+y＝4，解得y＝1，因此原方程组的解为x＝36.B【详解】解：∵每天供应量为2×105t∴一年总供应量为：365因此结果为77.A【分析】根据作图过程可知△ABD是等边三角形，从而得到∠ABD＝60°，BD＝BA，由点B在射线AM上，在射线BM上截取BC＝BA可知A、B、C三点共线，结合BC＝BA可得BC＝BD，利用等腰三角形性质及邻补角定义即可求解.【详解】解：如图：由作图可知，AD＝AB＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∵点B在射线AM上，在射线BM上截取BC＝BA，∴A、B、C三点共线，∴∵BC＝BA，BD＝BA，∴BC＝BD，∴8.B【分析】先明确△AOB的边长特征，再逐个判断每个结论，通过计算或举例验证结论是否成立.【详解】解:∵A(1，0)，B(1，t)，t＞0，∴△AOB是直角三角形，∠OAB＝90°，三边长为OA①对任意t＞0，取点C(0，t)，该点在y轴上，此时OC＝t＝AB，BC＝1＝OA，OB为公共边，∴△BOC≌△AOB(SSS)，且C不与A重合，因此y轴上一定存在友好点，①正确；②假设x轴上存在友好点C(x，0)，C不与A重合，也不能与O重合(否则无法构成三角形)，∵全等三角形斜边相等，斜边为OB，∴解得x＝0或x＝1，均不符合要求，因此x轴上不存在友好点，②错误；③当t＝1时，所有符合条件的友好点为(0，1)(在y轴)和(0，﹣1)(在y轴负半轴)，第一象限内没有友好点，因此不是对所有点B都成立，③错误；④举例：取t＝12，如图，设BC与x轴交于点D，过点C作CE⊥∵△BOC≌△OBA，∴∴OD＝BD，在Rt△ABD中，B∴解∴∵∠ADC＝∠BAD+∠ABD，∠ADC＝∠C+∠COD，∠C＝∠BAD＝90°，∴∠COD＝∠ABD，∴∴∴∴∴因此存在这样的点B，使得在第四象限内有B的“友好点”，故④正确，综上，正确结论为①④.第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9． 10． 11．135 12．20013． 14．3 15． 16．（1）34；（2）5解析9.【答案】x≠2【分析】根据分式有意义的条件，分式的分母不等于0，列不等式求解即可得到实数x的取值范围.【详解】解:由题意得，x﹣2≠0，解得，x≠2，∴实数x的取值范围是x≠2.10.【答案】x(x+7)(x﹣7)【详解】解：原式＝＝x(x+7)(x﹣7).11.【答案】135【分析】根据多边形内角和可得五边形的内角和为180°×(5－2)＝540°，然后问题可求解.【详解】解：根据多边形内角和可知：五边形的内角和为18∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴∠∵∠D＝∠E，∴∠D12.【答案】200【分析】先求出样本中每周体育活动时间小于10h的学生人数，计算对应频率，再用全校总人数乘以该频率，即可得到估计结果.【详解】解：由题意，抽取的样本中，每周体育活动时间小于10h的学生人数为3+7＝10，∴13.【答案】＜【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合m＞0判断两点横坐标的位置，即可比较y₁与y₂的大小.【详解】解：对函数解析式配方得y∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，∴当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，∵m＞0，∴m+1＞m＞0＞﹣2，∴14.【答案】3【分析】由菱形面积公式【详解】解：由题意∵▱ABCD的面积为24，BD的长为8，∴解得AC＝6.∵四边形ABCD是菱形，∴15【分析】设点P的纵坐标为m，根据平行于x轴直线上点的纵坐标相等，结合反比例函数解析式表示出点A和点B的坐标，进而得到点C的坐标.利用平行线性质证明△APQ∽△COQ，根据相似三角形对应边成比例即可求解.【详解】解：∵点P在y轴正半轴上，∴设点P的坐标为(0，m)，其中m＞0，∵直线AB平行于x轴，∴点A和点B的纵坐标均为m，∵∴∴把∴∵BC⊥x轴于点C，∴∴∵AB∥x轴，即AP∥CO，∴∠PAQ＝∠OCQ，∠APQ＝∠COQ，∴△APQ∽△COQ，∴∴16.【答案】 34 5【分析】(1)求出A₆到A₂之间有4个相邻住宅间隔，即可求解；(2)求出学生从Ab处总步行时间和以及6名学生的校车行驶时间和，可得总时间和为2.5(|1﹣k|+|2﹣k|+|3﹣k|+|4﹣k|+|5﹣k|+|6﹣k|)+156﹣6k，即可求解.【详解】解：(1)根据题意得：A₆到A₂之间有6﹣2＝4个相邻住宅间隔，所以住在A₆处的学生的理想通勤时间为2.5×4+1×4+20＝34min;(2)车站设在Ak处(k＝1，2，3，4，5，6)，学生从Ak处总步行时间和为2.5(|1﹣k|+|2﹣k|+|3﹣k|+|4﹣k|+|5﹣k|+|6﹣k|).校车从Ak处到学校的行驶时间为(6﹣k)×1+20＝26﹣k，所以6名学生的校车行驶时间和为6×(26﹣k)＝156﹣6k，总时间和为2.5(|1﹣k|+|2﹣k|+|3﹣k|+|4﹣k|+|5﹣k|+|6﹣k|)+156﹣6k，k＝1时，总时间和为2.5×(0+1+2+3+4+5)+150＝2.5×15+150＝187.5;k＝2时，总时间和为2.5×(1+0+1+2+3+4)+144＝2.5×11+144＝171.5;k＝3时，总时间和为2.5×(2+1+0+1+2+3)+138＝2.5×9+138＝160.5;k＝4时，总时间和为2.5×(3+2+1+0+1+2)+132＝2.5×9+132＝154.5;k＝5时，总时间和为2.5×(4+3+2+1+0+1)+126＝2.5×11+126＝153.5;k＝6时，总时间和为2.5×(5+4+3+2+1+0)+120＝2.5×15+120＝157.5;因为187.5＞171.5＞160.5＞157.5＞154.5＞153.5，所以k＝5时，总时间和最小，三、解答题（共68分，第17—19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27—28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（本题满分5分）解：原式……………….4分．…………………………..5分18．（本题满分5分）①解：原不等式组为解不等式①，得．…………..2分解不等式②，得．……………………..……….4分所以原不等式组的解集为．………………..…………….5分19．（本题满分5分）解：原式．……………3分，，原式．…………………………5分20．（本题满分6分）（1）证明：在中，，E为的中点，………………………1分，．又，四边形是平行四边形．……………………2分（2）解：，E分别为，的中点，是的中位线．，．．．由，，得，．的面积为3，的面积为．四边形的面积为．………………………6分21．（本题满分5分）解：（1）函数的图象经过点和．…………………1分解得的值为2，b的值为3．…………3分（2）…………………….5分22．（本题满分6分）解：设这台A类机器人的速度为．由题意可知，．解得．所以．答：这台A类机器人的速度为，此次比赛从起点到终点的路程为21000m．6分23．（本题满分5分）解：（1）2.2；………………………..…….…………2分（2）；………………3分（3）不是，当丙8轮的得分分别为0，0，0，2，3，3，3，3时，丙8轮得分的中位数为2.5，但平均数为1.75，小于乙8轮得分的平均数．（写出一个反例即可）…………….5分24．（本题满分6分）（1）证明：连接，．，C，D是上的点，