巧用一元二次方程根的构造解题.doc

巧用一元二次方程根的构造解题三门峡市一中 数学组 李志奇数学中的某些问题，从表面中看似乎与方程无关，但如果能根据问题的特点构造出一个一元二次方程，则运用根的定义、根的判别式、根与系数关系（即韦达定理等知识）处理原问题，有时会得到问题的简便解法，本文略举数例，供参考。1. 运用根的定义构造方程运用根的定义构造方程的思想，主要要对这类题型已知等式进行仔细整体观察，发现是某个已定系数的一元二次方程的根，从而得出解法。例1 若a1，a2，a3，a4实数都不等于零，且 则a1，a2，a3成等比数列，且a4是其公比。证明 由题设等式可知，a4一元二次方程的实数根。 =-4故只有=0 即 a1，a2，a3成等比数列。由求根公式，知 故a4为该等比数列的公比。2. 运用判别式构造方程运用判别式构造方程的思想来解不等式，主要利用一元二次方程的有解的条件及三角函数的有界性的转化是关键步骤。例2 在ABC中，求证：cosAcosBcosC证明 设y=cosAcosBcosC 则 2y=2cosAcosBcosC=cos(A+B)+cos(A-B)cosC=-cosC+cos(A-B)cosC整理得 cos2C-cos(A-B)cosC+2y=0 这可视为关于cosC的一元二次方程。C为ABC的内角，cosC为实数， = cos2(A-B)-8y0则 8ycos2(A-B) 1 得 y 即 cosAcosBcosC3. 运用根与系数关系构造方程运用根与系数关系构造方程的思想，在解方程、证明恒等式、证明不等式、求函数的值域等方面都有应用。例3设abc，a+b+c=1，a2+b2+c2=1时，求a+b和a2+b2的范围。 分析 本题运用构造发散思维，利用根和系数关系构造一元二次方程，依据根的判别式确定a+b和 a2+b2的范围。 解 构造a+b ab系数的一元二次方程，由条件去探求a+b和a2+b2的范围。a+b=1-c, a2+b2=(a+b)2-2ab=(1-c)2-2ab=1-c2ab=c2-c. 则a、b为方程x2-(1-c)x+ c2-c=0之两根，令f(x)=x2-(1-c)x+c2-cabc. (1)1a+b；(2)a2+b20，则a+b=c，ab=， a 、b为方程x2+cx+=0之两根，则：=c20， c。例5 已知x、y、z都是实数，且x+y+z=a，x2+y2+z2=a2，(a0)，求证：x、y、z都是不大于的非负实数。 分析 本题用代入消元法，即把z消去，从而再把y、a当成已知数，构造成x的一元二次方程。 证明 从x+y+z=a和x2+y2+z2=a2二式消去z，得x2+y2+(a-x-y)2=a2,将上式变形为的二次方程x2+(y-a)x+(y2-ay+)=0. xR，即上述关于x的一元二次方程有实根， 0， 即(y-a)2-4(y2-ay+)0， 整理得3y2-2ay0，解得0y。 同理可证得0x，0z。例6 若实数m、n、l满足m-n=8和mn+l2+16=0两式。求证：m+n+l=0. 分析 本题利用根与系数的关系，把m,-n视为所构造的新方程的两个根，再证明。 证明 将已知条件变为 故m,-n是一元二次方程x2-8x+(l2+16)=0的两个实数根。 由=(-8)2-4(l2+1