分解因式学案(全章).doc

【学习课题】 第18课时 第一节 分解因式的概念【学习目标】1、了解分解因式的意义；2、知道分解因式与整式乘法的区别与联系；3、感受分解因式的作用。【学习重点】分解因式的意义【学习难点】理解分解因式的含义【学习过程】 学习准备：请用字母表示乘法分配律： 对比观察： 因数 因数 整数 因式 因式 整式 快速计算下列各式： （1） （2） （3） （4） 解读教材1、小明为了说明能被100整除，是这样做的：= 99 （ ）- 99 1 =（ ）（） =99 9800 =9899（ ）所以，能被100整除。他的想法是从的结果中找出因数 ，问题就解决了。从小明的做法中，你认为还能被正整数 整除。由此可见，解决整除性问题的关键是把一个数化成几个 的 的形式。请大家明白并记住这种方法。挖掘教材2、 请借用上述方法，把化成几个整式的积的形式：= = 3、请仿照例题，填写下面的空格：例： 观察发现：由变形到，是 运算；而变形到与前一种变形刚好 ，所以我们把一个 化成几个 的 的形式的这种变形叫做这个多项式的 。因此，上述计算中，左边的四个运算是 ，右边的四个运算是 。即，左边是一个整式，右边是几个整式（单项式和多项式）的积的形式即时练习： 4、判断下列哪些变形是因式分解。 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）5、计算（1）（3）题，根据计算结果填写（4）（6）题：（1） ； （2） ；（3） ； （4） ；（5） ； （6） 。反思小结：（1）分解因式的结果要用 的形式表示，如：是恒等变形，不是分解因式。（2）分解后的每个因式必须是 ，如：不是分解因式，因为是 式。（3）分解因式与整式乘法是互为逆运算，也就是：；要判断一个变形是否是分解因式，一是看结果是否是 ；二是看积中的每个因式都是 式。因此，把分解因式展开后一定会和原来的多项式相等，在解题时，经常要用到这一点。【达标测评】1、下列从左边到右边的变形，属于分解因式的有 (只填写序号) 2、连一连：教材第40页，随堂练习第1题。 【资源链接】请背诵因式分解的口诀：首先提取公因式，然后考虑用公式。分组分得要合适，十字相乘试一试。四种方法反复试，不能再分才合适，结果必是连乘式。【学习课题】 第19课时 提公因式法（1）【学习目标】1 、知道公因式的概念，会准确地找出多项式各项的公因式； 2 、记住提取公因式的方法，并会用提公因式（单项式）把多项式分解因式；【学习重点】能运用提公因式（单项式）把多项式分解因式。【学习难点】准确地找出式子中的公因式。【学习过程】学习准备：把一个多项式化成几个整式的_的形式，这种变形叫做把这个多项式_。解读教材阅读教材42页，并填写下面的空格：1、 因为所以的各项都含有的因式是 我们把 叫做的公因式；一般的我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做多项式的 。即时练习 请把下列多项式中的公因式填写在括号内：（ ） 原式= 的公因式为 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 挖掘教材2、将下列各式分解因式，并填空： 解：原式=3_ + 3_ = ( x + ) 注意：公因式是_， = 注意：公因式是 （注意不要忘了系数）解：原式=7xx -7x3 公因式的系数应取各项系数的最大公约数; =7x( - ) 字母取各项都含有的字母的最低次幂的积 解：原式=_ - _ + =( _ -_ + _ ) 注意： 当多项式第一项的系数是负数时 ， 一般要先提 解：原式=_ () 出“ ”号，使括号内的第一项的系数是正的。 =_() 在提出“-”号时，多项式的各项都要 。3、公因式确定的方法：（1）确定公因式的数字因数。当各项系数是整数时，各项系数的_数就是公因式的系数。（2）确定公因式的字母及其指数。公因式的字母应是各项都含有的字母，其指数取_。4、如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个 提出来，从而将多项式化成_的形式，这种分解因式的方法叫做_。 即时练习 把下列各式分解因式（1）8x-72 (2) (3) (4) 反思小结5、=，反过来，=_，所以，提公因式法分解因式与单项式乘以多项式是_关系。可记住下面的口诀：公因式，要提取，公约数，取大值，公有字母提出来，字母次数要最低，原式除以公因式，商式写在括号里。【达标检测】1、填空： = x(_) （_） 2、把下列各式分解因式（1） (2) + (3) 6 (4) (5) (6) (7) (8)3、利用分解因式进行计算（1）1210.13+12.10.9-121.21 （2），其中r1=10, r2=8 r3=6, =3.14（3）已知：ab=7，a+b=6，求多项式a2b+ab2的值。【资源链接】1、分解下列因式：（1） (2) 【学习课题】 第20课时 提公因式法（2）【学习目标】能运用提公因式（多项式）法把多项式分解因式；【学习重点】能正确地运用提取公因式法分解因式【学习难点】能正确地找公因式，运用整体思想、参数思想提公因式【学习过程】学习准备：1、 找公因式的方法：当各项系数是整数时，各项系数的_数就是公因式的系数；公因式的字母应是各项都含有的字母，其指数取_。2、请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号，使等式成立。（1）= ； (2) ； (3) = (4) = (5) （）； (6) = 。总结：互为相反数的多项式的 次幂相等， 次幂互为相反数。3、 快速填写：（1） （2） （3） （4）（ ）解读教材：例1：把分解因式分析：本题可看作是 与 两项之和，其中可看作是a与 两因式之积，可看作是2、b与 三个因式之积，我们发现与都含有的因式是 ，即公因式为 。解： = ( + )即时练习：1、(1) 的公因式是 (2) 的公因式是 (3) 的公因式是 (4) 的公因式是 。挖掘教材 例2、分解因式：（1）(2)解：（1）= = （2）=-12 2=( )-= ( )。例3、把分解因式 原式=+=（+ ）4、把下列各式分解因式（1） ； （2）；（3） （4）（5） （6）（7） （ 8 ）反思小结：我们提取数字系数时应保证提取的是每项系数的最 ，在提取字母时应提取各项都含有的字母（或多项式）的最 的积；把一个多项式看成一个因式时，如果形式不相同，应首先转化为 的形式，再提取；当多项式的某一项是公因式时，提出公因式后，不要忘了应在该项的位置上添“ ”。【达标检测】6、把下列各式分解因式（1） （2）（3） （4）（5） （6）- （7） （8）【资源链接】7、分解因式8、当n为正整数时，能被4整除吗？请说明道理。八年级下册 第二章 分解因式，平安中学，审核人：林桂英【学习课题】 第21课时 用平方差公式分解因式【学习目标】理解平方差公式的特点和意义，会用平方差公式分解因式。【学习重点】会用平方差公式分解因式【学习难点】综合运用提公因式法与平方差公式分解因式【学习过程】学习准备:1、填空：( ( ( ( ( ( 2、分解因式的概念： 3、平方差公式： 解读教材4、请将平方差公式的左右两边反过来，得到的式子是： 文字语言叙述为： ；其中、可以表示数、单项式和多项式。5、例1 分解因式： 分析： 解：原式即时练习：判断题 ( ) ( ) ( ) ( )小结：由此可见两项式能用平方差的特点是：两项，平方，异号。挖掘教材由于和都是整体运算，应主动添加括号7、例2 分解因式： 解:原式= =有同类项应先合并=不能分解才合适 =结果只含小括号 =即时练习：分解下列各因式 反思小结:如果多项式各项有公因式，一定要先 ，然后在考虑用哪个公式。其方法、步骤及结果检查可总结成以下口诀：首先提取 ，然后考虑用 ，两种方法反复试，提净、分完连乘式，也可简单总结为四个字：先提、彻底。 平方差公式的符号特点是 ； 分解因式必须进行到每一个多项式不能 。【达标检测】1、把下列各式分解因式 【资源链接】1、分解因式：2、分解因式：【学习课题】 第22课时 运用完全平方公式分解因式【学习目标】1、会用完全平方公式分解因式；2、会选择适当方法分解因式。【学习重点】 会用完全平方公式分解因式【学习难点】 能判断多项式是不是完全平方式【学习设计】学习准备：1、填空 （1）= ； （2)= = ； （3)= = 解读教材3、请阅读教材P51，并填写以下空格：= + + = - +这是以前学过的公式，这两个公式叫 把上面两个乘法公式反过来就有：= = （左边是多项式，右边是乘积的形式）例1：分解因式解：=即时练习： 回忆常见完全平方系数组合：1，2，1；1，4，4； 1，6，9；1，8，16； 1，10，25；1，1，；（1） （2） = =+ + = =（3)= -2 + =挖掘教材分解因式时若多项式有公因式，要先提公因式，然后再看能否用公式法分解，有时还要注意符号问题。例2把下列多项式分解因式：（1) （2) （3)（4） （5)解：（1） =+ 2 + = （2) = 2 + 2 ( ) + ( ）2 = （3）= += （4） =3a( )= （5) = -( ) = = = 即时练习：P52，随堂练习。反思小结：（1）用完全平方公式分解因式时，各公式中的字母既可以表示数，也可以表示 式或 式。在运用公式法进行多项式的分解因式时，要根据其特点进行公式的选择，若多项式为三项式，应考虑用 公式。完全平方公式特征：左边是三项式，其中两项为平方式且同号。另一项为底数积的2倍。【达标检测】 1、 把下列各式分解因式（1） （2) （3) （4) （5) （6)（7) （8）【资源链接】1、若是一个完全平方式，求k的值。【学习课题】 第23课时 运用公式法分解因式【学习目标】1、会运用平方差或完全平方公式分解因式；2、进一步掌握分解因式的步骤和方法。【学习重点】会运用公式分解因式【学习难点】灵活运用公式分解因式【学习过程】学习准备：1、填口诀：首先 ，然后考虑 ，几种方法反复试，不能再分才合适，结果必是 2、填空：= ； = ； = 。2、 上述公式中的a、b可以是 专题训练 例： 请选用适当方法分解下列因式：（1） （2）（3） （4） 反思提炼知 识 要 点具 备 的 条 件注 意 问 题运用平方差公式分解因式（1）式子可分为两个部分；（2）这两部分可写成整式（或数）的平方形式；（3）两部分符号必须相反。公式中的字母不仅可以表示数，而且可以表示单项式和多项式。运用完全平方公式分解因式（1）判断多项式是否为完全平方式；（2）判断中间一项是哪两个数积的2倍；（3）看清中间一项的符号，写出分解因式的结果。解 题 方 法 总 结（1）能提公因式的应先提公因式；（2）能运用公式的再运用平方差、完全平方公式将多项式分解到底。【达标检测】 把下列各式分解因式：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； ； （6）； （7） ； （8）。【资源链接】 由于 =，=，所以将两个式子反过来，就可以得到： = ， =， 我们把这两个式子叫做立方和公式和立方差公式。比如，要分解 这个多项式，就可以把 1看成b，所以 =。试一试：把下列各式分解因式（1） （2） 【学习课题】 第24课时 分组分解法（二二型）【学习目标】了解二二型分组分解法分解因式的方法【学习重点】分组后能运用提公因式法或平方差公式分解因式【学习难点】对一个多项式进行适当分组，达到分解因式的目的。【学习过程】1、学习准备 分解因式： 2、阅读理解 请看下面的式子：，这个多项式共有四项，各项没有公因式，但这个多项式的前两项含有公因式，后项也含有公因式，我们可以把原多项式分成两组，即第一项与第二项一组，第三项与第四项一组，然后每组都可以提公因式，那么第一组变形为，第二组变形为，再看他们又都含有因式，再提公因式就完成可这个多项式的因式分解了。像这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。试一试：还可以怎么分组？恰当分组，出现新的公因式3、典例示范 把多项式分解因式解：提公因式 想一想:此题还有其它解法吗？若有,请写出解题过程。 = = =小结：1、以上两题的共同特征：4项；：二、二分组出现了公因式。 2、在分组时，一定要考虑分组后可以继续分解因式。即时练习 把下列各式分解因式： （1） （2） （3） （4）4、例2、分解因式。有4项，考虑分组，前两项组合有公因式，后两项组合有公因式解： 两项出现公因式 即时练习： 5、反思小结：当一个多项式有四项时，考虑分组分解法，在分组时要注意下一步可提公因式或公式进行，才能保证因式分解顺利进行。【达标测评】把下列各式分解因式：（1） （2）（3） （4）（5） （6）【课外练习】把下列各式分解因式：八年级下册 第二章 分解因式，平安中学，审核人：林桂英【学习课题】 第25课时 分组分解法（三一型）【学习目标】了解三一型分组分解法分解因式的方法【学习重点】分组后能运用公式法分解因式【学习难点】对一个多项式进行适当分组，达到分解因式的目的。 【学习过程】1、学习准备 把下列各式分解因式。 此题四项，不能用学过的方法考虑分组，三一组合2、阅读理解 观察下面的式子：这个多项式有四项，各项没有公因式，也不符合前面学过的公式，因此不能用提公因式和公式法分解了，只能考虑分组分解法。若分成两项与两项一组，无法继续进行分解，所以考虑将第一、二、三项结合，用完全平方公式写成，再与后面的项结合，就可以继续分解。例1、分解因式：前三项结合后是完全平方公式解：原式出现平方差特征即时练习：分解因式：你能快速找到哪三项为一组吗？ 反思小结：当一个多项式超过三项时，又不能用提公因式的方法分解因式时，我们通常考虑分组分解法，分组要合理，要保证下一步能顺利进行，即可以再提公因式或用公式法分解。此题有5项，考虑分组，一三五结合，二四结合例2分解因式结合后前面是完全平方公式，后面有公因式解：各项有公因式即时练习 六项无公因式，三三分组例3、分解因式：两个完全平方式解：符合平方差公式即时练习：【达标测评】1、把下列各式分解因式。 【课外练习】1、用恰当的方法分组分解因式。 2、把分解因式，并求当，时的值。3已知，求的值。八年级下册 第二章 分解因式 平安中学 审核人：林桂英【学习课题】 第26课时 十字相乘法（一）【学习目标】会用十字相乘法分解二次项系数为1的二次三项式。 【学习重点】会用十字相乘法分解二次项系数为1，且常数项为正数的二次三项式。【学习难点】正确分解常数项。【学习过程】33阅读理解：我们知道，还可以这样算： 同理：因此：则（ ）（ ）。小结：像这样借助画十字交叉线分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。典例示范1、例 把多项式分解因式；解：，6=2+4 通过观察分析：我们明白了：用十字相乘法分解因式应知道： 分解对象是二次三项式。 如上例：，试一试，哪组能交叉相乘后又相加得？ 试成功后分解结果应横着写。2、我想试一试，把分解因式。-4-2 （ ）（ ） 即时练习：把下列各式分解因式（1） （2）（3）= （4）= （5） （6） 小结：形如中的常数为正数时，分成的两个因数和的符号，并且它们与一次项系数。3、当常数项是负数时怎么办呢？（） （） （）（）例：把分解因式。 = 试一试：把下列各式分解因式。（1）（2）（3）（4）小结：当中常数项为负数时，所分的两个因数的符号要相，这两个因数的代数和一定要等于一次项系数。即时练习：把下列各式分解因式。 【达标测评】1、把下列各式分解因式。（比一比，看谁算得又快又准） 【资源链接】分解下列各因式： 八年级下册 第二章 分解因式，平安中学，审核人：林桂英【学习课题】 第27课时 十字相乘法（二）【学习目标】会用十字相乘法分解二次项系数不为1的二次三项式。 【学习重点】会用十字相乘法分解二次项系数不为1的二次三项式。【学习难点】正确分解二次项系数和常数项。【学习过程】阅读理解：象，二次项系数不为1，应该怎样分解呢？2 5 例1、 把分解因式。2 5 也可以 -1 5 -1 5 例2、 把分解因式。也可以： 一般地，在中，若有 则有：仿例试一试，比一比，看谁学得又快又好。 分解因式： （ ）（ ）。 （ ）（ ）1、把下列各式分解因式。 反思小结： 用十字相乘法分解形如的二次三项式一定要注意条件。 当二次三项式的二次项系数不为1时，分解可能结果较多，要全面考虑，并注意分析各种分解中数字间的关系，不断总结规律，才能做到“快”而“准”。【达标测评】 将下列各式分解因式。 【资源链接】已知都是整数，且是2的倍数，试说明能被整除。【学习课题】 第28课时分解因式复习【学习目标】掌握分解因式的意义，熟练运用提公因式、公式法、分组分解法和十字相乘法进行因式分解。【学习重点】掌握分解因式的意义，熟练运用提公因式、公式法、分组分解法和十字相乘法进行因式分解。【学习难点】灵活运用公式法、分组分解法和十字相乘法进行因式分解。学习准备：回忆并归纳本单元的知识体系和因式分解的常规思路。1、知识结构：（请同学们填写以下空格） 因式分解因式分解的常用方法定义积的形式每个因式都必须是整式提公因式分组分解法十字相乘法运用公式法平方差公式 完全平方公式公式 立方和（差）公式 2.即时练习： 说出下列各式由左到右的变形是否是因式分解，为什么？ a29=（a3）（a3）； （ ） xy=x（1）； （ ） x（mn）=mxnx （ ） x294x=（x3）（x3）4x （ ） a2_3a-ab+3b =(a-3)(a-b) （ ） 4a2-b2+2b-1 =(a+b)(a-b-1) （ ） x2-3x-4=(x-4)(x-1) （ ） 典例示范例题1 把下列各式分解因式 a2b5ab； a（x3）2b（x3）；5（xy）310（yx）；（mn）2 6（mn）9 ；（a2 4）216a2.例题2 已 知：xy=2，xy=1， 求：x2y2的值 已知：a-b=3, b