第4、5章数量和位置的变化、一次函数.doc

初二数学知识要点 第四章、第五章 位置的变化、一次函数一、 变量与函数1 变量的定义：在某一个变化过程中，会发生改变的量，就叫做变量。例如：某一辆汽车的速度是每小时30千米，问：汽车所行驶的路程s与时间t之间的关系是什么？ 答：s=30t，这里的s和t，就是变量。2 常量的定义：在某一个变化过程中，不会发生改变的量，就叫做常量。例如：在上面的s=30t中，30就叫做常量。3 函数的定义：在某一个变化过程中，有两个变量，如=2+1，对于的每一个值， 都有惟一的值与的值对应，那么我们就说：是自变量，是因变量，即：是函数。4 自变量的取值范围的求法：自变量的取值范围首先使函数式本身有意义。 如果是具体的实际问题，自变量还要使实际问题有意义。5 函数值的定义：把自变量的值代入函数式中，通过计算求出的函数的值，就叫 做该函数的函数值。说明：函数值会随着自变量的值的变化而变化。由自变量的值，可求出函数的值；反过来，由函数的值，也可求出自变量的值。6 函数的表示法：列表法；图象法；解析法。二、 直角坐标系1 直角坐标系的定义：由两条互相垂直的数轴，所组成的图形就叫做直角坐标系。2 坐标轴的定义：两条互相垂直的数轴，就叫做坐标轴。水平的数轴叫做横轴，或轴； 铅直的数轴叫做纵轴，或轴；横轴与纵轴的交点O叫做坐标原点。P（3，2）x0y323 在坐标系中标出一个点，怎样确定这个点的坐标呢？答：从这一点P开始向轴作垂线，看所对准的刻度是多少，作为横坐标；再从这一点P开始向轴作垂线，看所对准的刻度是多少，作为纵坐标；然后把“横坐标”写在“纵坐标”的前面，中间用逗号隔开，并且用小括号括起来。例如：右图中：点P的坐标是（3，2）4 直角坐标系中的点都可以用一对有序实数来表示。即：坐标系中的点与有序实数对 是一一对应的。第二象限 第一象限第三象限 第四象限5 象限的定义：两条互相的数轴把坐标系分成了四个部分，每一个部分都叫做象限。如图所示：0 说明：轴和轴上的点不属于任何一个象限。6 各象限中的点的坐标的符号特征：点所在象限横坐标纵坐标点的坐标特征第一象限两个坐标都是正的第二象限前负，后正第三象限两个坐标都是负的第四象限+前正，后负设点P的坐标为（，b），若点P在第一象限，则0，b0； 若点P在第二象限，则0，b0；若点P在第三象限，则0，b0； 若点P在第四象限，则0，b0。7 两个坐标轴上的点的坐标的特征：点所在的坐标轴所在位置横坐标纵坐标点的坐标特征在轴上在正半轴上0纵坐标为0在负半轴上0在轴上在正半轴上0横坐标为0在负半轴上08 点P（，b）在两个坐标轴的夹角的平分线上的坐标特征： 若点P（，b）在第一象限的角的平分线上，则=b，且0，b0； 若点P（，b）在第二象限的角的平分线上，则+0或= b，且0，b0； 若点P（，b）在第三象限的角的平分线上，则=，且0，b0； 若点P（，b）在第四象限的角的平分线上，则+0或= b，且0，b0。9 坐标系中对称点的坐标的求法： 口诀：关于轴对称变，关于轴对称变，关于原点对称都要变。三、 函数的图象1 任何一个函数都可以用图象来表示。2 已知一个函数，画出图象的一般步骤是： 列表，写出和的对应值； 描点：把和的值，作为一个点的坐标，在坐标系中把这些点描出来； 连线：把这些点用很平滑的曲线连接起来。即：画函数图象的一般步骤是：列表，描点，连线。3 在函数图象中，可以根据横坐标的值，求出纵坐标的值；也可以根据纵坐标的值，求出横坐标的值。四、 正比例函数1 正比例函数的定义：像（0）形式的函数，叫做正比例函数。说明：正比例函数是一个数与字母相乘；的系数可以是正数，也可以是负数，但不可以是零，即0；正比例函数中的指数是一次方。2 正比例函数的关系式：（0）, 即：的系数不等于0，的指数为1。3 正比例函数关系式的求法：步骤：设这个正比例函数的解析式为；把题目中的和的一对数值，或一个点的坐标，进行代入，求出的值；把求出的的值，代入到所设的解析式中，写出正比例函数的关系式。4 正比例函数的图象是一条经过原点的直线。5 正比例函数图象的新画法：由于正比例函数的图象是一条直线，又因为两点可以确定一条直线，所以只要在正比例函数的关系式上选取两个点的坐标，通常选取（0，0）和（1，k），在坐标系中描出这两点，再连接起来，就是这个正比例函数的图象。6 正比例函数的图象和性质：（1） 当0时，直线经过第一、三象限；直线从左到右处于上升的趋势；随着的增大而增大。（2） 当0时，直线经过第二、四象限；直线从左到右处于下降的趋势；随着的增大而减小。（3）用图象表示：正比例函数关系式yy图 象（k0）xok0xok0经过的象限一、三二、四增 减 性随的增大而增大随的增大而减少五、一次函数1 一次函数的定义：像的函数，这里0，那么就叫做的一次函数。说明：这里的可以为正数，也可以为负数，但0；这里的可以为一切实数，当=0时，这个函数就成为，这时就叫做的正比例函数；正比例函数是一次函数的特殊形式。2一次函数的关系式：，这里，可为一切实数。 即：的系数不等于0，即， 的指数为1，的值没有条件限制。3一次函数的关系式的求法：步骤：设一次函数的关系式为；把题目中的和的两对数值，或两个点的坐标，分别代入中，可得到关于 和的二元一次方程组；解这个二元一次方程组，求出 和的值；把 和的值代入中，便可得到一次函数的关系式。4一次函数的图象：是一条直线。说明：当0时，直线不经过原点； 当=0时，直线经过原点。5一次函数的图象新画法：由于一次函数的图象是一条直线，又因为两点确定一条直线，所以只要在一次函数的关系式上选取两个点的坐标，通常选取（0，）和（1，+），在坐标系中描出这两点，再连接起来，就是这个一次函数的图象。6 一次函数的图象及其性质： 0，直线经过一、二、三象限（1）当0时 随着的增大而增大0，直线经过一、三、四象限 0，直线经过一、二、四象限（2）当0时 随着的增大而减小0，直线经过二、三、四象限（3）用图象表示：一次函数关系式图 象（k0）obyxobxxyobyk0, b0k0, b0yk0, b0k0, b0oxb经过的象限一、二、三一、三、四一、二、四二、三、四增 减 性随的增大而增大随的增大而减少说明： 的值决定直线与轴的倾斜程度；即：当0时，直线经过第一、三象限； 当0时，直线经过第二、四象限。 的值决定直线与轴的交点情况；即：当0时，直线与轴的交点在原点的上方；当0时，直线与轴的交点在原点的下方；当=0时，一次函数就成为正比例函数，直线经过原点O（0，0）。7 怎样求一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标？（1） 求与轴的交点坐标：把=0代入一次函数的关系式中，求出的值；把求出的的值和=0，结合在一起，就是此交点坐标。（2） 求与轴的交点坐标：把=0代入一次函数的关系式中，求出的值；把=0和求出的的值，结合在一起，就是此交点坐标。8 怎样求两个不同函数图象的交点坐标：方法：把这两个函数的关系式组成二元一次方程组；解这个方程组，求出和 的值；把的值作为横坐标，的值作为纵坐标，就是这两个函数图象的交点坐标。说明：交点坐标，既适合第一个函数关系式，也适合第二个函数关系式。9 怎样比较两个一次函数的图象之间的位置关系：（1） 当这两条直线平行；即当两个一次函数中 的值一样，的值不一样时，这两条直线平行；（2） 当这两条直线