勾股定理同步练习(北师大版八年级上).doc

基础知识第五讲 勾股定理1、 勾股定理：直角三角形的两直角边a、b的平方和等于对斜边c的平方，即a+b=c即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 在直角三角形中，较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦” 勾股数： 为更好的解决直角三角形相关问题，我们应牢记一些常用的直角三角形三边长，通常叫做够股数。 例如：3,4,5（3k，4k，5k也为勾股数，k为正整数，如6,8,10；9,12,15） 5.，12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41等2、 勾股定理的逆定理：如果三角形三边长a、b、c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形3、 勾股定理揭示了三角形边角之间的互化关系：若a+b=c，则ABC是以C=90的直角三角形若ABC是以C=90的直角三角形，则ABC三边之间有如下关系：a+b=c4、 直角三角形的性质：（1） 两锐角互余（2） 斜边上的中线等于斜边的一半（3） 30角所对的直角边等于斜边的一半（4） 勾股定理易错题1、 在ABC中，A,B，C的对边分别为a，b，c，且(a+b)(a-b)=c，则（ ）A.A为直角 B.C为直角 C.B为直角 D.不是直角三角形分析：因为常见的直角三角形表示时，一半将直角标注为C，因而有同学就习惯性的认为C就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误。该题中的条件应转化为a-b=c，即a=b+c，应根据这一公式进行判断(A)2、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ） A.1,2,3 B.3,4,5 C., , D. ,分析：概念不明确，混淆了勾股定理及其逆定理未能彻底区分勾股定理及其逆定理，判断直角三角形时，应将所给数据进行平方看是否满足a+b=c的形式，因为（）+（）+（），故选C3、在RtABC中，A=90，a=15，b=12，则第三边c的长为（ ） A.3 B.9 C. 3或9 D.以上都不是分析：分析清楚哪个为斜边，哪些是直角边。实际上，A=90，它所对的边是斜边，即斜边应为a，而不是c，故选B4、已知ABC中，AB=20,AC=15,BC边上的高为12，求ABC的面积分析：在一些球值问题中，有些题目没有给出图形，当画出符合题意的图形不唯一时，要注意分情况讨论，避免漏解。学生习惯了在三角形内作高，往往忽视了高在三角形外的情况。解：设AD是BC边上的高ABDC 由勾股定理得BD=AB-AD=256, CD=AC-AD=81 BD=16,CD=9(1) 若C为锐角，如图所示，则BC=BD+CD=25ABCDS=BCAD=150(2) 若C为钝角，如图所示，则BC=BD-CD=7S=BCAD=42即ABC得面积为150或42例题解析应用勾股定理简单计算【例1】 如图，BAC=90，DBC=90，AB=3,AC=4,BD=12,则CD= 分析：BAC=90，AB=3,AC=4 BC=AB+AC=5 DBC=90，【例2】 （2007泰安中考）如图，一游人有山脚A沿坡角为30的山坡AB行走600m，到达一个景点B,再由B沿山坡BC行走200m到达山顶C,若在山顶C处观测到景点B的俯角为45，则山高CD等于 （结果用根号表示）分析：如左图所示，过点B作BEAD,BFCD. AB=600m，A=30，DF=BE=AB=300m评注：由题意画出图形，并作出常用辅助线（垂线）是解题关键，是中考中的必考点。【例3】 （07芜湖中考）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都 是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm，B的边长为5cm，C的边长为5cm，则正方形D的边长为（ ）A.cm B.4cm C. D.3cm分析：设正方形D的边长为x。则与正方形A、B相邻的正方形边长为； 与正方形C、D相邻的正方形边长为 最大的正方形的边长为 x=cm评注：直接应用勾股定理，并运用多次试中考的易考点，此类型的题难度不大，但很有代表性【例4】 （07云南中考）小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图3），则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为 ；同上操作，若小华连续将图一的等腰直角三角形折叠n次后所得到的的等腰直角三角形（如图n+1）的一条腰长为 分析：图1的等腰三角形，腰长为1，斜边长为 图2中，第1次折叠后，腰长为 图3中，第2次折叠后，腰长为= 图4中，第3次折叠后，腰长为= 依此类推， 图n+1中，第n次折叠后，腰长为=评注：次题为规律探索性题，与例2类似，但好似难度要大，是中考中较典型的题目【例5】 （07安徽中考）如图，DE分别是ABC的边BC和AB上的点，ABD与ACD的周长相等，CAE与CBE的周长相等。设BC=a，AC=b，AB=c（1） 求AE和BD的长；（2） 若BAC=90，ABC的面积为S,求证：S=AEBD分析：（1）ABD与ACD的周长相等， BC=a，AC=b，AB=c， AB+BD=AC+CD= BD=-C=; 同理AE= (2)BAC=90 由（1）知AEBD=即S=AEBD评注：利用两三角形周长相等，等量代换可求得AE和BD的长。再利用勾股定理进行化简易得构造直角三角形利用勾股定理解几何计算题【例6】（07河南中考）如图，点P是AOB的角平分线上一点，过点P作PCOA交OB于点C.若AOB=60，OC=4,则点P到OA的距离PD等于 分析：过点P作PEOB,并交OB于点E. AOB=60，OP是AOB的角平分线 BOP=6=30 又PCOA PCB=AOB=60 OPC=30=BOP=BPC PC=OC=4,BC=PC=2 PB=评注：过P点作边的垂线，是常用辅助线作法，也是中考的必考点，请同学们牢记。【例7】如图，ABC是边长为2的正三角形，E是AB边的中点，延长BC至D,使CD=BC,连接ED,求ED的长。分析：连接AD,AC=CD ACD是等腰三角形，ADB=DAC ACB=ADB+DAC,而ACB=60， ADB=30 又B=60 BAD=90，则ABD是直角三角形 在RtEAD中， ED=评注：根据问题中的图形特征，添加适当的辅助线，巧妙构造直角三角形，往往能速度找到解题途径。例6与例7是同种类型【例8】某片绿地的形状如图所示，其中A=60，ABBC,ADCD,AB=200m，CD=100m，求AD、BC的长（精确到1m，=1.732）分析：延长AD、BC交于点E,在RtABE中，A=60 则E=30，由AB=200m，得AE=400m 从而BE= 在RtCDE中，E=30，CD=100m CE=200m 从而DE= AD=AE-DE=400-100227m BC=BE-CE=200-200146m利用勾股定理整体代入，设而不求【例9】直角三角形有一个直角边为11，另外两边也是自然数，那么它的周长为（ ） A.132 B.121 C.120 D.110分析：设另一直角边为a，斜边为c， 由勾股定理可知c-a=11，即(c+a)(c-a)=1111=1211 c+ac-a， c+a=121，c-a=1 从而周长为11+c+a=11+121=132，A评注：本题在得到关于a，c的烦恼过程后，不必求出a、c的值，只要知道c+a的值即可。【例10】在RtABC中，C=90，若a+b=5，c=4，则= 分析：依题意，得a+b=5 -，得2ab=9，ab=a+b=4或由得（a+b）-2ab=16把代入得5-2ab=16，ab=ab=评注：我们要求的是ab，不一定要分别求出a和b，只要通过方程组求出ab即可 解：a+b=5 b=5-a =ab=a（5-a）=（5a-a） 又4=a+（5-a） 5a-a= =（5a-a）= 这种解法也没有求出a，根据需要求出5a-a即可利用勾股定理及其逆定理证明【例11】如图，已知在四边形ABCD中，BCCD,ACD=ADC,求证：AB+AC分析：连接BD。BCCD BD= ACD=ADC AC=AD 在ABD中，由三角形两边之和大于第三边可知： AB+ADBD AB+AC【例12】（北京数学竞赛）在ABC中，AD是BC边上的中线，AB=,AD= AC=,求ABC分析：构造如上图所示的一个ABC,延长AD,使DE=AD,连接EC 易证得ABDECD CE=AB,AD=DE, AE+CE=(2)+()=26=AC AEC=90 CD= ABC=DCE=30评注：采用倍长中线法。由观察可知，(2)+()=26，又AD是BC边上的中线，故而可构造出一个直角三角形，然后再利用边角关系求ABC的度数。【例13】在ABC中，A=90，AB=AC,D为斜边上任一点，求证：BD+CD=2AD分析：将ABD绕点A逆时针旋转90，得ACD AD=AD,BD=CD,BAD=CAD A=90，AB=AC B=ACB=ACD=45，DAD=90 DCD=90 DD=2AD CD+CD=DD=2AD,即BD+CD=2AD评注：由等式左边可联想到勾股定理，要应用勾股定理需将这几条线段或者它们的等量线段凑到同一个三角形中，作上述辅助线，应用勾股定理可轻松得证。附加题1、 已知ABC是边长为1的等腰直角三角形，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD,再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE,，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 分析：由题意可得： 第一个等腰直角三角形ABC中， 斜边长AB=BC=1,AC= 第二个等腰直角三角形，ACD中， 斜边长AD= 第三个等腰直角三角形，ADE中， 斜边长AE= 依此类推， 第N个等腰直角三角形，斜边长尾2、 已知RtABC斜边AB的长为cm，两直角边的差为cm，求三角形的周长及斜边上的高分析：由条件可设c=，a-b=（ab） (a-b)+2ab=c ab=3 又c=(a+b)-2ab a+b= 从而三角形的周长为+=6cm 由三角形的面积公式可得ab=ABCD,解得CD=cm3、（97安徽省竞赛）如图，在等腰直角三角形ABC的斜边AB上取两点M,N，使MCN=45，记AM=m，MN=x，BN=n。试判断以x，m，n为边长的三角形的形状。分析：将AMC绕点C逆时针旋转90，则AMCBMC, 1=2，A=CBM,CM=CM,BM=m 结合已知 条件得2+3=45 MCN=NCM MCNMCN NM=x 又MBN=90 以x，m，n为边长的三角形是直角三角形课后练习1、（07杭州中考）如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45，则该高楼的高度大约为（ ） A.82m B.163m C.52m D.70m分析：设该高楼的高度AB约为x m ABC=90，ACB=45，ADB=30 BC=AB=x，AD=2X BC= CD=60= 解得x82m，故选A2、（07徐州中考）等腰三角形的顶角为120，腰长为2cm，则它的底边长为（ ） A. B. C.2cm D.2分析：过点A作ADBC BAC=120，AB=AC B=30，AD=1 BD=,BC=2BD=2.D3、（07中考）已知，如图：ABC是等腰直角三角形，ABC=90，AB=10,D为ABC外一点，连接AD,BD,过D作DHAB,垂足为H,交AC于E。若ABD是等边三角形，求DE的长。分析：ABD是等边三角形，AB=10 ADB=60，AD=AB=10 DHAB AH=AB=5 DH= ABC是等腰直角三角形 CAB=45 AEH=45 EH=AH=5 DE=DH-EH=4、在RtABC中，两直角边的和为3cm，此三角形的面积为1cm，求这个三角形的斜边长度分析：设直角边为a，b，斜边为c a+b=3 依题意得 ab=1 a+b=（a+b）-2ab c=a+b=5 c=5、 如图，在RtABC中，ACBC,D是AB的中点，E、F分别在AC和BC上。且DEDF,求证：EF=AE+BF分析：延长FD使DG=FD,连接EG,AG 易证得AGDBFD,EF=EG AG=BF,DAG=DBF ACBC, CAG=CAD+DAG=CAD+B=90 AEG是以EAG=90的直角三角形 EF=EG=AE+AG=AE+BF勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即， 整理得 .【证法2】（邹元治证明）以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. RtHAE RtEBF, AHE = BEF. AEH + AHE = 90, AEH + BEF = 90. HEF = 18090= 90. 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90.又 GHE = 90, DHA = 90+ 90= 180. ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于. . .【证法3】（赵爽证明）以a、b 为直角边（ba）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. RtDAH RtABE, HDA = EAB. HAD + HAD = 90， EAB + HAD = 90， ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. EF = FG =GH =HE = ba ,HEF = 90. EFGH是一个边长为ba的正方形，它的面积等于. . .【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. RtEAD RtCBE, ADE = BEC. AED + ADE = 90, AED + BEC = 90. DEC = 18090= 90. DEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又 DAE = 90, EBC = 90, ADBC. ABCD是一个直角梯形，它的面积等于. . .【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. D、E、F在一条直线上, 且RtGEF RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90， BEG =18090= 90.又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG是一个边长为c的正方形. ABC + CBE = 90. RtABC RtEBD, ABC = EBD. EBD + CBE = 90. 即 CBD= 90.又 BDE = 90，BCP = 90，BC = BD = a. BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则, .【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QPBC，交AC于点P. 过点B作BMPQ，垂足为M；再过点F作FNPQ，垂足为N. BCA = 90，QPBC， MPC = 90， BMPQ， BMP = 90， BCPM是一个矩形，即MBC = 90. QBM + MBA = QBA = 90，ABC + MBA = MBC = 90， QBM = ABC，又 BMP = 90，BCA = 90，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA.同理可证RtQNF RtAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CLDE，交AB于点M，交DE于点L. AF = AC，AB = AD，FAB = GAD， FAB GAD， FAB的面积等于，GAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半， 矩形ADLM的面积 =.同理可证，矩形MLEB的面积 =. 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ，即 .【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在RtABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CDAB，垂足是D. 在ADC和ACB中， ADC = ACB = 90，CAD = BAC， ADC ACB.ADAC = AC AB，即 .同理可证，CDB ACB，从而有 . ，即 .【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AFAC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BPAF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H. BAD = 90，PAC = 90， DAH = BAC.又 DHA = 90，BCA = 90，AD = AB = c， RtDHA RtBCA. DH = BC = a，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 RtAPB RtBCA. 即PB = CA = b，AP= a，从而PH = ba. RtDGT RtBCA ,RtDHA RtBCA. RtDGT RtDHA . DH = DG = a，GDT = HDA . 又 DGT = 90，DHF = 90，GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90， DGFH是一个边长为a的正方形. GF = FH = a . TFAF，TF = GTGF = ba . TFPB是一个直角梯形，上底TF=ba，下底BP= b，高FP=a +（ba）.用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为 = ， = . 把代入，得= = . .【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（ba），斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. TBE = ABH = 90， TBH = ABE.又 BTH = BEA = 90，BT = BE = b， RtHBT RtABE. HT = AE = a. GH = GTHT = ba.又 GHF + BHT = 90，DBC + BHT = TBH + BHT = 90， GHF = DBC. DB = EBED = ba，HGF = BDC = 90， RtHGF RtBDC. 即 .过Q作QMAG，垂足是M. 由BAQ = BEA = 90，可知 ABE= QAM，而AB = AQ = c，所以RtABE RtQAM . 又RtHBT RtABE. 所以RtHBT RtQAM . 即 . 由RtABE RtQAM，又得QM = AE = a，AQM = BAE. AQM + FQM = 90，BAE + CAR = 90，AQM = BAE， FQM = CAR.又 QMF = ARC = 90，QM = AR = a， RtQMF RtARC. 即. ，又 ， =，即 .【证法11】（利用切割线定理证明）在RtABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为BCA = 90，点C在B上，所以AC是B 的切线. 由切割线定理，得= ，即， .【证法12】（利用多列米定理证明）在RtABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A作ADCB，过点B作BDCA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有， AB = DC = c，AD = BC = a，AC = BD = b， ，即 ， .【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在RtABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 作RtABC的内切圆O，切点分别为D、E、F（如图），设O的半径为r. AE = AF，BF = BD，CD = CE， = = r + r = 2r,即 ， . ，即 ， ， ，又 = = = = ， ， ， ， .【证法14】（利用反证法证明）如图，在RtABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CDAB，垂足是D. 假设，即假设 ，则由=可知 ，或者 . 即 AD：ACAC：AB，或者 BD：BCBC：AB.在ADC和ACB中， A = A， 若 AD：ACAC：AB，则ADCACB.在CDB和ACB中， B = B， 若BD：BCBC：AB，则CDBACB.又 ACB = 90， ADC90，CDB90.这与作法CDAB矛盾. 所以，的假设不能成立. .【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 ；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 =. , .【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（ba），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（ba），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，则 AD = c. EM = EH + HM = b + a , ED = a， DM = EMED = a = b.又 CMD = 90，CM = a，AED = 90， AE = b， RtAED RtDMC. EAD = MDC，DC = AD = c. ADE + ADC+ MDC =180，ADE + MDC = ADE + EAD = 90， ADC = 90. 作ABDC，CBDA，则ABCD是一个边长为c的正方形. BAF + FAD = DAE + FAD = 90， BAF=DAE.连结FB，在ABF和ADE中， AB =AD = c，AE = AF = b，BAF=DAE， ABF ADE. AFB = AED = 90，BF = DE = a. 点B、F、G、H在一条直线上.在RtABF和RtBCG中， AB = BC = c，BF = CG = a， RtABF RtBCG. ， ， ， ， = .第一章 勾股定理参考例题例1如下图所示，ABC中，AB=15 cm，AC=24 cm，A=60，求BC的长.分析：ABC是一般三角形，若要求出BC的长，只能将BC置于一个直角三角形中.解：过点C作CDAB于点D在RtACD中，A=60ACD=9060=30AD=AC=12(cm)CD2=AC2AD2=242122=432，DB=ABAD=1512=3.在RtBCD中，BC2=DB2+CD2=32+432=441BC=21 cm.评注：本题不是直角三角形，而要解答它必须构造出直角三角形，用勾股定理来解.例2如下图，A、B两点都与平面镜相距4米，且A、B两点相距6米，一束光线由A射向平面镜反射之后恰巧经过B点.求B点到入射点的距离.分析：此题要用到勾股定理，全等三角形，轴对称及物理上的光的反射的知识.解：作出B点关于CD的对称点B，连结AB，交CD于点O，则O点就是光的入射点.因为BD=DB.所以BD=AC.BDO=OCA=90，B=CAO所以BDOACO(SSS)则OC=OD=AB=6=3米.连结OB，在RtODB中，OD2+BD2=OB2所以OB2=32+42=52，即OB=5(米).所以点B到入射点的距离为5米.评注：这是以光的反射为背景的一道综合题，涉及到许多几何知识，由此可见，数学是学习物理的基础.1.探索勾股定理（一）在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？测验评价等级： A B C ，我对测验结果（满意、一般、不满意）参考答案（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC=4，BC=3,S正方形ABED=S正方形FCGH4SRtABC=(3+4)2434=7224=25即AB2=25，又AC=4，BC=3，AC2+BC2=42+32=25AB2=AC2+BC2（2）如图（图见题干中图）S正方形ABED=S正方形KLCJ4SRtABC=(4+7)2447=12156=65=42+722.探索勾股定理（二）下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？图中（1）（2）的面积之和是多少？图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？测验评价等级：A B C，我对测验结果（满意、一般、不满意）参考答案图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a为边长的正方形，（2）是以b为边长的正方形，（3）的四条边长都是c，且每个角都是直角，所以（3）是以c为边长的正方形.图中（1）的面积为a2,(2)的面积为b2,(3)的面积为c2.图中（1）（2）面积之和为a2+b2.图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.因为图乙、图丙都是以a+b为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a+b)2减去四个RtABC的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.2.探索勾股定理（二）班级：_ 姓名：_1.填空题(1)某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取米.(2)有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距海里.(3)如图1：隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，若测得CA=50 m,CB=40 m，那么A、B两点间的距离是_.图12.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm和10 cm，求这个三角形的面积.3.在ABC中，C=90,AC=2.1 cm,BC=2.8 cm（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长.（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长.4.如图2：要修建一个育苗棚，棚高h=1.8 m,棚宽a=2.4 m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5.如图3，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.测验评价结果：_；对自己想说的一句话是：_.参考答案1.(1)2.5 (2)30 (3)30米2.如图：等边ABC中BC=12 cm，AB=AC=10 cm作ADBC，垂足为D，则D为BC中点，BD=CD=6 cm在RtABD中，AD2=AB2BD2=10262=64AD=8 cmSABD=BCAD=128=48(cm2)3.解：(1)ABC中，C=90，AC=2.1 cm，BC=2.8 cmAB2=AC2+BC2=2.12+2.82=12.25AB=3.5 cmSABC=ACBC=ABCDACBC=ABCDCD=1.68(cm)(2)在RtACD中，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2AD2=AC2CD2=2.121.682=(2.1+1.68)(2.11.68)=3.780.42=21.8920.21=2290.210.21AD=230.21=1.26(cm)BD=ABAD=3.51.26=2.24(cm)4.解：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为3 m,所以矩形塑料薄膜的面积是：312=36(m2)5.解：根据题意得：RtADERtAEFAFE=90,AF=10 cm,EF=DE设CE=x cm，则DE=EF=CDCE=8x在RtABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，BF=6 cmCF=BCBF=106=4(cm)在RtECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即(8x)2=x2+426416x+x2=x2+16x=3(cm),即CE=3 cm第17章 勾股定理点击一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2b2 = c2 即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点：（1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形；（2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错；（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长 即c2= a2b2，a2= c2b2，b2= c2a2点击二：学会用拼图法验证勾股定理拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理如，利用四个如图1所示的直角三角形三角形，拼出如图2所示的三个图形请读者证明abc（图1）（1）（2）（3）如上图示，在图（1）中，利用图1边长为a，b，c的四个直角三角形拼成的一个以c为边长的正方形，则图2（1）中的小正方形的边长为（ba），面积为（ba）2，四个直角三角形的面积为4ab = 2ab 由图（1）可知，大正方形的面积 =四个直角三角形的面积小正方形的的面积，即c2 =（ba）22ab，则a2b2 = c2问题得证请同学们自己证明图（2）、（3）点击三：在数轴上表示无理数将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点点击四：直角三角形边与面积的关系及应用直角三角形有许多属性，除边与边、边与角、角与角的关系外，边与面积也有内的联系.设、为直角三角形的两条直角边，为斜边，为面积，于是有：，所以.即.也就是说，直角三角形的面积等于两直角边和的平方与斜边平方差的四分之一.利用该公式来计算直角三角形的有关面积、周长、斜边上的高等问题，显得十分简便.点击五：熟练掌握勾股定理的各种表达形式如图2，在Rt中,0,A、B、C的对边分别为a、b、c,则c2=a2+b2, a2=c2-b2 , b2=c2-a2,点击六：勾股定理的应用（1）已知直角三角形的两条边，求第三边；（2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系；（3）用于推导线段平方关系的问题等（4）用勾股定理，在数轴上作出表示、的点，即作出长为的线段针对练习:1下列说法正确的是（）A若 a、b、c是ABC的三边，则a2b2c2 ABCB若 a、b、c是RtABC的三边，则a2b2c2C若 a、b、c是RtABC的三边，则a2b2c2D若 a、b、c是RtABC的三边，则a2b2c22一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A斜边长为25 B三角形周长为25 C斜边长为5 D三角形面积为203如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）A 0 B 1 C 2 D 34如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x210的立方根为（ ）A-10 B-10 C2 D-25把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ）A 2倍B 4倍C 6倍D 8倍6小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当它把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）A8cm B10cm C12cm D14cm7ABC中，AB15，AC13，高AD12，则ABC的周长为（） A42 B32 C42 或 32 D37 或 33abcl8如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为（）（）4（）6（）16（）559.已知直角三角形的周长为2，斜边上的中线为1，求它的面积.10.直角三角形的面积为120，斜边长为26，求它的周长.11.如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，AB=13cm，AC于BC之和等于17cm，求CD的长.类型之一：勾股定理例1：如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是 cm2解析：