12 椭圆的参数方程(教师版).doc

12. 椭圆的参数方程 主备： 审核： 学习目标：1. 了解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义； 2. 掌握椭圆的参数方程，并能解决一些简单的问题.学习重点：椭圆参数方程的应用，学习难点：椭圆参数方程中参数的意义.学习过程： 一、课前准备： 阅读教材的内容，理解椭圆的参数方程的推导过程，并复习以下问题： 1. 写出圆方程的标准式和对应的参数方程.（1）圆参数方程为：（为参数）；（2）圆参数方程为： （为参数）. 2.做一下类比：（1） ，你能否将他们联系起来？答：可以看出，所以可得圆的参数方程 . （2） ，你会有什么结论？答：可以看出，所以可得椭圆的参数方程 .二、新课导学： （一）新知：1.如图，以原点为圆心，分别以，（）为半径作两个圆，点是大圆半径与小圆的交点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，求当半径绕点旋转时点的轨迹参数方程.【分析】点的横坐标与点的横坐标相同，点的纵坐标与点的纵坐标相同. 而、的坐标可以通过引进参数建立联系，【解析】设，则，所以（为参数）. 即为点的轨迹参数方程. 消去参数得:即为点的轨迹普通方程.在椭圆的参数方程中，常数、分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.，称为离心角，规定参数的取值范围是. 2根据以上的解法，可求得椭圆（）的参数方程是：. 3.椭圆的参数方程中离心角的的几何意义是：是，不是.（二）典型例题【例1】把下列普通方程化为参数方程. （1） （2） 【解析】 （1）（为参数） （2）（为参数）动动手：1.把下列参数方程化为普通方程（1）（为参数）； （2）（为参数）.【解析】（1）； （2）.2.已知椭圆的参数方程为（为参数），则此椭圆的长轴长为，短轴长为，焦点坐标是，离心率是.【例2】已知、两点是椭圆与坐标轴正半轴的两个交点，在第一象限的椭圆弧上求一点，使四边形的面积最大.【解析】椭圆的参数方程是，设椭圆上的点，因为的面积一定，所以只需最大即可. 即求点到直线的距离的最大值，直线的方程为，即，所以当时，有最大值，面积最大，这时点的坐标是.动动手：动点在曲线上变化，求的最大值和最小值.【解析】曲线的参数方程为，设椭圆上的点，则，所以最大为，最小为.【例3】已知方程.（1）试证：不论如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线；（2）为何值时，该抛物线在直线上截得的弦最长？并求出此弦长.【解析】（1）把原方程化为，知抛物线的顶点为，设顶点坐标为，则有，它在椭圆上.（2）令，代入设得设上方程的两根为、，则，所以所以，当时，弦长最大为.三、总结提升：1.椭圆的参数方程对于解决与椭圆上的点有关的最值问题，有很大的优越性，具体表现在最大距离、最小距离、最大面积等；在求解过程中，将问题转化为三角函数的问题，利用三角函数求最值.2.椭圆参数方程中的参数的几何意义，一定要利用图形观察弄清楚.四、反馈练习： 1.椭圆（为参数）的焦点坐标是 （ C ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2.直线与椭圆的位置关系是 （ B ） A.相切 B. 相交不过焦点 C. 相交且过焦点 D. 相离 3. 上一点与定点之间距离的最小值是 （ A ）A. B. C. D. 4. 已知过曲线上一点与原点的连线的倾斜角为，则点坐标是 ( D )A. B. C. D. 5. 设椭圆的参数方程为，是椭圆上两点，、