大学物理教程第8章.pdf

257 习题习题 8 8 8 1 如图所示 金属圆环半径为 R 位于磁感应强度为B 的均匀磁场 中 圆环平面与磁场方向垂直 当圆环以恒定速度v 在环所在平面内 运动时 求环中的感应电动势及环上位于与运动方向垂直的直径两端 a b 间的电势差 解 1 由法拉第电磁感应定律 i d dt 考虑到圆环内的磁通量不变 所以 环中的感 应电动势0 i 2 利用 a ab b vBdl 有 22 ab BvRBvR 注 相同电动势的两个电源并联 并联后等效电源电动势不变 8 2 如图所示 长直导线中通有电流AI0 5 在与其相距cm5 0 d 处放有一矩形线圈 共 1000 匝 设线圈长cm0 4 l 宽cm0 2 a 不计线圈自感 若线圈以速度cm s0 3 v沿垂直于长导线的方向向右 运动 线圈中的感生电动势多大 解法一 利用法拉第电磁感应定律解决 首先用 0 l B dlI 求出电场分布 易得 0 2 I B r 则矩形线圈内的磁通量为 00 ln 22 x a x IIl xa ldr rx 由 i d N d t 有 0 11 2 i NIl dx xaxdt 当xd 时 有 0 4 1 92 10 2 i NIlav V da 解法二 利用动生电动势公式解决 由 0 l B dlI 求出电场分布 易得 0 2 I B r 考虑线圈框架的两个平行长直导线部分产生动生电动势 近端部分 11 NB lv 远端部分 22 NB lv 则 12 00 4 11 1 92 10 22 NINIalv lvV ddad da 258 8 3 如图所示 长直导线中通有电流强度为 I 的电流 长为 l 的金属棒 ab 与长直导线共面 且垂直于导线放置 其 a 端离导线为 d 并以速度v 平行于长直导线作匀速运动 求金属棒 中的感应电动势 并比较 Ua Ub的电势大小 解法一 利用动生电动势公式解决 dvBdl 0 2 I vdr r 0 2 d l d vI dr r 0 ln 2 vI dl d 由右手定则判定 Ua Ub 解法二 利用法拉第电磁感应定律解决 作辅助线 形成闭合回路 abb a 如图 S B dS 0 2 d l d I ydr r 0 ln 2 I y dl d d dt 00 lnln 22 IIv dl dydl ddtd 由右手定则判定 Ua Ub 8 4 电流为I的无限长直导线旁有一弧形导线 圆心角为 120 几何尺寸及位置如图所示 求当圆弧形导线以速度v 平行于长直 导线方向运动时 弧形导线中的动生电动势 解法一 用等效法 连接AO OB 圆弧形导线与AO OB 形成闭合回路 闭合回路的电动势为 0 所以圆弧形导线电动势与 AOB直导线的电动势相等 2 00 ln2 22 R AO R IvI v vBdldx x 5 00 2 2 5 ln 224 R OB R IvIv vBdldx x 0 5 ln 22 ABAOOB Iv 解法二 直接讨论圆弧切割磁感应线 从圆心处引一条半径线 与水平负向夹角为 那 么 000 22 2cos 2 2cos III B xRRR 再由 vB dl 有 sindB Rdv 2 0 3 0 sin 2 2cos I Rvd R 0 5 ln 22 Iv dr r b a y A O B A O B 259 8 5 有一长直螺线管 每米有 800 匝 在管内中心放置一绕有 30 圈的半径为 1cm 的圆形 小回路 在 1 100s 时间内 螺线管中产生 5A 的电流 问小回路中的感应电动势为多少 解 长直螺线管内部的磁场为 1101 InB 由题意 A s500 100 1 5 1 dt dI 穿过小回路的磁通量为 2122 SBN m 小回路中的感应电动势为 V1074 45001030800104 347 1 2210 dt dI SNn dt d m 8 6 电阻为R的闭合线圈折成半径分别为a和a2的两个圆 如图 所示 将其置于与两圆平面垂直的匀强磁场内 磁感应强度按 0sin BBt 的规律变化 已知cm10 a T102 2 0 B rad s50 10R 求线圈中感应电流的最大值 解 由于是一条导线折成的两个圆 所以 两圆的绕向相反 222 0 4 3cos i ddB aaa Bt dtdt 2 0 3cos i a Bt I RR A R Ba I 3 22 0 2 max 1042 9 10 501021 035 8 7 直导线中通以交流电 如图所示 置于磁导率为 的介质中 已知 0sin IIt 其中 0 I是大于零的常量 求 与其共面的 N 匝矩形回路中的感应电动势 解 首先用 0 l B dlI 求出电场分布 易得 0 2 I B x 则矩形线圈内的磁通量为 000 0 lnsinln 222 d a d IIlI l dada ldrt rdd 00 cosln 2 NI l dda Nt dtd 260 8 8 如图所示 半径为a的长直螺线管中 有0 d d t B 的磁场 一直导线弯成等腰梯形的闭 合回路ABCDA 总电阻为R 上底为a 下底为a2 求 1 AD段 BC段和闭合回 路中的感应电动势 2 B C两点间的电势差 CB UU 解 1 首先考虑OAD 2 133 224 OAD Saaa 2 3 4 OAD ddBdB Sa dtdtdt 感1 而 DA lAOODADDA EdlEdlEdlEdlEdl 涡涡涡涡涡感1 2 3 4 AD dB a dt 再考虑OBC 有效面积为 2 1 2 3 OAD Sa 扇 2 6 dB a d t 感2 同理可得 2 6 BC dB a d t 那么 梯形闭合回路的感应电动势为 2 3 64 BCAD dB a dt 逆时针方向 2 由图可知 ABCDa 所以 梯形各边每段a上有电阻 5 R r 回路中的电流 2 3 64 adB I RRdt 逆时针方向 那么 2 23 2 510 BCBCBC dB UUIrIRa dt 8 9 在长为 60cm 直径为 5 0cm 的空心纸筒上绕多少匝线圈才能得到自感为 3 6 0 10 H 的 线圈 解 设需绕 N 匝线圈 当通以电流 I 时 通过螺线管线圈的磁通量为 IS l N IS l N NNBS m 2 00 由自感的定义可得 S l N I L m 2 0 因此有 匝1209 025 0104 6 0106 2 1 27 3 2 1 0 S Ll N 8 10 一截面为长方形的螺绕环 其尺寸如图所示 共有 N 匝 求此螺绕环的自感 解 如果给螺绕环通电流 有环内磁感应强度 261 0 12 2 NI BRrR r 则 S B dS 有 2 1 02 0 1 ln 22 R R NIhR NI h dr rR 利用自感定义式 L I 有 L 2 02 1 ln 2 N hR R 8 11 一圆形线圈 A 由 50 匝细导线绕成 其面积为 4cm2 放在另一个匝数等于 100 匝 半 径为 20cm 的圆形线圈 B 的中心 两线圈同轴 设线圈 B 中的电流在线圈 A 所在处激发的 磁场可看作匀强磁场 求 1 两线圈的互感 2 当线圈 B 中的电流以 50A s 的变化率减小时 线圈 A 中的感生电动势的大小 解 设 B 中通有电流I 则在 A 处产生的磁感应强度为 00 2 2 42 BB B BB N IN I BR RR 1 A 中的磁通链为 0 2 AB AAAA B N N I N BSS R 则 0 2 ABA A BB N N S M IR 74 76 41050 100 4 10 20106 28 10 2 0 2 MH 2 0 64 6 28 10503 14 10 2 ABA A B N N S ddI V dtRdt 4 3 14 10 A V 8 12 一矩形线圈长 l 20cm 宽 b 10cm 由 100 匝表面绝缘的导线绕成 放置在一根长直 导线的旁边 并和直导线在同一平面内 该直导线是一个闭合回路的一部分 其余部分离线 圈很远 其影响可略去不计 求图 a b 两种情况下 线圈与长直导线间的互感 解 设直导线通以电流 I1 图 a 情况下 通过矩形线圈的磁通量为 2ln 22 10 2 2 10 22 lI Nldx x I N b b m 由互感的定义 线圈与长直导线间的互感为 H108 22ln 2 2 0104 1002ln 2 6 7 0 2 1 2 l N I M m 图 b 情况下 通过矩形线圈左右两半面积的磁通量相互抵消 总磁通量为 0 因此线圈与长 直导线间的互感也为 0 8 13 一个螺线管的自感为 10mH 通过线圈的电流为 4A 求它所储存的磁能 解 螺线管的磁能为 A B 262 J08 0410 2 1 2 1 222 LIWm 8 14 假定从地面到海拔 6 6 10 m 的范围内 地磁场为 4 0 5 10 T 试粗略计算在这区域 内地磁场的总磁能 解 磁场能量密度为 0 2 2 B wm 此区域内地磁场的总磁能为 J107104 6 64 6 3102 105 0 3 4 2 181833 7 82 33 0 2 eemm RhR B VwW 8 15 在一对巨大的圆形极板 电容 12 1 0 10F C 上 加上频率为 50Hz 峰值为 5 1 74 10 V 的交变电压 计算极板间位移电流的最大值 解 交变电压 tUU c o s 0 极板间位移电流为 tCU dt dU C dt dq Id sin 0 其最大值为 A1046 55021074 1102 5512 00max CUCUId 8 16 有一平板电容器 极板是半径为 R 的圆形板 现将两极板由中心处用长直引线接到一 远处的交变电源上 使两极板上的电荷量按规律 0sin qqt变化 略去极板边缘效应 试 求两极板间的位移电流强度 解 极板间的位移电流强度为 tq dt dq Id cos 0 8 17 已知电磁波在空气中的波速为m s100 3 8 试计算下列各种频率的电磁波在空气中 的波长 1 上海人民广播电台使用的一种频率kHz990 2 我国第一颗人造地球卫 星播放东方红乐曲使用的无线电波的频率MHz009 20 3 上海电视台八频道使用的 图像载波频率184 25MHz 解 由 c 有 1 8 1 3 3 10 303 990 10 m 2 8 2 6 3 10 14 99 20 009 10 m 3 8 3 6 3 10 1 63 184 25 10 m 8 18 真空中沿x正方向传播的平面余弦波 其磁场分 量的波长为 幅值为 0 H 在0 t时刻的波形如图所 示 1 写出磁场分量的波动表达式 2 写出电场分 量的波动表达式 并在图中画出0 t时刻的电场分量 波形 解 1 由图可知 H满足余弦波 设 263 0 2 cos HHtx 当0 t 0 x时 有 2 0 H H 1 cos 2 2 3 根据波形曲线可以判断出 2 3 00 2222 cos cos 33 z HHtxHctx 2 由EH 知 0 0 0 EHcH 00 22 cos 3 EcHctx 思考题思考题 8 8 8 1 图为用冲击电流计测量磁极间磁场的装置 小线圈与冲击电流计相接 线圈面积为A 匝数为N 电阻为R 其法向n 与该处磁场方向相同 将小线圈迅速取出磁场时 冲击电 流计测得感应电量为q 试求小线圈所在位置的磁感应强度 解 11dNBA qIdtdtdt RRdtRR Rq B NA 8 2 如图所示 圆形截面区域内存在着与截面相垂直的磁场 磁感应强度随时间变化 a 磁场区域外有一与圆形截面共面的矩形导体回路 abcd 以 ab 表示在导体 ab 段上产生 的感生电动势 I 表示回路中的感应电流 则 A 00 I ab B 00 I ab C 00 I ab D 00 I ab b 位于圆形区域直径上的导体棒 ab 通过导线 与阻值为 R 的电阻连接形成回路 以 ab 表示在 导体 ab 段上产生的感生电动势 I 表示回路中的 感应电流 则 A 00 I ab B 00 I ab C 00 I ab D 00 I ab 答 a 选 C b 选 D 8 3 在磁感应强度为B 的均匀磁场内 有一面积为S的矩形线框 线框回路的电阻为R 忽 略自感 线框绕其对称轴以匀角速度 旋转 如图所示 1 求在如图位置时线框所受的磁力矩为多大 2 为维持线框匀角速度转动 外力矩对线框每转一周需作的功为多少 答 1 由coscosBSBSt 而 1 sinIBSt RR 264 2 1 sin m pISBSt R 2 222 1 sinsin m MBptB St R 22 2 222 0 1 sin B S WMdB Sd RR 8 4 一平板电容器充电以后断开电源 然后缓慢拉开电容器两极板的间距 则拉开过程中 两极板间的位移电流为多大 若电容器两端始终维持恒定电压 则在缓慢拉开电容器两极板 间距的过程中两极板间有无位移电流 若有位移电流 则它的方向怎样 答 1 利用位移电流表达式 D dq I d t 由于平板电容器充电以后断开的电源