勾股定理(基础)经典例题讲义.doc

勾股定理（基础）【学习目标】1掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；2能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系 （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的（3）理解勾股定理的一些变式：， 要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形 图（1）中，所以 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形 图（2）中，所以方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形 ，所以要点三、勾股定理的作用1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2. 用于解决带有平方关系的证明问题；3 与勾股定理有关的面积计算；4勾股定理在实际生活中的应用【典型例题】类型一、勾股定理的直接应用1、在ABC中，C90，A、B、C的对边分别为、（1）若5，12，求；（2）若26，24，求【思路点拨】利用勾股定理来求未知边长【答案与解析】解：（1）因为ABC中，C90，5，12，所以所以13（2）因为ABC中，C90，26，24， 所以所以10【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式举一反三：【变式】在ABC中，C90，A、B、C的对边分别为、（1）已知6，10，求；（2）已知，32，求、【答案】解：（1） C90，6，10， ， 8（2）设， C90，32， 即解得8 ，类型二、与勾股定理有关的证明2、阅读下面的材料勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形由图1可以得到（a+b）2=4，整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2所以a2+b2=c2如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：由图2可以得到 ，整理，得 ，所以 【答案与解析】证明：S大正方形=c2，S大正方形=4S+S小正方形=4ab+（ba）2，c2=4ab+（ba）2，整理，得2ab+b22ab+a2=c2，c2=a2+b2故答案是：；2ab+b22ab+a2=c2；a2+b2=c2【总结升华】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形举一反三：【变式】如图，在ABC中，C90，D为BC边的中点，DEAB于E，则AE2-BE2等于（ ）AAC2BBD2CBC2DDE2【答案】连接AD构造直角三角形，得，选A类型三、与勾股定理有关的线段长3、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF3，则AB的长为（ ）A3 B4 C5 D6【答案】D；【解析】解：设AB，则AF， ABE折叠后的图形为AFE， ABEAFEBEEF，ECBCBE835，在RtEFC中，由勾股定理解得FC4，在RtABC中，解得【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解类型四、与勾股定理有关的面积计算4、如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A6 B5 C11 D16【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用，由b是正方形，可求ABCCDE由勾股定理可求b的面积=a的面积+c的面积【答案】D【解析】解：ACB+ECD=90，DEC+ECD=90，ACB=DEC，在ABC和CDE中，ABCCDEBC=DEb的面积为5+11=16，故选D【总结升华】此题巧妙的运用了勾股定理解决了面积问题，考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键举一反三：【变式】（2015东莞模拟）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S=4，S=9，S=8，S=10，则S=（）A.25 B.31 C.32 D.40【答案】解：如图，由题意得：AB2=S1+S2=13，AC2=S3+S4=18，BC2=AB2+AC2=31，S=BC2=31，故选B类型五、利用勾股定理解决实际问题5、一圆形饭盒，底面半径为8，高为12，若往里面放双筷子（精细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？【答案与解析】解：如图所示，因为饭盒底面半径为8，所以底面直径DC长为16则在RtBCD中，所以 ()答：筷子最长不超过20，可正好盖上盒盖【总结升华】本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离，其最大距离是以饭盒两底面的一对平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长举一反三