极限与导数.doc

高考数学专题汇编 （七） 极限与导数一、教学大纲和考试大纲对极限与导数的教学要求和考查要求8、极限考试内容数学归纳法. 数学归纳法的应用. 数列的极限. 函数的极限. 极限的四则运算. 函数的连续性.考试要求 (1)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题;(2)了解数列极限和函数极限的概念;(3)掌握极限四则运算法则，会求某些数列与函数的极限;(4)了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.9、导数 考试内容导数的概念. 导数的几何意义. 几种常见函数的导数. 两个函数和差积商的导数. 复合函数的导数. 基本导数公式. 利用导数研究函数的单调性与极值. 函数的最大值与最小值.考试要求(1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率)，掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导数函数的概念.(2)熟记基本导数公式(的导数);掌握两个函数的和、差、 积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.（3）理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.二、高考数学试题对极限与导数的考查特点综观全国各套高考数学试卷，出现在本专题中的考试热点有:函数的单调性与极值、最值，复合函数的导数，导数定义，求导数法则(特别是多项式求导、乘积函数求导、分式函数求导)，导数的几何意义(涉及曲线的切线问题)，函数连续的定义，极限四则运算法则，分式极限，数学归纳法.涉及到的函数类型有三次函数、四次函数、五次函数、分式函数、超越函数(与指数、对数函数有关)等.从以上可以看出，突出了重点知识重点考查的命题方向.何谓重点知识?凡是考试大纲上用掌握、理解、熟记、会求、能用等词语要求的知识点都应成为重点知识.比如掌握极限的四则运算法则，掌握函数在一点处的导数意义及导数的几何意义，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，熟记基本导数公式(的导数) ，理解可导函数的单调性与其导数的关系等都是重点知识.2BCAyx1O345612341、导数定义与极限例1、（北京卷理12）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 ； （用数字作答）2、导数与函数单调性、极值例2、（江苏卷14）对于总有0 成立，则= 3、导数的几何意义例3、（海南宁夏卷文21）设函数，曲线在点处的切线方程为（）求的解析式；（）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值4、函数连续与极限例4、（重庆卷理12）已知函数，点在处连续，则 .5、数列与数列极限例5、（安徽卷理14）在数列中， ，其中a，b为常数，则的值为 6、函数应用例6、（广东卷文17）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用）7、数学归纳法例7、（辽宁卷理21）在数列中,且成等差数列,成等比数列. 求及,由此猜测的通项公式,并证明你的结论;证明:.三、亮点扫锚从全国各套高考数学试卷的综合情况来看，考查导数与极限的主流方向正确，没有偏题和怪题，融入了新课程的理念，从数学知识、思想方法、数学能力出发，多层次、多角度、多视点地考查了学生的数学素养和学习潜能.总体趋势呈现出定义是主根、通法是主导、综合是主题、稳定是主流的亮点.并具有一定的探究性、开放性、综合性.1.定义是主根数学定义是数学基础知识的重要组成部分，是构建其他数学知识的源泉，故有定义为本之称.因此，考查重要的数学定义是高考的主流之一，在导数与极限专题中，主要考查了函数连续、导数、导数几何意义、函数极值等重要数学定义.例8(北京卷文17) 已知函数，且是奇函数（）求，的值；（）求函数的单调区间 2、通法是主导 注重通性通法的考查一直是近几年高考的主要导向，这已在高中数学教学中产生了良好的影响.因为考查通性通法有利于考查重点的主干知识和重要的数学思想方法，有利于强化考生对基础知识与基本方法的复习，所以提倡通性通法的考查是特别重要的高考趋势，正如考试大纲所说注重通性通法，淡化特殊技巧.因此在2008年高考的各套试卷中，都体现了这一指导思想，特别注重了数形结合、等价转化、分类讨论、函数与方程等通法，这给我们高考提供了参照物.例9(四川卷理22) 已知是函数的一个极值点。（）求；（）求函数的单调区间；（）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。3、综合是主题 高考要达到一定的知识覆盖面与难度系数，高考要选拔出不同层次的学生，必须体现试题的综合性，以知识点与方法的综合为出发点，即在知识与方法的交汇点设计高考题，以考查思维的层次性，真正选拔出有学习潜能的学生.(1)导数与不等式的综合.例10(天津卷理20) 已知函数，其中（）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；（）讨论函数的单调性；（）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围(2)极限与二项式定理的综合. 例11(湖北卷理8) 已知，若,则=( )A B C D(3)导数与数列的综合. 例12(福建卷理19) 参见数列专题例8(4)导数与函数性质的综合. 例13(湖南卷理21) 已知函数.(I)求函数 的单调区间;（）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.求的最大值. (5)导数与三角函数的综合. 例14(全国卷II理22) 设函数（）求的单调区间；（）如果对任何，都有，求的取值范围 4、稳定是主流 在近几年的高考数学试卷中，导数题型与极限题型呈现出较稳定趋势，变化很小.绝大多数试题都是求极值(包括最值)、研究函数单调性、证明不等式、不等式恒成立、曲线切线、图象交点、图象对称，求数列极限与函数极限(分式极限、根式极限)等题型，所涉及的方法有分类讨论、分离参数、数形结合、等价转化等方法，所涉及的函数有三次函数、分式函数、自然对数有关的超越函数、无理函数、三角函数等.例15(全国卷I理19) 已知函数，（）讨论函数的单调区间；（）设函数在区间内是减函数，求的取值范围四、复习建议由于本专题在高考中内容重要，常以一个大题、两个小题或一个小题的形式出现，占的分值较重，因此，需要扎扎实实地复习，做到吃透考纲、突出方法、强化练习，才能收到满意的效果.1、吃透考纲考纲是指导高考命题的权威纲领.因此，我们在复习中必须吃透考纲，才能增强复习的针对性和实效性.考纲要求:理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题;理解数列极限和函数极限的概念;掌握极限四则运算法则，会求某些数列与函数的极限，掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导数函数的概念;熟记基本导数公式(的导数);掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则;理解可导函数的单调性与其导数的关系.由此可以看出高考的重点是数学归纳法、极限四则运算法则、导数定义、导数几何意义、几种常见函数的导数、求导法则、函数单调性与导数.因此在极限与导数的复习中，依据考纲必须重点抓好以下几个考点的复习.(1)利用极限的四则运算法则求分式、无理式的数列极限与函数极限，特别要注意与等比数列、等差数列、函数连续相结合的相关极限问题.(2)切实加强函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义的复习.复习此内容时要回归课本，弄清楚函数在一点处的导数的定义细节和导数的几何意义的细节，特别是定义的产生背景，定义的数学表达式，导数几何意义生成过程等，扎扎实实地复习好这些细节.在高考数学北京卷理科第12题的解决中，需将转化为,然后轻松获解，其中的转化依据是导数定义.这说明在平时复习中一定要重视数学定义.真正领悟定义的本质.(3)重点复习好两个函数和、差、 积、商的求导法则与复合函数求导法则，并用这些法则熟练求一些函数的导数，特别是与有关的函数求导问题.(4)充分掌握可导函数的单调性与其导数的关系，可导函数的极值与其导数的关系.(5)灵活应用数学归纳法证明一些与自然数有关的命题，特别是在求数列的通项、证明不等式中有重要地位.比如高考数学安徽卷理科第21题、全国卷I理科第22题、天津卷理科第22题、浙江卷理科第22题、辽宁卷理科第21题等试题都是把数学归纳法作为考查重点的试题，而且难度较大.因此，我们在复习中应引导学生理解数学归纳法原理，并进行必要的训练，不断总结用数学归纳法证题的基本技巧.特别是在第二步证明中的常用方法:充分用好时的结论假设;与此同时注意联系其他方法，比如差比法、放缩法、构造法、函数法、分析法等往往能助数学归纳法一臂之力.2.突出方法 基本数学思想方法一直是高考数学试卷的主题.在本专题中常见的几种数学思想方法有以下几种.(1)数形结合.关于数形结合问题，在高考数学试卷中，主要有这几种题型(参看北京卷文理科第12题、江西卷文科第21题、海南宁夏卷文科第21题、四川卷理科第22题):给出导数图象，确定某一点的导数值;讨论图象交点个数;曲线的切线.(2)等价转化.只要结论比较复杂或者难以找到突破口的考题，一般都要进行等价转化.将其转化为较简单的问题再思考其解法，这就是变通策略，是训练思维能力的好题材，比如高考数学天津卷理科第20题、江苏卷理科第14题、安徽卷理科第20题、天津卷文科第21题等试题都是恒成立问题，将恒成立 问题等价转化为函数最值问题，充分突出了等价转化的思想方法.(3)分类讨论.因为导数问题在全国多套高考数学试卷中都有相当的难度，分类讨论的思想方法是考试的热点.比如高考数学江苏卷理科第14题，北京卷文、理科第17题，