解析几何经典例题.doc

_解析几何经典例题圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。一、椭圆定义的深层运用例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。图1解析：易知故在中，则点M的轨迹方程为。二、双曲线定义的深层运用例2. 如图2，为双曲线的两焦点，P为其上一动点，从的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。图2解析：不妨设P点在双曲线的右支上，延长F1M交PF2的延长线于N，则，即在故点M的轨迹方程为三、抛物线定义的深层运用例3. 如图3，AB为抛物线的一条弦，|AB|4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y1的最短距离。图3解析：易知抛物线的准线l：，作AA”l，BB”l，MM”l，垂足分别为A”、B”、M”则即M到直线的最短距离为2故M到直线y1的最短距离为。评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地，求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当（即通径长）时，才能用上述解法。四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用例4. 已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（ ）图4已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（ ）A. 圆 B. 椭圆C. 双曲线 D. 抛物线解析：如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|QP|，而|QM|OM|OQ|2|OQ|即|OQ|QP|2|OP|故Q的轨迹是以O（0，0）、P为焦点长轴长为2的椭圆。应选B。同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。五、椭圆与双曲线定义的综合运用例5. 如图5，已知三点A（7，0），B（7，0），C（2，12）。若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。图5解析：由椭圆定义知，|AP|AC|BP|BC|，即故P的轨迹为A（7，0）、B（7，0）为焦点实轴长为2的双曲线的一支，其方程为；经讨论知，无论A在双曲线的哪一支上总有|QA|QB|AC|BC|28|AB|14故点Q的轨迹为以A（7，0）、B（7，0）为焦点长轴长为28的椭圆，其方程为。练习1. 已知椭圆E的离心率为e，左、右焦点为F1、F2，抛物线C以为焦点，为其顶点，若P为两曲线的公共点，且，则e_。答案：2. 已知O：，一动抛物线过A（1，0）、B（1，0）两点，且以圆的切线为准线，求动抛物线的焦点F的轨迹方程。答案：圆锥曲线中的方法与运算1. (与名师对话第51练) 已知抛物线,点, 问是否存在过点的直线,使抛物线上存在不同的两点关于直线对称,如果存在, 求出直线的斜率的取值范围; 如果不存在,请说明理由.分析: 这是一个求变量(斜率)的取值范围问题, 我们必须给出与变量(斜率)相关的变量(根据题设寻找)的关系式(组), 显然,这个关系式(组)应由按题设揭示出的几何条件转换得到. 我们由题设揭示出的几何条件是: 抛物线上关于直线对称的不同的两点所在直线必须与抛物线有两个不同的交点,并且交点为端点的线段的中点在直线上. 相应得到一个不等式和一个等式组成的变量关系式(组). 解这个关于式组即可得变量的取值范围. 解: 设直线的方程为,若,则结论显然成立,即可取.若,则直线PQ的方程为, 由方程组 可得,. 直线PQ与抛物线有两个不同的交点, 即 . 设线段PQ的中点为G(), 则, , 点G()在直线上, =, 由 可得, , , () , 或.综上所述, 直线的斜率的取值范围为.2. (与名师对话第51练)已知直线过点(1,0),且与抛物线交于两点,为原点,点 在轴的右侧且满足:.（1）求点的轨迹C的方程;（2） 若曲线的切线的斜率为,满足:,点到轴的距离为,求的取值范围.分析：由可知，点的轨迹C就是弦AB的中点的轨迹.解(1) 显然直线的斜率存在,设为,则直线的方程为: ,由方程组消去整理得,设, , , 消去得点的轨迹C的轨迹方程为: . , 或, 点在轴的右侧, ,故点的轨迹C为抛物线上的一段弧.分析: 点到轴的距离为就是点的横坐标的绝对值.因为曲线的切线的斜率为,所以=,由知,由此可知,我们必须建立点的横坐标的绝对值关于的关系.解(2): 设, 则由可知,=, , , , , , 方法(一) , (), , .方法(二) , (), , , 且 .3. (与名师对话第51练) 已知抛物线的方程为 ,过点且倾斜角为(0)的直线交抛物线于两点,且.（1）求的值;（2）若点分所成的比为,求关于的函数关系式.分析: 要求的值,必须给出关于的方程.解(1): 设过点且倾斜角为(0)的直线的方程为.由方程组消去整理得, 则, , , . 分析: 由可知过点且倾斜角为(0)的直线为.先建立关于的函数关系式,再转换为关于的函数关系式. 解(2): 关于的函数关系式, , , 由(1)可知,由方程组可消去得,. 00）的一个焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴。证明：直线AC经过原点O。参考答案给出了如下的几何证法：证明：如图，DlNEXCOFYBA记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作ADl，D是垂足则 ADFE