广义黎曼积分和勒贝格积分的关系[1].pdf

广义黎曼积分和勒贝格积分的关系 王菊 成都纺织高等专科学校基础部 摘要 给出了不变号的函数的 R 积分和 L 积分的关系 同时给出了若 L 积分存在 则 R 积分也存在 关键词 勒贝格积分 广义积分 关系 中图法分类号 O174 对于正常的黎曼积分和勒贝格积分有如下的关系 定义在有限区间上的函数若R 可积 则 必L 可积 且积分值相等 1 但对于广义积分来说 该结论是否成立 本文就此问题加以讨论 以下的讨论 如不特别声明 我们总假设 f x 都是区间 a b 上几乎处处连续的函数 并 且对任意的 E 0 f x 在 a E b 上是有界的 R b af x dx 表示以 a 为瑕点的瑕积分 L a b f x dx 表示勒贝格积分 命题 1 设 f x 是 a b 上几乎处处连续函数 且 f x 在 a b 上不变号 则 R b af x dx A Z L a b f x dx A 证明 必要性 1 若 f x 0 x a b 由瑕积分的定义 取序列 En 使得满足 i a En En 1 E2 E1 E2 所以x E2 E1 时 f2 x f x 0 f1 x 0 由数学归纳法得 f1 x f2 x 又因为f x 在 a b 上是几乎处处连续的 所以f x 在 a b 上可测 于是由勒维定理 1 L a b f x dx lim n L a b f n x dx lim n L E n b f x dx lim n R b E nf x dx R b af x dx 2 若 f x 0 x a b 只需设 fn x f x 0 x E n b x a En 其余证明类似于 1 的证明 充分性 取序列 En 使得适合必要性证明中所满足的两个条件 令 收稿日期 1997 09 16 王菊 成都纺织高等专科学校 成都 610063 讲师 女 37 岁 第 24 卷第 1期 西南民族学院学报 自然科学版 Journal of Southwest Nationalities College Natural Science Edition Feb 1998 fn x f x 0 x E n b x a En 由勒维定理有 L a b f x dx lim n L a b f n x dx lim n L E n b f x dx 令 U u R b uf x dx 则 U u 是 a b 上的单调函数 事实上 U E1 R b E1f x dx U E2 R b E2f x dx R E 1 E2f x dx R b E1f x dx 当f x 0时 U E1 0 U E2 U E1 由数学归纳法 U u 是 a b 上的减函数 当f x 0 时 可得 U u 是 a b 上的增函数 所以有lim u a U u lim n U En 即lim u a R b uf x dx lim n R b E nf x dx 由定义 R b af x dx lim u a R b uf x dx limn R b E nf x dx lim n L E n b f x dx L a b f x dx A 以上讨论了对于不变号的函数广义R 积分和L 积分的关系 那么对 a b 上要变号的函数 f x 来讲 命题 1 就不再成立 例如 0 1 上的函数 f x 1 x sin 1 x R 1 0 1 x sin 1 x dx 存在 但 L 0 1 f x dx 不存在 广义积分和勒贝格积分的根本差别在于 对无界函数的 R 积分来 讲 条件可积推不出绝对可积 而无界函数的L 积分 条件可积和绝对可积是等价的 2 所以广 义 R 积分推不出 L 积分 反之以下命题成立 命题2 设f x 在 a b 上几乎处处连续 若 L a b f x dx 存在 则 R b af x dx 也存 在 证明 因 L a b f x dx 存在 则 L a b f x dx 存在 由命题 1 R b a f x dx L a b f x dx 所以 R b af x dx 存在 以上只就一个瑕点的情况加以讨论 对于 有限个瑕点的情况 由积分的有限可加性可 以转化为只含有一个瑕点的情况进行讨论 无穷限的广义积分 如 a f x dx a 0 根据定义对任意u 0 f x 在 a u 上可积 所以 f x 在 a u 上是有界的 令x 1 y 所以 u af x dx 1 u 1 af 1 y d 1 y 1 u 1 a 1 y 2f 1 y dy 1 a 1 u 1 y 2d 1 y dy 要讨论 R a f x dx 与 L a f x dx 之间的关系 只要讨论 R a f x dx lim u R u af x dx lim u R 1 a 1 u 1 y 2f 1 y dy R 1 a 0 1 y 2f 1 y dy 104西南民族学院学报 自然科学版 第 24 卷 即讨论 R 1 a 0 1 y 2f 1 y dy 与 L 0 1 a 1 y 2f 1 y dy 之间的关系 由于前面的讨论 只涉及函 数的符号问题 而 1 y 2f 1 y 与 f x 的符号是一致的 因此 这一类问题就转化为只有一个瑕点 的问题 参 考 文 献 1 郑准行 实变函数与