2018-2019版高中数学_第二章 证明不等式的基本方法 2.1 比较法课件 新人教a版选修4-5

一比较法 1 作差比较法 1 原理 a b 0 a b a b 0 a b a b 0 a b 2 步骤 作差 变形 确定符号 下结论 名师点拨作差比较时 为了判断差的符号 需要先对差式进行变形 这是证明的关键步骤 变形的常用方法有 因式分解 配方 分子 或分母 有理化等 2 作商比较法 2 步骤 作商 变形 确定商与1的大小关系 下结论 特别提醒作商比较时 需要注意a b的符号 当a b 0时 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 探究一 探究二 思维辨析 用作差比较法证明不等式 例1 已知正数a b c成等比数列 求证a2 b2 c2 a b c 2 分析 先由a b c成等比数列得出a b c满足的关系式 再利用作差法进行证明 证明 因为正数a b c成等比数列 所以b2 ac b 所以 a2 b2 c2 a b c 2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 2b2 2ab 2ac 2bc 4b2 2ab 2bc 探究一 探究二 思维辨析 反思感悟作差比较法证明不等式的技巧1 在作差比较法中 变形具有承上启下的作用 变形的目的在于判断差的符号 而不用考虑差能否化简或值是多少 2 变形所用的方法有配方 因式分解等 要具体情况具体分析 3 因式分解是常用的变形手段 为了便于判断差式的符号 常将差式变形为一个常数 或几个因式积的形式 当所得的差式是某字母的二次三项式时 常用判别式法判断符号 探究一 探究二 思维辨析 变式训练1若a b均为负数 求证a3 b3 a2b ab2 证明 a3 b3 a2b ab2 a3 a2b b3 ab2 a2 a b b2 a b a b 2 a b 因为a b均为负数 所以a b 0 a b 2 0 所以 a b 2 a b 0 故a3 b3 a2b ab2 探究一 探究二 思维辨析 用作商比较法证明不等式 例2 已知 求证cos2 cos sin 分析 当作差比较法不易证明时 可采用作商比较法证明 探究一 探究二 思维辨析 反思感悟作商比较法证明不等式的一般步骤1 作商 将不等式左右两边的式子进行作商 2 变形 化简商式到最简形式 3 判断 判断商与1的大小关系 4 得出结论 注意 不能忽视判断左右两边的式子的符号 探究一 探究二 思维辨析 探究一 探究二 思维辨析 误用作商比较法致错典例已知a 0 求证log a 1 a log a 2 a 1 探究一 探究二 思维辨析 正解当a 1时 因为log a 1 a 0 log a 2 a 1 log32 0 所以log a 1 a0 所以log a 1 a1时 因为log a 1 a 0 log a 2 a 1 0 所以log a 1 a log a 2 a 1 综上 不等式log a 1 a log a 2 a 1 成立 探究一 探究二 思维辨析 纠错心得用作商比较法证明不等式 要注意前提条件 即由0 否则可能会得出相反的结论 本题中没有论证log a 1 a 0 log a 2 a 1 0 所以证明是不严密的 探究一 探究二 思维辨析 变式训练已知a b 0 n N 求证 a b an bn 2 an 1 bn 1 证明 a b an bn 2 an 1 bn 1 an 1 abn anb bn 1 2an 1 2bn 1 an b a bn a b a b bn an 当a b 0时 a b 0 bn ana 0时 a b0 则 a b bn an 0时 a b 0 则 a b bn an 0 即 a b bn an 0 故 a b an bn 2 an 1 bn 1 1234 1 若P x2 y2 1 Q xy x y 则 A P QB P QC P QD P Q解析 因为2P 2Q 2x2 2y2 2 2xy 2x 2y x y 2 x 1 2 y 1 2 0 所以P Q 答案 B 1234 2 若a b 0 则ab ba与aa bb的大小关系是 A ab baaa bbD ab ba aa bb 答案 A 1234 3 已知a1 a2 0 1 M a1a2 N a1 a2 1 则M N的大小关系是 解析 M N a1a2 a1 a2