2018-2019学年八年级数学下册_第一部分 基础知识篇 第10课 菱形例题课件 （新版）浙教版

例1 如图 四边形ABCD的对角线AC BD互相垂直 则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是 A BA BCB AC BD互相平分C AC BDD AB CD 重点中学与你有约 解题技巧 四边形ABCD中 AC BD互相垂直 只要满足四边形ABCD是平行四边形即可 故选B AC BD互相平分 能推出四边形ABCD是平行四边形 例1 如图 四边形ABCD的对角线AC BD互相垂直 则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是 A BA BCB AC BD互相平分C AC BDD AB CD 举一反三 思路分析 根据菱形的判定定理以及定义即可判断 如图 下列条件能判定四边形ABCD为菱形的有 个 AB BC CD DA AC BD互相垂直平分 平行四边形ABCD且AC BD 平行四边形ABCD且AC BD A 1B 2C 3D 4 失误防范 菱形定义 一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 菱形判定 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 例2 菱形周长为20 一条对角线长为8 则菱形的面积为 A 20B 25C 24D 30 重点中学与你有约 解题技巧 如图 菱形周长为20 则边长AB 5 菱形对角线BD长为8 菱形对角线垂直且互相平分 BO 4 故选C 故AC 2AO 6 故菱形ABCD的面积S 6 8 24 例2 菱形周长为20 一条对角线长为8 则菱形的面积为 A 20B 25C 24D 30 举一反三 思路分析 因为周长是40 所以边长是10 根据对角线互相垂直平分得直角三角形 运用勾股定理求另一条对角线的长 最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算求解 已知菱形的周长为40cm 一条对角线长为16cm 则这个菱形的面积为 cm2 A 108B 114C 64D 96 失误防范 菱形的面积求法 1 利用底乘以相应底上的高 2 利用菱形的特殊性 菱形面积 两条对角线的乘积 具体用哪种方法要看已知条件来选择 例3 如图 在菱形ABCD BAD 80 AB的垂直平分线交对角线AC于点F 垂足为E 连接DF 则 CDF等于 A 50 B 60 C 70 D 80 重点中学与你有约 解题技巧 如图 连接BF 菱形ABCD中 BAD 80 FAB FAD 40 ADC 100 EF垂直平分AB AF BF 则 FAB FBA 40 AD AB DAF BAF AF AF ADF ABF ADF ABF 40 CDF ADC ADF 100 40 60 故选 B 举一反三 思路分析 作辅助线 构建全等三角形和直角三角形 先根据菱形的性质 菱形的每一条对角线平分一组对角 得 BAC 40 由线段垂直平分线的性质得AF BF 2 证明 DFC BFC 得 FDC FBC 60 DF BF 2 由30 角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理依次求出DG FG的长 如图 在菱形ABCD中 BAD 80 AB的垂直平分线交对角线AC于点F 垂足为E 且AF 2 则点F到边DC的距离为 A 1B C 2D 举一反三 失误防范 菱形的性质 菱形的四边相等 菱形的每一条对角线平分一组对角 垂直平分线上任意一点 到线段两端点的距离相等 例4 如图 在矩形ABCD中 AD 2AB 点M N分别在边AD BC上 连接BM DN 若四边形MBND是菱形 则等于 重点中学与你有约 解题技巧 设AM a AB b 则AD 2b BM MD 2b a在Rt ABM中 BM2 AB2 AM2 即 2b a 2 a2 b2得到则MD 2b a 故应选C 举一反三 思路分析 根据矩形的性质和菱形的性质得 ABE EBD DBC 30 AB BO 3 因为四边形BEDF是菱形 所以可求出BE AE 进而可求出BC的长 如图 在矩形ABCD中 边AB的长为3 点E F分别在AD BC上 连接BE DF EF BD 若四边形BEDF是菱形 且EF AE FC 则边BC的长为 举一反三 失误防范 矩形的性质 1 矩形的4个内角都是直角 2 矩形的对角线相等且互相平分 3 矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等 4 顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形 菱形的性质 1 菱形对边平行且相等 对角相等 邻角互补 2 菱形的四条边都相等 3 菱形的对角线互相垂直且平分 并且每条对角线平分一组对角 例5 如图 已知两个菱形ABCD与CEFG共顶点C 且点A C F在同一直线上 连接BE DG 1 在不添加辅助线时 写出其中的两对全等三角形 2 证明 BE DG 重点中学与你有约 解题技巧 1 ADC ABC GFC EFC GDC EBC 任意两对即可 2 四边形ABCD 四边形CEFG是菱形 DC BC CG CE DCA BCA GCF ECF DCG 180 DCA GCF BCE 180 BCA ECF DCG BCE GDC EBC BE DG 举一反三 如图 在菱形ABCD中 E为AD中点 EF AC交CB的延长线于F 求证 AB与EF互相平分 举一反三 思路分析 由菱形的性质可证AC BD 又已知EF AC 所以AG BG GE 0 5BD AD BC 可证四边形EDBF为平行四边形 可证GE GF 即证结论 答案 连接BD AF BE 在菱形ABCD中 AC BD EF AC EF BD 又ED FB 四边形EDBF是平行四边形 DE BF E为AD的中点 AE ED AE BF 又AE BF 四边形AEBF为平行四边形 即AB与EF互相平分 失误防范 菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形 具有平行四边形的所有性质 菱形是轴对称图形 对称轴有两条 是菱形两条对角线所在的直线 菱形的四条边都相等 菱形的两条对角线互相垂直 并且每一条对角线平分一组对角 例6 如图 在 ABC中 AD是BC边上的中线 E是AD的中点 过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F 连接CF 1 求证 AF DC 2 若AB AC 试判断四边形ADCF的形状 并证明你的结论 重点中学与你有约 解题技巧 1 证明 E是AD的中点 AE ED AF BC AFE DBE FAE BDE AFE DBE AF BD AD是BC边上的中线 DB DC AF DC 2 四边形ADCF是菱形 理由 由 1 知 AF DC AF CD 四边形ADCF是平行四边形 又 AB AC ABC是直角三角形 AD是BC边上的中线 AD 0 5BC DC 四边形ADCF是菱形 举一反三 如图 在 ABC中 点D E F分别是边AB BC CA的中点 1 求证 四边形DECF是平行四边形 2 若AC BC 则四边形DECF是什么特殊四边形 请说明理由 举一反三 思路分析 1 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边进行证明 2 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明 答案 1 证明 方法一 D E F分别是边AB BC CA的中点 DE AC DE 0 5AC CF 0 5AC DE CF DE CF 四边形DECF是平行四边形 方法二 D E F分别是边AB BC CA的中点 DE AC DF BC 四边形DECF是平行四边形 2 解 四边形DECF是菱形 理由 E F分别是边BC CA的中点 CE 0 5BC CF 0 5AC 又 AC BC CE CF 由 1 知 四边形DECF是平行四边形 四边形DECF是菱形 失误防范 菱形的判定 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四条边都相等的四边形是菱形 例7 矩形ABCD中 AB 4 AD 3 P Q是对角线BD上不重合的两点 点P关于直线AD AB的对称点分别是点E F 点Q关于直线BC CD的对称点分别是G H 若由点E F G H构成的四边形恰好为菱形 则PQ的长为 重点中学与你有约 解题技巧 由矩形ABCD中 AB 4 AD 3 可得对角线AC BD 5 依题意画出图形 如图所示 由轴对称性质可知 PAF PAE 2 PAB 2 PAD 2 PAB PAD 180 点A在菱形EFGH的边EF上 同理可知 点B C D均在菱形EFGH的边上 AE AP AF 点A为EF中点 同理可知 点C为GH中点 连接AC 交BD于点O 则有AF CG 且AF CG 四边形ACGF为平行四边形 解题技巧 FG AC 5 即菱形EFGH的边长等于矩形ABCD的对角线长 EF FG 5 AE AP AF AP 0 5EF 2 5 OA 0 5AC 2 5 AP AO 即 APO为等腰三角形 过点A作AN BD交BD于点N 则点N为OP的中点 由S ABD 0 5AB AD 0 5DB AN 可求得 AN 2 4 在Rt AON中 由勾股定理得 OP 2ON 1 4 同理可求得 OQ 1 4 PQ OP OQ 1 4 1 4 2 8 故答案为 2 8 举一反三 如图1 点P Q是矩形ABCD的对角线BD上不重合的两点 且BP DQ 点P关于直线AD AB的对称点分别是点E F 点Q关于直线BC CD的对称点分别是点G H 1 求证 BFP DHQ 2 以下说法正确的有 点E D H三点共线 EH FG 若AP BD 则四边形EFGH是矩形 若四边形EFGH是菱形 则BD 2AP 四边形EFGH不可能是正方形 3 如图2 以点E F G H为顶点的四边形恰好为菱形 且AB 8 AD 6 求PQ的长 直接写出答案 不必说明理由 举一反三 思路分析 1 根据对称的性质得到BP BF 由等腰三角形的性质得到 PBF 2 ABP 同理DQ DH HDB 2 CDB 然后根据全等三角形的判定定理即可得到结论 2 由对称的性质得到 EDA PDA 同理 PDC HDC 由四边形ABCD是矩形 得到 ADC 90 于是得到结论 根据全等三角形的性质得到 PBF HDQ 根据平行线的性质即可得到结论 通过全等三角形的性质得到 AFB APB 90 同理 DHG 90 于是得到四边形EFGH是矩形 连接AC 由对称的性质得AP AE AF 推出四边形ACHE是平行四边形 得到AC HE AC HE 等量代换得到结论 当 同时成立时 EFGH为正方形 于是得到 错误 3 作A作AM BD于点M 根据三角形的面积公式得到AM 4 8 由 2 知 AP 0 5BD 5 根据勾股定理得到PM 1 4 设AC与BD相交于点O 由等腰三角形的性质得到OP 2PM 2 8 即可得到结论 答案 1 点P F关于AB对称 BP BF PBF 2 ABP 同理DQ DH HDB 2 CDB BP DQ BF DH CD AB ABD CDB FBD HDB 在 BFP与 DHQ中 DH BF HDB FBD DQ BP BFP DHQ 举一反三 2 理由 P E关于AD对称 EDA PDA 同理 PDC HDC 四边形ABCD是矩形 ADC 90 EDH 180 点E D H三点共线 故 正确 由 1 证得 BFP DHQ PBF HDQ EH FG 故 正确 点P F关于AB对称 BP BF AP AF 在 ABP与 ABF中 AP AF AB AB BP BF ABP ABF AFB APB AP BD AFB 90 同理 DHG 90 EH FG HGF 90 四边形EFGH是矩形 故 正确 举一反三 如图1 连接AC 由对称的性质得AP AE AF A为EF的中点 同理C为HG的中点 四边形EFGH是菱形 AE CH AE CH 四边形ACHE是平行四边形 AC HE AC HE AC BD BD EF EF 2AP BD 2AP 故 正确 当 同时成立时 EFGH为正方形 故 错误 故答案为 3 AB 8 AD 6 BD 10 如图2 作A作AM BD于点M S ABD 0 5AD AB 0 5BD AM AM 4 8 由 2 知 AP 0 5BD 5 PM2 AP2 AM2 1 42 PM 1 4 设AC与BD相交于点O AO 0 5BD AP OAP为等腰三角形 M为OP中点 OP 2PM 2 8 BP DQ OQ OP 2 8 PQ 5 6 失误防范 1 几何综合题试题分析 几何综合题是中考试卷中常见的题型 大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题 它主要考查学生综合运用几何知识的能力 这类题往往图形较复杂 涉