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插值插值法是实用的数值方法，是函数逼近的重要方法。在生产和科学实验中，自变量x与因变量y的函数y = f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。如何根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=(x)，使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值。用简单函数y=(x)在点x处的值来估计未知函数y=f(x)在x点的值。寻找这样的函数(x)，办法是很多的。(x)可以是一个代数多项式，或是三角多项式，也可以是有理分式；(x)可以是任意光滑（任意阶导数连续）的函数或是分段函数。函数类的不同，自然地有不同的逼近效果。在许多应用中，通常要用一个解析函数（一、二元函数）来描述观测数据。根据测量数据的类型：1测量值是准确的，没有误差。2测量值与真实值有误差。这时对应地有两种处理观测数据方法：1插值或曲线拟合。2回归分析（假定数据测量是精确时，一般用插值法，否则用曲线拟合）。MATLAB中提供了众多的数据处理命令。有插值命令，有拟合命令，有查表命令。2.2.1 插值命令命令1 interp1功能 一维数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间计算内插值。它找出一元函数f(x)在中间点的数值。其中函数f(x)由所给数据决定。各个参量之间的关系示意图为图2-14。图2-14 数据点与插值点关系示意图格式 yi = interp1(x,Y,xi) %返回插值向量yi，每一元素对应于参量xi，同时由向量x与Y的内插值决定。参量x指定数据Y的点。若Y为一矩阵，则按Y的每列计算。yi是阶数为length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。注意，这个2是列。yi = interp1(Y,xi) %假定x=1:N，其中N为向量Y的长度，或者为矩阵Y的行数。yi = interp1(x,Y,xi,method) %用指定的算法计算插值：nearest：最近邻点插值，直接完成计算；linear：线性插值（缺省方式），直接完成计算；spline：三次样条函数插值。对于该方法，命令interp1调用函数spline、ppval、mkpp、umkpp。这些命令生成一系列用于分段多项式操作的函数。命令spline用它们执行三次样条函数插值；pchip：分段三次Hermite插值。对于该方法，命令interp1调用函数pchip，用于对向量x与y执行分段三次内插值。该方法保留单调性与数据的外形；cubic：与pchip操作相同；v5cubic：在MATLAB 5.0中的三次插值。对于超出x范围的xi的分量，使用方法nearest、linear、v5cubic的插值算法，相应地将返回NaN。对其他的方法，interp1将对超出的分量执行外插值算法。yi = interp1(x,Y,xi,method,extrap) %对于超出x范围的xi中的分量将执行特殊的外插值法extrap。yi = interp1(x,Y,xi,method,extrapval) %确定超出x范围的xi中的分量的外插值extrapval，其值通常取NaN或0。例2-31x = 0:10; y = x.*sin(x); xx = 0:.25:10; yy = interp1(x,y,xx); plot(x,y,kd,xx,yy)插值图形为图2-15。例2-32 year = 1900:10:2010; product = 75.995 91.972 105.711 123.203 131.669 150.697 179.323 203.212 226.505 249.633 256.344 267.893 ;p1995 = interp1(year,product,1995)x = 1900:1:2010;y = interp1(year,product,x,pchip);plot(year,product,o,x,y)插值结果为：p1995 = 252.9885插值图形为图2-16。 图2-15 一元函数插值图形 图2-16 离散数据的一维插值图命令2 interp2功能 二维数据内插值（表格查找）格式 ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI) %返回矩阵ZI，其元素包含对应于参量XI与YI（可以是向量、或同型矩阵）的元素，即Zi(i,j)Xi(i,j),yi(i,j)。用户可以输入行向量和列向量Xi与Yi，此时，输出向量Zi与矩阵meshgrid(xi,yi)是同型的。同时取决于由输入矩阵X、Y与Z确定的二维函数Z=f(X,Y)。参量X与Y必须是单调的，且相同的划分格式，就像由命令meshgrid生成的一样。若Xi与Yi中有在X与Y范围之外的点，则相应地返回nan（Not a Number）。ZI = interp2(Z,XI,YI) %缺省地，X=1:n、Y=1:m，其中m,n=size(Z)。再按第一种情形进行计算。ZI = interp2(Z,n) %作n次递归计算，在Z的每两个元素之间插入它们的二维插值，这样，Z的阶数将不断增加。interp2(Z)等价于interp2(z,1)。ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,method) %用指定的算法method计算二维插值：linear：双线性插值算法（缺省算法）；nearest：最临近插值；图2-17 二维插值图spline：三次样条插值；cubic：双三次插值。例2-33：X,Y = meshgrid(-3:.25:3);Z = peaks(X,Y);XI,YI = meshgrid(-3:.125:3);ZZ = interp2(X,Y,Z,XI,YI);surfl(X,Y,Z);hold on;surfl(XI,YI,ZZ+15)axis(-3 3 -3 3 -5 20);shading flathold off插值图形为图2-17。例2-34years = 1950:10:1990;service = 10:10:30;wage = 150.697 199.592 187.625 179.323 195.072 250.287 203.212 179.092 322.767 226.505 153.706 426.730 249.633 120.281 598.243;w = interp2(service,years,wage,15,1975)插值结果为：w =190.6288命令3 interp3功能 三维数据插值（查表）格式 VI = interp3(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI) %找出由参量X,Y,Z决定的三元函数V=V(X,Y,Z)在点（XI,YI,ZI）的值。参量XI,YI,ZI是同型阵列或向量。若向量参量XI,YI,ZI是不同长度，不同方向（行或列）的向量，这时输出参量VI与Y1,Y2,Y3为同型矩阵。其中Y1,Y2,Y3为用命令meshgrid(XI,YI,ZI)生成的同型阵列。若插值点(XI,YI,ZI)中有位于点(X,Y,Z)之外的点，则相应地返回特殊变量值NaN。VI = interp3(V,XI,YI,ZI) %缺省地，X=1:N，Y=1:M，Z=1:P，其中，M,N,P=size(V)，再按上面的情形计算。VI = interp3(V,n) %作n次递归计算，在V的每两个元素之间插入它们的三维插值。这样，V的阶数将不断增加。interp3(V)等价于interp3(V,1)。VI = interp3(,method) %用指定的算法method作插值计算： linear：线性插值（缺省算法）； cubic：三次插值； spline：三次样条插值； nearest：最邻近插值。说明 在所有的算法中，都要求X,Y,Z是单调且有相同的格点形式。当X,Y,Z是等距且单调时，用算法*linear，*cubic，*nearest，可得到快速插值。例2-35x,y,z,v = flow(20); xx,yy,zz = meshgrid(.1:.25:10, -3:.25:3, -3:.25:3);vv = interp3(x,y,z,v,xx,yy,zz); slice(xx,yy,zz,vv,6 9.5,1 2,-2 .2); shading interp;colormap cool插值图形为图2-18。图2-18 三维插值图命令4 interpft功能 用快速Fourier算法作一维插值格式 y = interpft(x,n) %返回包含周期函数x在重采样的n个等距的点的插值y。若length(x)=m，且x有采样间隔dx，则新的y的采样间隔dy=dx*m/n。注意的是必须nm。若x为一矩阵，则按x的列进行计算。返回的矩阵y有与x相同的列数，但有n行。y = interpft(x,n,dim) %沿着指定的方向dim进行计算命令5 griddata功能 数据格点格式 ZI = griddata(x,y,z,XI,YI) %用二元函数z=f(x,y)的曲面拟合有不规则的数据向量x,y,z。griddata将返回曲面z在点（XI,YI）处的插值。曲面总是经过这些数据点（x,y,z）的。输入参量（XI,YI）通常是规则的格点（像用命令meshgrid生成的一样）。XI可以是一行向量，这时XI指定一有常数列向量的矩阵。类似地，YI可以是一列向量，它指定一有常数行向量的矩阵。XI,YI,ZI = griddata(x,y,z,xi,yi) %返回的矩阵ZI含义同上，同时，返回的矩阵XI,YI是由行向量xi与列向量yi用命令meshgrid生成的。 = griddata(,method) %用指定的算法method计算： linear：基于三角形的线性插值（缺省算法）； cubic： 基于三角形的三次插值； nearest：最邻近插值法； v4：MATLAB 4中的griddata算法。命令6 spline功能 三次样条数据插值格式 yy = spline(x,y,xx) %对于给定的离散的测量数据x,y（称为断点），要寻找一个三项多项式，以逼近每对数据(x,y)点间的曲线。过两点和只能确定一条直线，而通过一点的三次多项式曲线有无穷多条。为使通过中间断点的三次多项式曲线具有唯一性，要增加两个条件（因为三次多项式有4个系数）：1三次多项式在点处有： ；2三次多项式在点处有：；3p(x)在点处的斜率是连续的（为了使三次多项式具有良好的解析性，加上的条件）；4p(x)在点处的曲率是连续的；对于第一个和最后一个多项式，人为地规定如下条件： 上述两个条件称为非结点(not-a-knot)条件。综合上述内容，可知对数据拟合的三次样条函数p(x)是一个分段的三次多项式： ，其中每段都是三次多项式。 该命令用三次样条插值计算出由向量x与y确定的一元函数y=f(x)在点xx处的值。若参量y是一矩阵，则以y的每一列和x配对，再分别计算由它们确定的函数在点xx处的值。则yy是一阶数为length(xx)*size(y,2)的矩阵。pp = spline(x,y) %返回由向量x与y确定的分段样条多项式的系数矩阵pp，它可用于命令ppval、unmkpp的计算。例2-36对离散地分布在y=exp(x)sin(x)函数曲线上的数据点进行样条插值计算： x = 0 2 4 5 8 12 12.8 17.2 19.9 20; y = exp(x).*sin(x); xx = 0:.25:20; yy = spline(x,y,xx); plot(x,y,o,xx,yy)插值图形结果为图2-19。图2-19 三次样条插值命令7 interpn功能 n维数据插值（查表）格式 VI = interpn(X1,X2,Xn,V,Y1,Y2,Yn) %返回由参量X1,X2,Xn,V确定的n元函数V=V(X1,X2,Xn)在点（Y1,Y2,Yn）处的插值。参量Y1,Y2,Yn是同型的矩阵或向量。若Y1,Y2,Yn是向量，则可以是不同长度，不同方向（行或列）的向量。它们将通过命令ndgrid生成同型的矩阵，再作计算。若点(Y1,Y2,Yn)中有位于点（X1,X2,Xn）之外的点，则相应地返回特殊变量NaN。VI = interpn(V,Y1,Y2,Yn) %缺省地，X1=1:size(V,1)，X2=1:size(V,2)，Xn=1:size(V,n)，再按上面的情形计算。VI = interpn(V,ntimes) %作ntimes次递归计算，在V的每两个元素之间插入它们的n维插值。这样，V的阶数将不断增加。interpn(V)等价于interpn(V,1)。VI = interpn(,method) %用指定的算法method计算： linear：线性插值（缺省算法）； cubic：三次插值； spline：三次样条插值法； nearest：最邻近插值算法。命令8 meshgrid功能 生成用于画三维图形的矩阵数据。格式 X,Y = meshgrid(x,y) 将由向量x，y（可以是不同方向的）指定的区域min(x)，max(x)，min(y)，max(y)用直线x=x(i),y=y(j)（i=1,2,length(x)，j=1,2,length(y)）进行划分。这样，得到了length(x)*length(y)个点，这些点的横坐标用矩阵X表示，X的每个行向