最新从数学思想方法的培养角度审视小学数学竞赛的训练与辅导ppt模版课件

从数学思想方法的培养角度 审视小学数学竞赛的训练与辅导 一 小学数学教师为什么要进行这个主题的培训 从学有余的学生角度思考1 培养学生学习数学的兴趣 2 能提高学生学习成绩 3 现行教育教学考核机制使 学有余的学生 成了 弱视群体 从教师角度思考 1 教师的素质要求教师必须具有一定的专业知识水准 2 现行学校教育教学现状中暴露出来的问题 对于一些学生提出的数学问题 教师无法解答 数学教学过程中重结果 轻过程 造成高分低能生 3 小学数学教师考调之数学专业知识成绩中暴露出来的问题 二 小学数学教师应该学习些什么专业知识内容 1 要统涉整个小学数学教材体系与知识内容 能完全熟悉人教版的教材体系 适当涉及北师大 沪教版 苏教版等教材内容与体系 2 要初涉初 高中数学教材体系与知识内容 3 要认真钻研一些专业的数学思想与方法 4 要针对本班学有余的学生实际制订合理的培养计划 三 如何从用数学思想方法与策略解决数学竞赛题中得到培养 数学基础知识与数学思想方法是数学教学的两条主线 数学基础知识是一条明线 写在书上 而数学思想与方法却是一条暗线 一般体现在知识的形成过程中 对于数学思想方法教学的重要性 日本数学家和教育家米山国藏曾经说道 绝大多数的学生在学校里所学到的数学知识 在进入社会后 几乎没有什么机会应用 因而作为知识的数学 通常在出校门不到一两年就忘掉了 然而不管他们从事什么业务工作 那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想 却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要的作用 可见数学思想与方法的培养的重要性 而数学思想与方法的培养除了结合现行小学数学教材的教学加以慢慢渗透之外 更直接 更快速的有效方法就是通过典型的小学数学竞赛题的辅导与训练来加以培养 常用的数学思想方法 数形结合的思想 函数的思想 方程的思想 代换的思想 统筹的思想 推理的思想 转化的思想 归纳的思想 分类讨论的思想 符号化的思想 赋值的思想 公理化的思想 整体化的思想 对应的思想 极限的思想 逐步调整的思想 构造的思想 枚举的思想 化归的思想 类比的思想等等 数形结合思想 所谓数形结合的思想是指在研究问题的过程中 由数思形 由形思数 把数与形结合起来分析问题的思想方法 一般常用画线段图 示意图 以及实物演示等方式体现题中的数量关系 从而使我们更加形象 直观地理解题意或问题以及数量之间的联系 它的运用往往展现出 柳暗花明又一村 般的数形完美结合的境地 华罗庚先生曾精辟的论述如下 数缺形时少直观 形少数时难入微 切莫忘 几何代数统一体 永远联系切莫离 尤其是直角坐标系与几何的结合 是数形结合的完美体现 由形到数的转化 往往较明显 而由数到形的转化却需要转化的意识 因此 数形结合的思想的使用往往偏重于由数到形的转化 一般来说 在理解题意的过程中 如果能够将数量关系转化成线段图 示意图或实物实物演示 均可以考虑用数形结合的思想 1 数形结合思想在教材中的具体应用 数的表示和运算 如数和运算的实物化 图形化和操作化 便于人们直观理解数和计算 如摆小棒 画图形等 解决问题中的形 如 画线段图表示数量关系 数学广角中解决问题的一些直观策略 利用坐标系中的图像直观理解正比例关系等 统计中的图形 如各种统计图表 空间与图形中的数 如 图形的周长 面积和体积公式 图形中边之间的关系 图形变换中的数 如坐标与变换 2 数形结合思想在数学竞赛题中的具体应用 在数学竞赛题中数形结合思想应用最多首推行程问题 特别是一些当相遇问题 追及问题 时间路程速度关系胶着的问题等交织在一起的综合问题 由于问题难度大 情景繁杂 往往需要画图来帮助搞清各数量之间的关系 把综合问题分解成几个单一问题 逐次求解 现举几个案例加以阐述 先讲几个由数到形的案例 案例1 两条公路成十字交叉 甲从十字路口南1800米处向北直行 乙从十字路口处向东直行 甲 乙同时出发12分钟后 两人与十字路口的距离相等 出发后75分钟 两人与十字路口的距离再次相等 此时他们距十字路口多少米 分析与解 典型数学思想 数形结合思想 化归思想 案例1 两条公路成十字交叉 甲从十字路口南1800米处向北直行 乙从十字路口处向东直行 甲 乙同时出发12分钟后 两人与十字路口的距离相等 出发后75分钟 两人与十字路口的距离再次相等 此时他们距十字路口多少米 分析与解 每分钟两人一共行1800 12 150 米 每分钟两人行走的路程差是1800 75 24 米 再由和差问题 可求出乙每分钟行 150 24 2 63 米 出发后75分钟距十字路口63 75 4725 米 案例2 小明放学后 沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家 该路公共汽车也以不变速度不停地运行 每隔9分钟就有一辆公共汽车从后面超过他 每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车 问 该路公共汽车每隔多少分钟发一次车 分析与解 典型数学思想 数形结合思想 假设代换思想 案例2 小明放学后 沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家 该路公共汽车也以不变速度不停地运行 每隔9分钟就有一辆公共汽车从后面超过他 每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车 问 该路公共汽车每隔多少分钟发一次车 分析与解 假设小明在路上向前行走了63分钟后 立即回头再走63分钟 回到原地 这里取63 是由于 7 9 63 这时在前63分钟他迎面遇到63 7 9 辆 车 后63分钟有63 9 7 辆 车追上他 那么在两个63分钟里他共遇到朝同一方向开来的16辆车 则发车的时间间隔为 案例3 甲 乙两人在长为30米的水池里沿直线来回游泳 甲的速度是1米 秒 乙的速度是0 6米 秒 他们同时分别从水池的两端出发 来回共游了11分钟 如果不计转向的时间 那么在这段时间里 他们共相遇了多少次 分析与解 典型数学思想 数形结合思想 转化思想 函数思想 案例3甲 乙两人在长为30米的水池里沿直线来回游泳 甲的速度是1米 秒 乙的速度是0 6米 秒 他们同时分别从水池的两端出发 来回共游了11分钟 如果不计转向的时间 那么在这段时间里 他们共相遇了多少次 分析与解 甲一个单程需30 1 30 秒 乙一个单程需30 0 6 50 秒 则甲游5个单程 乙游3个单程 各自到了不同的两端又重新开始 这个过程的时间是150秒 即2 5分钟 其间 两人相遇了5次 见下图 实线与虚线的交点表示相遇点 以2 5分钟为一个周期 11分钟包含4个周期零1分钟 而在一个周期中的第1分钟内 从图中可看出两人相遇2次 故一共相遇了5 4 2 22 次 模拟练习1 1 柳卡问题 每天中午有一艘轮船由哈佛开往纽约 且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛 轮船在途中均要航行七天七夜 且均沿同一航线航行 试问今天中午从哈佛开出的一艘轮船在到达纽约前 途中 能遇上几艘从纽约开来的同一公司的轮船 这是十九世纪在一次世界科学会议期间 法国数学家柳卡向在场的数学家们提出的一个问题 它难倒了在场的所有数学家 连柳卡本人也没有彻底解决 后来有一位叫斯图姆的数学家通过图解法 才使问题最终得到解决 你能想出来是怎样解决的吗 2 甲 乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去 甲每小时比乙快6千米 中午12点甲到达西村后立即返回东村 在距西村15千米处遇到乙 问 东 西两村相距多远 模拟练习1 3 甲 乙二人分别从A B两地同时出发 两人同向而行 甲26分钟赶上乙 两人相向而行 6分钟可相遇 已知乙每分钟行50米 求A B两地的距离 4 某人沿公路前进 迎面来了一辆汽车 他问司机 后面有骑自行车的人吗 司机回答 10分钟前我超过一个骑自行车的人 这人继续走了10分钟 遇到了这个骑自行车的人 如果自行车的速度是人步行速度的3倍 那么 汽车速度是人步行速度的多少倍 5 某人沿着电车道旁的便道以4 5千米 时的速度步行 每7 2分钟有一辆电车迎面开过 每12分钟有一辆电车从后面追过 如果电车按相等的时间间隔发车 并以同一速度不停地往返运行 那么电车的速度是多少 电车发车的时间间隔是多少 模拟练习1 6 铁路旁有一条小路 一列长110米的火车以30千米 时的速度向南驶去 8点时追上向南行走的一名工人 15秒后离他而去 8点6分迎面遇到一个向北行走的农民 12秒后离开这个农民 问 工人与农民何时相遇 7 小红从家到火车站赶乘火车 每小时行4千米 火车开时她还离车站1千米 每小时行5千米 她就早到车站12分钟 小红家离火车站多少千米 分析与解 典型数学思想 数形结合思想 转化思想 归纳思想 建模思想 函数思想 数形结合思想在数学竞赛题中的应用范围很广 除了前面讲的行程问题 还应用于工程问题 分数问题 比例问题 重叠问题 牛吃草问题等竞赛题中 甚至在等比是2的特殊数列求和中也有很好的体现 分析与解 模拟练习2 现在你找到规律了吗 和 首项 2 末项 不过此类题目要与用裂项法求若干个分数的和区别开来 如 用数形结合的思想解决牛吃草的问题 一堆草可供10头牛吃3天 这堆草可供6头牛吃几天 3 10 6 5 天 如果我们把 一堆草 换成 一片正在生长的草地 问题就不那么简单了 因为草每天都在生长 而且草的数量也在不断变化 这类工作总量不固定 均匀变化 的问题就是牛吃草问题 此类问题最典型的思维推理是 数形结合思想 假设的思想 转化思想 归纳思想 建模思想 案例5 牧场上有一片牧草 每天牧草都匀速生长 这片牧草可供10头牛吃20天 或者可供15头牛吃10天 问 可供25头牛吃几天 分析与解 这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化 我们要想办法从变化当中找到不变的量 总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分 牧场上原有的草是不变的 新长出的草虽然在变化 因为是匀速生长 所以这片草地每天新长出的草的数量相同 即每天新长出的草是不变的 对于初中学生采用两元方程组求解可能也是一件麻烦事 那么小学生能理解吗 会解决吗 我想只要会解决行程中的相遇与追及问题的小朋友 通过数形结合的思想思考解决这类问题应该不难 下面我利用数形结合的思想分析如下 此类题目的关键就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量 案例5牧场上有一片牧草 每天牧草都匀速生长 这片牧草可供10头牛吃20天 或者可供15头牛吃10天 问 可供25头牛吃几天 分析与解 假设1头牛1天吃的草为1份 可画出草图如下 则10头牛20天吃200份 草被吃完 15头牛10天吃150份 草也被吃完 前者的总草量是200份 后者的总草量是150份 前者是原有的草加20天新长出的草 后者是原有的草加10天新长出的草 200 150 50 份 20 10 10 天 说明牧场10天长草50份 1天长草5份 也就是说 5头牛专吃新长出来的草刚好吃完 5头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草 由此得出 牧场上原有草 l0 5 20 100 份 或 15 5 10 100 份 现在已经知道原有草100份 每天新长出草5份 当有25头牛时 其中的5头专吃新长出来的草 剩下的20头吃原有的草 吃完需100 20 5 天 则这片草地可供25头牛吃5天 分析与解 案例6 由于天气逐渐冷起来 牧场上的草不仅不长大 反而以固定的速度在减少 已知某块草地上的草可供20头牛吃5天 或可供15头牛吃6天 照此计算 可供多少头牛吃10天 分析与解 与案例5不同的是 不仅没有新长出的草 而且原有的草还在减少 但是 我们同样可以利用案例5的方法 求出每天减少的草量和原有的草量 案例6由于天气逐渐冷起来 牧场上的草不仅不长大 反而以固定的速度在减少 已知某块草地上的草可供20头牛吃5天 或可供15头牛吃6天 照此计算 可供多少头牛吃10天 分析与解 假设1头牛1天吃的草为1份 画出草图后可知 20头牛5天吃100份 15头牛6天吃90份 100 90 10 份 说明寒冷使牧场1天减少青草10份 也就是说 寒冷相当于10头牛在吃草 由 草地上的草可供20头牛吃5天 再加上 寒冷 代表的10头牛同时在吃草 所以牧场原有草 20 10 5 150 份 由150 10 15知 牧场原有草可供15头牛吃10天 寒冷占去10头牛 所以 可供5头牛吃10天 由于原草量不变 相当于总路程不变 通过画图分析观察 可化归为牛和天气相当于两辆不同时速的车从两边相向行驶 最后相遇的相遇问题 案例7 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着 两位性急的孩子要从扶梯上楼 已知男孩每分钟走20级梯级 女孩每分钟走15级梯级 结果男孩用了5分钟到达楼上 女孩用了6分钟到达楼上 问 该扶梯共有多少级 分析与解 与案例6比较 总的草量 变成了 扶梯的梯级总数 草 变成了 梯级 牛 变成了 速度 也可以看成牛吃草问题 通过画图 图略 可以化归为追及问题 案例7自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着 两位性急的孩子要从扶梯上楼 已知男孩每分钟走20级梯级 女孩每分钟走15级梯级 结果男孩用了5分钟到达楼上 女孩用了6分钟到达楼上 问 该扶梯共有多少级 分析与解 上楼的速度可以分为两部分 一部分是男 女孩自己的速度 另一部分是自动扶梯的速度 男孩5分钟走了20 5 100 级 女孩6分钟走了15 6 90 级 女孩比男孩少走了100 90 10 级 多用了6 5 1 分 说明电梯1分钟走10级 由男孩5分钟到达楼上 他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和 所以扶梯共有 20 10 5 150 级 则自动扶梯每分钟走 20 5 15 6 6 5 10 级 自动扶梯共有 20 10 5 150 级 通过画图分析观察可以化归为追及问题 模拟练习3 1 一牧场上的青草每天都匀速生长 这片青草可供27头牛吃6周或供23头牛吃9周 那么 可供21头牛吃几周 2 一牧场上的青草每天都匀速生长 这片青草可供17头牛吃30天 或供19头牛吃24天 现有一群牛 吃了6天后卖掉4头 余下的牛又吃了2天将草吃完 这群牛原来有多少头 3 经测算 地球上的资源可供100亿人生活100年 或可供80亿人生活300年 假设地球新生成的资源增长速度是一定的 为使人类有不断发展的潜力 地球最多能养活多少亿人 4 有一水池 池底有泉水不断涌出 用10部抽水机20时可以把水抽干 用15部同样的抽水机 10时可以把水抽干 那么 用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干 模拟练习3 5 某车站在检票前若干分钟就开始排队 每分钟来的旅客人数一样多 如果同时开放3个检票口 那么40分钟检票口前的队伍恰好消失 如果同时开放4个检票口 那么25分钟队伍恰好消失 如果同时开放8个检票口 那么队伍多少分钟恰好消失 6 两只蜗牛由于耐不住阳光的照射 从井顶逃向井底 白天往下爬 两只蜗牛白天爬行的速度是不同的 一只每个白天爬20分米 另一只爬15分米 黑夜里往下滑 两只蜗牛滑行的速度却是相同的 结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底 另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底 那么 井深多少米 7 两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走 在20秒钟里 男孩可走27级梯级 女孩可走24级梯级 结果男孩走了2分钟到达另一端 女孩走了3分钟到达另一端 问 该扶梯共多少级 由形到数的数形结合思想的运用 由形到数的数形结合思想的运用经常要用到归纳的思想 通过找由形变成数的规律或形与形之间的变化规律来求解 案例8 县数学之星评比第一部分题4 观察下列图形和所给的数据 当梯形个数为100时 这时图形的周长为 案例8 县数学之星评比第一部分题9 有这样的一组数 1 1 2 3 5 8 13 以这组数中的各个数作为正方形的长度构造一组正方形 再分别依次从左到右取2个 3个 4个 5个正方形拼成如下长方形并记为 若按此规律继续作长方形 则序号为 的长方形周长是 模拟练习4 1 如图 由边长为1cm的正六边形排成一长条形链子 其中每个黑色六边形与6个白色六边形相邻 若链子上有366个白色六边形 则此链子有 个黑色六边形 模拟练习4 2 如图 是由相同长度小棒搭成的三角形图形 图1的三角形边长是由一根小棒构成 图2的三角形边长是由二根小棒构成 图3的三角形边长是由三根小棒构成 问当三角形的边长由15根小棒构成时的图形共需小棒 根 模拟练习4 3 将长为30厘米 宽为10厘米的长方形白纸 按如右下图的方法粘贴起来 粘贴部分的宽为3厘米 求20张白纸粘贴后的总面积是多少 4 左上图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的 求它的表面积 模拟练习4 5 有30个边长为1米的正方体 在地面上摆成左下图的形式 然后把露出的表面涂成红色 求被涂成红色的表面积 6 用四条直线最多能将一个圆分成几块 用100条直线呢 案例9用数形结合思想解决简单的推理问题 甲 乙 丙 丁与小强五位同学一起比赛象棋 每两人都要比赛一盘 到现在为止 甲已经赛了4盘 乙赛了3盘 丙赛了2盘 丁赛了1盘 问 小强已经赛了几盘 分别与谁赛过 分析与解 这道题若按照常规思路似乎不太好解决 我们画个图试试 用五个点分别表示参加比赛的五个人 如果某两人已经赛过 就用线段把代表这两个人的点连结起来 案例9甲 乙 丙 丁与小强五位同学一起比赛象棋 每两人都要比赛一盘 到现在为止 甲已经赛了4盘 乙赛了3盘 丙赛了2盘 丁赛了1盘 问 小强已经赛了几盘 分别与谁赛过 分析与解 因为甲已经赛了4盘 除了甲以外还有4个点 所以甲与其他4个点都有线段相连 如图 因为丁只赛了1盘 所以丁只与甲有线段相连 因为乙赛了3盘 除了丁以外 乙与其他三个点都有线段相连 见右下图 因为丙赛了2盘 图中丙已有两条线段相连 所以丙只与甲 乙赛过 由图清楚地看出 小强赛过2盘 分别与甲 乙比赛 模拟练习5 1 1 2 3 4 5 6号六名运动员进行乒乓球单打循环赛 到现在为止 1 2 3 4 5号运动员已参加比赛的场数正好等于他们的编号数 问 6号运动员已经赛了几场 2 有A B C D E F6个人参加会议 见面时每两个人都要握一次手 现知道A握了5次 B握了4次 C握了3次 D握了2次 E握了1次 请问F握了几次 3 有A B C D E五支球队 每两队之间都要赛一场 至今为止 A D赛了4场 B C赛了3场 请问 E赛了几场 方程和函数思想 方程和函数是初等数学代数领域的主要内容 也是应用数学解决实际问题的重要工具 它们都可以用来描述现实世界的各种数量关系 而且它们之间有着密切的联系 因此 我将二者放在一起进行讨论 1 方程与函数思想在教材中的具体应用 方程思想 含有未知数的等式叫方程 判断一个式子是不是方程 只需要同时满足两个条件 一个是含有未知数 另一个是必须是等式 经常有老师有这样的疑问 判断 0和 1是不是方程 根据方程的定义 他们满足方程的条件 都是方程 方程按照未知数的个数和未知数的最高次数 可以分为一元一次方程 一元二次方程 二元一次方程 三元一次方程等等 这些都是初等数学代数领域中最基本的内容 方程思想的核心是将问题中的未知量用数字以外的数学符号 常用 y等字母 表示 根据相关数量之间的相等关系构建方程模型 方程思想体现了已知与未知的对立统一 函数思想 集合 是两个非空的数集 如果按照某种确定的对应关系 如果对于集合 中的任意一个数 在集合 中都有唯一确定的数y和它对应 那么就称y是 的函数 记作y 其中 叫做自变量 的取值范围 叫做函数的定义域 y叫做函数或因变量 与 相对应的y的值叫做函数值 y的取值范围 叫做值域 这是从初等数学的角度出发的 自变量只有一个 与之对应的函数值也是唯一的 这样的函数研究的是两个变量之间的对应关系 一个变量的取值发生了变化 另一个变量的取值也相应发生变化 中学里学习的正比例函数 一次函数 二次函数 幂函数 指数函数 对数函数和三角函数都是这类函数 实际上现实生活中还有很多情况是一个变量会随着几个变量的变化而相应地变化 这样的函数是多元函数 虽然在中小学里不学习多元函数 但实际上它是存在的 如圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关系 r h 半径和高有一对取值 体积就会相应地有一个取值 函数思想的核心是事物的变量之间有一种依存关系 因变量随着自变量的变化而变化 通过对这种变化的探究找出变量之间的对应法则 从而构建函数模型 函数思想体现了运动变化的观点 2 方程和函数的关系 1 方程和函数的区别 从小学数学到中学数学 数与代数领域经历了从算术到方程再到函数的过程 算术研究具体的确定的常数以及它们之间的数量关系 方程研究确定的常数和未知的常数之间的数量关系 函数研究变量之间的数量关系 方程和函数虽然都是表示数量关系的 但是它们有本质的区别 如二元一次不定方程中的未知数往往是常量 而一次函数中的自变量和自变量一定是变量 人们运用方程思想 一般关注的是通过设未知数如何找出数量之间的相等关系构建方程并求出方程的解 从而解决数学问题和实际问题 人们运用函数思想 一般更加关注变量之间的对应关系 通过构建函数模型并研究函数的一些性质来解决数学问题和实际问题 方程中的未知数往往是静态的 而函数中的变量则是动态的 方程已经有3000多年的历史 而函数概念的产生不过才300年 2 方程和函数的联系 它们也有密切的联系 如二元一次不定方程a by c 0和一次函数y k b之间 如果方程的解在实数范围内 函数的定义域和值域都是实数 那么方程a by c 0经过变换可转化为y x 在直角坐标系里画出来的图象都是一条直线 因此 可以说一个二元一次方程对应一个一次函数 如果使一次函数y k b中的函数值等于0 那么一次函数转化为k b 0 这就是一元一次方程 可以说求一元一次方程的解 实际上就是求使函数值为0的自变量的值 或者说求一次函数图象与 轴交点的横坐标的值 一般地 就初等数学而言 如果令函数值为0 那么这个函数就可转化为含有一个未知数的方程 求方程的解 就是求使函数值为0的自变量的值 或者说求函数图象与 轴交点的横坐标的值 3 方程与函数思想在数学竞赛题中的具体应用 所谓方程的思想是指在求解数学问题时 从题中的已知量和未知量之间的数量关系中找到相等关系 用数学符号化的语言将相等关系转化为方程 组 或不定方程 然后解方程 组 或不定方程从而使问题获解 方程思想就是从分析问题的数量关系入手 适当设定未知数 把所研究的问题中已知量和未知量这间的数量关系转化为方程 从而使问题得到解决 当一个问题可能与某个方程建立关联时 可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题 把未知数当已知数 让所设未知数的字母和已知数一样参加运算 这种思想方法是数学中常用的重要方法之一 是代数解法的重要标志 与算数方法相比 更体现顺向思维与逻辑推理的特质 一般来说 当理解题意的过程中有明显的符号化的等量关系的时候均可以考虑将某个未知量予以赋值或代换赋值从来与已知量之间建立一种等式后用方程的思想方法求解 特别是有些数量关系比较复杂的应用题 用算术方法求解比较困难 此时 如果能恰当地假设一个未知量为x 或其它字母 当然这也是一种赋值思想的体现 并能用两种方式表示同一个量 其中至少有一种方式含有未知数x 那么就得到一个含有未知数x的等式 即方程 利用列方程求解应用题 能使数量关系清晰明了 但小学生对繁杂的方程解法的掌握应是关键 所以这类思想的培养之初 还得进行必要的解方程能力的训练 案例1商店有胶鞋 布鞋共46双 胶鞋每双7 5元 布鞋每双5 9元 全部卖出后 胶鞋比布鞋多收入10元 问 胶鞋有多少双 分析与解 此题几个数量之间的关系不容易看出来 用方程法却能清楚地把它们的关系表达出来 设胶鞋有x双 则布鞋有 46 x 双 胶鞋销售收入为7 5x元 布鞋销售收入为5 9 46 x 元 根据胶鞋比布鞋多收入10元可列出方程 解 设有胶鞋x双 则有布鞋 46 x 双 7 5x 5 9 46 x 10 7 5x 271 4 5 9x 10 13 4x 281 4 x 21 答 胶鞋有21双 直接设元法间接设元法 案例2 一群学生进行篮球投篮测验 每人投10次 按每人进球数统计的部分情况如下表 还知道至少投进3个球的人平均投进6个球 投进不到8个球的人平均投进3个球 问 共有多少人参加测验 分析与解 设有x人参加测验 由上表看出 至少投进3个球的有 x 7 5 4 人 投进不到8个球的有 x 3 4 1 人 投中的总球数 既等于进球数不到3个的人的进球数加上至少投进3个球的人的进球数 0 7 1 5 2 4 6 x 7 5 4 5 8 6 x 16 6x 83 也等于进球数不到8个的人的进球数加上至少投进8个球的人的进球数 3 x 3 4 1 8 3 9 4 10 1 3 x 8 24 36 10 3x 46 由此可得方程6x 83 3x 46 3x 129 x 43 模拟练习1 1 某建筑公司有红 灰两种颜色的砖 红砖量是灰砖量的2倍 计划修建住宅若干座 若每座住宅使用红砖80米3 灰砖30米3 那么 红砖缺40米3 灰砖剩40米3 问 计划修建住宅多少座 2 教室里有若干学生 走了10个女生后 男生是女生人数的2倍 又走了9个男生后 女生是男生人数的5倍 问 最初有多少个女生 3 甲 乙 丙三人同乘汽车到外地旅行 三人所带行李的重量都超过了可免费携带行李的重量 需另付行李费 三人共付4元 而三人行李共重150千克 如果一个人带150千克的行李 除免费部分外 应另付行李费8元 求每人可免费携带的行李重量 模拟练习1 4 大 小两个水池都未注满水 若从小池抽水将大池注满 则小池还剩5吨水 若从大池抽水将小池注满 则大池还剩30吨水 已知大池容积是小池的1 5倍 问 两池中共有多少吨水 5 一群小朋友去春游 男孩每人戴一顶黄帽 女孩每人戴一顶红帽 在每个男孩看来 黄帽子比红帽子多5顶 在每个女孩看来 黄帽子是红帽子的2倍 问 男孩 女孩各有多少人 6 教室里有若干学生 走了10个女生后 男生人数是女生的1 5倍 又走了10个女生后 男生人数是女生的4倍 问 教室里原有多少个学生 7 一位牧羊人赶着一群羊去放牧 跑出一只公羊后 他数了数羊的只数 发现剩下的羊中 公羊与母羊的只数比是9 7 过了一会跑走的公羊又回到了羊群 却又跑走了一只母羊 牧羊人又数了数羊的只数 发现公羊与母羊的只数比是7 5 这群羊原来有多少只 案例3 学校要安排66名新生住宿 小房间可以住4人 大房间可以住7人 需要多少间大 小房间 才能正好将66名新生安排下 分析与解 设需要大房间x间 小房间y间 则有7x 4y 66 这个方程有两个未知数 我们没有学过它的解法 但由4y和66都是偶数 推知7x也是偶数 从而x是偶数 当x 2时 由7 2 4y 66解得y 13 所以x 2 y 13是一个解 因为当x增大4 y减小7时 7x增大28 4y减小28 所以对于方程的一个解x 2 y 13 当x增大4 y减小7时 仍然是方程的解 即x 2 4 6 y 13 7 6也是一个解 所以安排2个大房间 13个小房间或6个大房间 6个小房间都可以 在方程7x 4y 66中 对于x的任何值 都可以得到y 也就是说 方程7x 4y 66有无数个解 由于这类方程的解的不确定性 所以称这类方程为不定方程 根据实际问题列出的不定方程 往往需要求整数解或自然数解 这时的解有时有无限个 有时有有限个 有时可能是唯一的 有时甚至无解 例如 x y 1有无限个解 因为只要x比y大1就是解 3x 2y 5只有x 1 y 1一个解 3x 2y 1没有解 由上看出 只要找到不定方程的一个解 其余解可通过对这个解的加 减一定数值得到 限于小学生学到的知识的有限性 寻找第一个解的方法更多的要依赖 拼凑 模拟练习2 1 求不定方程5x 3y 68的所有整数解 2 用100元钱去买3元一个和7元一个的两种商品 钱正好用完 共有几种买法 3 五年级一班的43名同学去划船 大船可坐7人 小船可坐5人 需租大 小船各多少条 用方程的思想解决位值原则问题 案例4 有一个两位数 把数字1写在它的最高位前面可以得到一个三位数 写在它的最低位后面也可以得到一个三位数 这两个三位数相差666 求原来的两位数 分析与解 由位值原则知道 把数码1加在一个两位数前面 等于加了100 把数码1加在一个两位数后面 等于这个两位数乘以10后再加1 设这个两位数为x 由题意得到 10 x 1 100 x 666 10 x 1 100 x 666 10 x x 666 1 100 9x 765 所以原来的两位数是x 85 案例5 将一个三位数的数字重新排列 在所得到的三位数中 用最大的减去最小的 正好等于原来的三位数 求原来的三位数 分析与解 设原来的三位数的三个数字分别是a b c 若由上式知 所求三位数是99的倍数 可能值为198 297 396 495 594 693 792 891 经验证 只有495符合题意 即原来的三位数是495 案例6 无限循环小数0 777 和0 747474 如何化成分数 你能发现什么规律 最后用化归的思想得出无限循环小数化分数的规律 把循环节作为分子 循环节有几位数字 分母就是由几个9组成的几位数 模拟练习3 1 有一个两位数