7. 一元函数不定积分的换元法 作者：阿瓦姑.艾尼瓦 指导老师：热米拉克优木 评价：中.doc

编号编号 学学士士学学位位论论文文 一元函数不定积分的换元法一元函数不定积分的换元法 学生姓名 阿瓦姑 艾尼瓦 学 号 20060101012 系 部 数 学 系 专 业 数学与应用数学 年 级 2006 1 班 指导教师 热米拉 克优木 完成日期 2011 年 4 月 30 日 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 中文摘要 不定积分的概念较为简单 但从计算上讲是较为复杂的 如同数学中一般 逆运算比正运算困难一样 不定积分作为微分运算的逆运算 其难易程度却相 差甚远 若把求导数比喻为将一根绳子打结 求不定积分则是解结 解结显然 比打结难 有时甚至解不开 而且利用直接积分法所能计算的不定积分是非常有 限的 因此 有必要进一步研究不定积分的其它计算方法 由复合函数的求导 法则可推得一种十分重要的积分方法 换元积分法 通常称为换元法 该 法可分为两类 即第一类和第二类换元法 关键词关键词 一元函数 不定积分 换元法 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 2 目 录 中文摘要中文摘要 1 引言引言 1 1 换元积分法换元积分法 1 1 1 第一类换元积分法 1 1 2 第二类换元积分法 4 1 3 求三角函数 sin cos Rxx 的不定积分 8 总结总结 12 参考文献参考文献 13 致谢致谢 14 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 1 引言 换元积分法是把积分化为可以利用积分公式的一个重要方法 其形式有两种 第 一类换元法和第二换元法 第一类换元法是由的原函数而获得的原函 g u f x 数主要采取的方法便是 凑 的方法 第二换元法是已知有原函数而用来 f x 得到的原函数 它是第一换元法的可逆过程 g u 1 换元积分法 定义 我们将把复合函数的求导法反过来用于求不定积分 即利用变量代 换的方法将所要求的不定积分变为基本积分表中所已有的形式或原函数为已知 的其它形式来求函数的不定积分 这种方法称为换元积分法 1 11 1 第一类换元积分法第一类换元积分法 定理 1 第一类换元积分法 若函数在可导 且 ux a b x 有则函数存在原函数 即 u F uf u fxx Fx 1 fxx dxFxc 证法只需证明 Fxfxx 证明 由复合函数的求导法则 有 FxF uxf uxfxx 第一类换元积分法指出 求 1 式等号左端的不定积分 设则化 xu 为求不定积分 若存在原函数 则 f u du f u F u f u du F uc 最后在将代入上式等号的左 右两端 就得到所求的不定积分 ux 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 2 由于 第一类换元积分法可 fxx dxFxc x dxdx 表为 xufxx dxfx dxf u du uxF ucFxc 第一类换元积分法的一般步骤 若某积分可化为的形式 且比较容易积 g x dx fxx dx f u du 分 那么可按下列方法和步骤来计算所给积分 1 凑微分 设法将积分 变形为的形式 从而 g x dx fxx dx 可得 g x dx fxx dx fx dx 2 作变量代换 作变量代换 则 从而将 ux dux dxdx 积分变为 并计算该积分 g x dx fxx dx f u du 3 将变量回代 根据所作代换 用替换积分结构中的 从而求得 x u 结构得原积分的结果 即 ux g x d xf u duF ucFxc 注 显然第一步是第一类换元积分法的关键 第一类换元积分法叫做凑微 分法 例 1 求不定积分 22 3 1 1 x dx xx 解 2 22 31 22 2 1 1 2 1 1 1 1 xdx dx xx xx 21 1 21 dud u ux u uu u 令 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 3 1 2 1 1 du uc u 2 2 11xc 例 2 计算 1 x dx e 分析 对含项的积分 凑微分时需有项 而本题分子中却没有项供 x e x e x e 凑微分使用 可考虑加一项减一项的代数变形 解 1 11 xx xx dxee dx ee 1 x x e dxdx e 1 1 1 x x d ex e ln1 x exc 例 3 计算 2 4lnxx edx 分析 本题为类型 需确定的表达式 显然已有乘积项 应注 u e du u lnx e 意到 lnx ex 解 22 4ln4xxx edxe lnx edx 22 442 1 2 xx exdxedx 22 424 11 4 88 xx ed xec 例 4 计算 lntan 2 sin x dx x 分析 表面上看不能直接使用凑微分法 同时三角函数为倍角关系需统一 角度 故应免先行化简 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 4 解 lntanlntan 22 sin 2sincos 22 xx dxdx xx x lntanlntan 22 tan 22 sincostan 222 cos 2 xx xx dd xxx x 2 1 lntanlntanlntan 2222 xxx dc 凑微分法是求不定积分中常用的方法 灵活性较大 有时需要用代数变换 或三角变形 如用分项 减项 乘除同一因子 三角公式等方法 将被函数化 为可用凑微分法类型求不定积分 1 21 2 第二类换元积分法第二类换元积分法 定理 2 第二类换元积分法 若函数在可导 xt 且 函数在有定义 有 atb 0t f x a bt 则函数在存在原函数 且 G tftt f x a b 1 f xGxc 证明 已知有 则函数存在可导的反函数 t 0t xt 由复合函数和反函数的求导法则 有 1 tt 11 1 GxG txfttftf x t 第二类换元积分法指出 求式等号左端的不定积分 1 f x dxGxc 设 则化为求不定积分 若存在原函数 xt ftt dt ftt G t 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 5 则最后将代入上式等号右端 就得到所求的不 ftt dtG tc 1 tt 定积分由于 1 f x dxGtc t dtdt 第二类换元积分法可表为 xtf x dxftt dtG tc 1 tx 1 Gxc 例 5 求 1 01 1 x xdxx x 解 则sinxax 令cosdxatdt 11 11 xx xdxxdx xx 2 22 11 xx dxdx xx 而 2 22 11 1 2 11 x dxdx xx 2 1xc 又令 则sinxt 22 2 sin cos cos 1 xt dxtdt t x 111 1 cos2sin 222 t dtttc 2 11 arcsin1 22 xxxc 所以 22 111 1arcsin1 122 x xdxxxxxc x 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 6 例 6 求 4 1 1 dx xx 解 令 则从而有 2 tanxt 2 2 4 22 1 2 1 1 dxdx dx xx xx 2 2 tan11sec 22tan sec tan1 dttdt tt ttan t 1sec11 2tan2sin tdt dt tt 4 2 1111 ln csccotln 22 x ttcc x 例 7 求 2 11 ln 11 x dx xx 解 令 则 1 ln 1 x t x 1 1 t x e x 1 1 t t e x e 2 11 ln 11 x dx xx 2 12 1 1 1 1 t t t t e tdt e e e 1 2 tdt 2 1 4 tc 2 11 ln 41 x c x 例 8 求 2 3 21 dx xx 解 3 2 3 11 12 21 dxx dx xx xx 令 则 3 1 2 x t x 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 7 原式 3 3 1dtt 2 21 11 t dt ttt 2 121 ln13arctanln1 23 t tttc 1 3 21 33 1 2 11112 ln13arctanln1 22223 x xxxx c xxx 例 9 求 34 1x dx x 解 因为被积函数中出现了 也出现了 因此先作变量变换 x 4 x 4 tx 4 xt 3 4dxt dt 34 1x dx x 33 2 1 4tt dt t 3 41 t tdt 3 1ut 32 4 1 3u uu du 3 6 12uu du 74 12 3 7 uuc 74 4433 12 13 1 7 xxc 例 10 求 2 x xdx ax 解 令 2 x t ax 2 2 2 1 at x t 2 4 1 at dxdt t 2 4 3 2 8 2 1 xa t xdxdt ax t 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 8 tant 24 8sinaxd 222 1 cos21 cos4 8 21 2cos2 22 adad 222 1 32sin2sin4 4 aaac 2222 34sincossincos2cos1aaac 2 1 3arctan32 22 x aaxxaxc ax 1 31 3 求三角函数求三角函数 的不定积分的不定积分 sin cos Rxx 常常有多种方法 其中有一种是万能的 尽管这种方法 sin cos Rxx dx 不是最简便的 设 有 tan 2 x t x 2arctanxt 2 2 1 dxdt t 2 222 2sincos2tan 2 222 sin 1 sincos1tan 222 xxx t x xxx t 222 2 2 222 cossin1tan 1 222 cos 1 cossin1tan 222 xxx t x xxx t 有 2 222 212 sin cos 111 tt Rxx dxRdt ttt 显然 上式等号右端的被积函数是有理函数 因此三角函数存在 sin cos Rxx 被等函数的原函数 换元 称为关于的万能换元 tan 2 x t sin cos Rxx 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 9 例 11 求 cot sincos1 x dx xx 解 设有 tan 2 x t 2arctanxt 2 2 1 dxdt t 2 2 1 cos 1 t x t 2 2 sin 1 x x t 2 2 1 cos 1 t x t 2 1 cot 2 t x t 2 22 22 1 cot2 2 21sincos11 1 11 t x t dxdx ttxxt tt 11 22 tdt dtdt tt 1 ln 2 ttc 1 ln tantan 222 xx c 例 12 求 1 sin dx I x 解法 1 2 cossin2sincos 2222 dx I xxxx 2 2 2 cossin 22 x d xx 2 tan 2 2 1tan 2 x d x 2 2 x 分子 分母同除cos tan 2 x t 2 21 1 d t t 2 1 c t 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 10 2 1tan 2 c x 解法 2 2 1 sin cos x Idx x 2 cos tan cos dx dx x 1 tan cos xc x 在某些特殊情形下 要会选择更方便的变量替换 例如 可令 1 sin cos sin cos RxxRxx costx 可令 2 sin cos sin cos RxxRxx sintx 可令 3 sin cos sin cos RxxRxx tantx 例 13 求 2 sin2 sin2cos x dx xx 解 本题属上述特殊情形 1 令 则有costx dtsinxdx 2 sin2 sin2cos x dx xx 2 sin cos 2 1 cos2cos xx dx xx 2 12 tdt tt 2 222 12 t dt tt 2 22 12 2 12 21 dttdt tt t 2 121 ln 12ln 22 1 t ttc t 2 121 cos ln 12coscosln 221 cos x xxc x 2 121 cos ln sin2cosln 221 cos x xxc x 例 14 sin22sin dx I xx 计算 解 被积函数显然为的奇函数 令 则sin xsinux 2 sin 2sin1 cos2sin1 cos dxxdx I xxxx 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 11 2 1cos 21 cos1 cos dx xx cosux 2 1 211 du uu 2 111 411 uu du uu 2 11 4114 1 dudu uu u 111 81141 dudu uuu 111 ln 1ln 1 884 1 uuc u 12 ln 1 cosln 1 cos 81 cos xxc x 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 12 总结 此论文中主要介绍解不定积分过程中有难易程度的有些问题所利用的一 种方法 换元积分法 其主要形式有两种 第一类换元法和第二类换元法和它们 之间的关系 还有介绍求三角函数不定积分的一种方法 万能换原法 通过利用 这些方法解决了计算不定积分过程所遇到的故障 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 13 参考文献 1 刘玉琏 数学分析讲义上 M 北京 高等教育出版社 2008 9 335 340 360 362 页 2 同济大学基础数学教研室 高等数学解题方法与同步训练 第二版 M 上海 同济大