浅谈微分中值定理的应用 -毕业论文.doc

【标题】浅谈微分中值定理的应用 【作者】杨荣雄 【关键词】罗尔定理拉格朗日定理柯西定理应用 【指导老师】王红霞 【专业】数学与应用数学 【正文】1引言中值定理是在微积分学中讨论函数与导数的关系时首先提出的，理论构成由三大定理组成。即罗尔中值定理，柯西中值定理，拉格朗日中值定理组成。中值定理是微积分学的重要基础理论，在证明等式不等式判定方程存在实根及证明中值命题中扮演重要角色，在应用中技巧性与习惯性并存。微分中值定理产生的历史是，费马作为微积分的创立者，他在研究极大和极小问题的解法时，得到统一的解法“虚拟等式法”，从而得出原始形式的费马定理。当时微积分正处于初创阶段，并设有明确导数，极限连续的概念，用现代眼光来看，其论断也不严格的，罗尔在1691年发表的论著方程的解法给出了“在多项式的两个相邻根中，方程至少有一个实根。”这是定理：“在a，b上连续，在（a，b）可导，并且，则必存在一点，使”的特例，这是最初的罗尔定理，最初的罗尔定理和现代的罗尔定理不仅内容有所不同，而且证明也大相径庭，它是罗尔利用纯代数方法加以证明的，和微积分并没有什么联系。现在看到的罗尔定理，是后人根据微积分理论重新证明，并把它推广为一般函数，“罗尔定理”这一名称是由德罗比什在1834年给出，并由意大利数学家贝拉维蒂斯在1846年发表的论文中正式使用的。拉格朗日定理是微分中值定理中最主要的定理。它是指：“在a，b上连续，在（a,b）上可导，则存在一点，使，”这一定理是拉格朗日在解析函数论一书中首先给出的，它最初的形式为：“函数在和x之间连续，的最大值为A，最小值为B，则必取A,B中一个值。”它与现代形式的拉格朗日定理相比。最初的拉格朗日定理条件要求较强。现代形式的拉格朗日中值定理，是有法国数学家博(O.Bonnet)在其著作Cours de Calcul Differerntiel et integral中给出的，她不是利用的连续性，而是罗尔定理对拉格朗日定理加以重新证明，柯西定理被认为是拉格朗日定理的推广，它是指：设和在a，b上连续，在（a，b）上可导，并且，则必有一值，使柯西微积计算教程中给出的柯西定理：和在a，b上有连续的导数，并且在a，b上不为零，这时对于某一点，有最近关于中值定理一些研究如积分第二中值定理中的渐近性的研究，积分中值定理中的一个渐近性质，曲线积分中值定理“中间点”的渐近性，积分中值定理“中值点”的估计，N从积分中值定理中值点的渐进性等。微分中值定理是一元函数微分学的理论基础,也是一元函数微分学通往应用的桥梁,其应用非常广泛,.函数在一点的导数,只反映函数在这点近旁的性质,所以导数是局部性质,但是研究工作中又常常要用函数全局性质于是要从导数给出的局部性质推出函数在整个定义域上的性质,这就要利用微分中值定理来达到这个目的,它是沟通函数与导数之间的桥梁,应用微分中值定理的基本方法是广泛使用辅助函数。本文主要介绍了常用的微分中值定理罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理,论述微分中值定理在证明方程根的存在性、证明不等式、研究函数的性态、求极限等几个方面的应用,从而加深对微分中值定理的理解。2预备知识下面是微分中值定理中几大基础定理定理 2.1（Fermat定理）设在可导且达到极值，则.（1）定理 2.2(Rolle定理)如果函数在闭区间a,b上连续，在开区间（a,b）内可导,且在区间端点的函数值相等，即,那末在（a，b）内至少有一点，使得函数在改点的导数等于零：.（2）定理 2.3（Lagrange中值定理）如果函数在闭区间a,b上连续，在开区间（a,b）内可导，那末在（a，b）内至少有一点，使等式.（3）推论 2.4如果函数在区间I上的导数恒为零，那末在区间I上是一个常数.定理2.5（Cauchy中值定理）如果函数及在闭区间a,b上连续，在开区间（a，b）内可导，且在（a，b）内的每一点处均不为零，那末在（a，b）内至少有一点，使等式（4）成立.定理2.6（ Taylor定理）如果函数在含有的某个开区间（a,b）内具有n+1阶导数，则当x在（a，b）内时，可以表示为的一个n次多项式与一个余项之和：（6）其中这里的是与x之间的某个值对微分中值定理，必须注意以下几点：1.罗尔定理是拉格朗日定理的特例。事实上，在（3）式中令，可得即（2）式；柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。事实上，在（5）式中，令则，可得，即（3）式;泰勒定理是拉格朗日定理的推广。事实上，在（6）式中令n=0,可得.2拉格朗日定理的增量形式（即（4），给出了自变量增量、函数增量和导数值之间的精确等式，为应用导数讨论函数的增减奠定了基础。3罗尔定理拉格朗日柯西中值定理的共同几何意义是，连续函数图像两终点连线的斜率总能找到一点属于函数定义域其导数值等于该函数两终点连线的斜率。3中值定理的应用在中值定理的广泛应用中，应用最多最基础的有证明方程根的存在性，证明不等式，证明某些极限，研究函数的性质等等。3.1证明方程根的存在性证明方程根的存在性是微分中值定理应用中最常见的应用，是中值定理的一个最初的应用，在微积分创建初费马就把它应用到证明方程根的存在性中。证明方程根的存在性主要是应用罗尔定理就能证明。下面就证明方程根的存在性举例说明：例1实数满足，试证：方程至少有一个实根。证令显然为多项式函数，是可导的，且，.根据Rolle定理，存在使.即为方程的一个实根。例2证明：方程在开区间（0，1）内有且仅有一个实根。证先证存在性设，则，又由零值定理，方程至少有一个实根介于0与1之间。再证明唯一性因为在（0，1）内恒不为零，所有由罗尔（Rolle）定理，在（0，1）内至多有一个零值点。综上所述，方程在区间（0，1）内有仅有一个实根。3.2证明某些极限例3设函数在区间（，0）内可微，且求证证由于，故，存在当恒有根据拉格朗日中值定理得故当时，由此，又固定M,存在当时，故当时，即3.3证明某些不等式证明不等试的应用方面主要是应用拉格朗日中值定理来证明一般将不等式变形为一端为零，另一端设为辅助函数，原不等式即；由不等式的条件确定的定义域。例4 证明当时，证设，显然在区间0，x上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理，应有由于，因此上式即为又由，有即例5：设都是正数，有不等式其中等号成立证取函数，它的定义域是区间（0，）故,不妨设令或有将函数在展成泰勒公式有其中介于与x之间，显然于是，有当时，分别有将上述n个不等式两端分别相加，有：+即：即：因为所以，不等式中等号成立例6证明：若时，有.证令,则在R上，因此在区间x，0或0，x上满足拉格朗日定理条件，有即（在0与x之间），若x0，则从而，若x0，则从而。综上所述，时，有。3.4研究函数的性质例7：证明可导函数在其导数为正值的区间上为单调增加函数。证设函数f(x)在区间（a,b）上导数为（a,b）内任意两点，且在上可导，由拉格朗日定理得：由于则由的任意得出，在（a,b）上单调增加。3.4用来判定级数的敛散性例8判定级数是否收敛？若收敛，请估算其和。解令，则，故当时，此时为减函数，又由定理知级数收敛，且所以，即3.5在微中值定理应用中首先要考虑的方法第一种查看相似性，如考虑一个可导函数f在区间a,b的两点的值之差f(a）-f(b)就即可想到Rolle定理或Lagrange中值定理，如果考虑两个函数f,g以及函数值差商就即可想到Cauchy中值定理，但还有些函数既无区间又无函数，通常需要构造辅助函数，这是一种技巧性方法。第二种常用的方法有将命题结论中的换成x，然后将结论中的等式化成右边为零的形式，左边可成为一个函数的导数，这个函数就是要构成的函数。3.5.1构造函数法例9：设函数f在a,b上连续，在（a,b）内可导，且f(a)=f(b)-=0,则一定存在使证令由的条件知在a,b上连续，在（a,b）可导，且F(a)=F(b)=0，则由罗尔定理，存在使，所以4总结微分中值定理应用非常广泛在使用定理时应特别注意验证定理的条件,以上只介绍使用该定理的一些方法并介绍它在证根的存在性，判定级数的敛散性，证明不等式，求极限，研究函数的性态这