与几何图形有关的变换.doc

与几何图形有关的变换一、关于线段的中点：引例：如图（1）点C是线段AB的中点，请你在图中构造一个与ACD全等的三角形，并说明你的做法。设计意图：让学生在简单图形背景下体会中心对称的作用，以及在简单图形背景下构造中心对称的切入点中点。 图（1） 图（2）简单做法：如图（2）过点B作BE/AD交射线DC于E，则易证BCEACD例题1：如 图（3），点C是线段AB的中点，,求证：AD=BF设计意图：在引例的基础上使图形背景适当复杂，让学生体会在复杂图形背景中拆分图形的能力以及进一步感受中点的作用提供构造中心对称. 图（3） 图（4）简单做法：过B作BE/AD交FC的延长线于E（或过A作AE/BF交FC的延长线于E）易证ADCBEC，有BE=AD且ADC=E,于是有,所以BF=BE,进而有AD=BF。例题2 如图，在正方形ABCD中，BEF为等腰直角三角形，且BF为底，取DF的中点G，连EG、CG.（1）若底边在BC上，如图（5）探究EG和CG的数量关系并证明；（2）若直角边BE在BC上，如图（6）图（5） 图（6） 图（7）设计意图：使图形背景进一步复杂，让学生深刻体会中点的作用以及对同一问题的不同看法和做法，寻求解决问题方法的同时寻求不同解决问题的途径，进而培养学生对图形的拆分能力以及对问题的分析和解决能力。（可以在学生充分讨论的基础上进行交流）简单证明：（1）如图（8）延长EG到M使GE=GM，连接DM、CM、CE易证GEFGMD,得到DM=EF=BE，进而可以证明CEBCMD，可以得到ECMC，易得CG是直角CEM斜边上的中线，因此有GC=EG（评注：本方法比较复杂，但是在解决问题的过程体现了两点，第一充分运用了中点的作用，构造了中心对称型的全等形；第二为解决下两个问题铺平了道路）（2）如图（9），延长EG交CD于M，易证GEFGMD，得G为EM的中点易得CG为直角ECM的斜边上的中线，于是有GCGE（评注：本问题在（1）的思路的指导下能够方便简洁的解决，进一步体现了中点G在本问题中的重要作用） 图（8） 图（9） 图（10）（3）如图（10），延长EG到M，使EG=GM，连CM、CE易证EFGMDG，则EF=DM、EFG=MDGDBE+DFE+BDF=90，DBE+GDM+BDF=90MDC+DBE=45, EBC+DBE=45,EBC=MDC，进而易证CBECDM,EC=CM、ECB=MCD易得：ECM=90CG为直角ECM斜边EM的中点，EG=GC教师分析：问题（1）可以运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半很容易的解决，但是在解决第二个问题甚至第三个问题时此方法并不能很好的奏效，那么能否寻找一种同一的思路来解决本问题呢？此时可以强调图中中点G的作用构造中心对称，引导学生从中点（基本图形）切入，对问题进行分析思考，进而利用中点构造基本的中心对称图形，达到解决问题的目的，体会中点所起的作用。问题拓展思考：（08年中考25题）请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结若，探究与的位置关系及的值小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决DCGPABEF图2DABEFCPG图1请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）解：（1）线段与的位置关系是；（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化证明：如图，延长交于点，连结是线段的中点， DCGPABEFH由题意可知， ，四边形是菱形，由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，可得 四边形是菱形， ，即，（3）评注：本题也是充分利用了中点（点P）的作用，构造了相应的中心对称图形，进而使问题得以顺利解决。二、关于角平分线、线段的中垂线例1.如图1,已知在中，是的平分线求证：图1 图1-1设计思想：本题要证明一条线段等于另一条线段的2倍，通过以角平分线为对称轴实现轴对称变换，把相关的两条线段集中到同一个有30O角的直角三角形中，利用30O角所对的直角边是斜边的一半来证.证明: 如图1-1,在BC上截取BA=BA,连结DA.BD平分ABC,ABD与ABD关于BD对称,即ABDABD.DA=DA且A=BAD=90O.ABC=2C且ABC+C=90O,C=30O.在RtACD中,DAC=90O,C=30OCD=2DA. CD=2DA. 例2. 已知，如图1,是的角平分线，且，为AD上一点. 求证：. 图1 图1-1设计思想：本题要证线段之间的不相等关系,通过以角平分线为对称轴实现轴对称变换，把相关的线段集中到同一个三角形中，利用三角形三边关系定理来证.解：如图1-1， ,在线段AB上截取AC使AC=AC,连结PC是的角平分线,APC与APC关于AD对称,即APCAPC.PC=PC.在PBC中,BCPB-PC,AB-ACPB-PC.AB-AC PB-PC.例3(06课标)如图1，在ABC中，B=60O，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F，求证：FE=FD。 图1 图1-1设计思想：本题实行两次轴对称变换，先以角平分线AD为对称轴，构造全等三角形，把线段FE转到FG；再以角平分线CE为对称轴，构造全等三角形，把线段FG转到FD，从而得到FE=FD. 证：如图1-1，在AC上截取AGAE，连结FG. 因为12，则AEFAGF. 所以AFEAFG，FEFG. 由B60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线, 可得2360. 所以AFECFDAFG60. 所以CFG60. 由34，可得CFGCFD.所以FGFD.所以FEFD.例4.（09湖北宜昌）已知,如图1,AF平分BAC，BCAF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF,AF相交于P，M(1)求证：ABCD.(2)若BAC2MPC，请你判断F与MCD的数量关系，并说明理由 图1设计思想：本题是证明线段和角相等的问题,综合应用轴对称的性质、等腰三角形的性质和判定、等角的余角或补角相等、三角形内角和定理等知识.解：(1)证明：AF平分BAC，CADDABBACD与A关于E对称，E为AD中点BCAD，BC为AD的中垂线.ACCD 在RtACE和RtABE中，CAD+ACEDAB+ABE90， CADDAB,ACEABE.ACAB ABCD (2)答: MCDF证明:BAC2MPC， 又BAC2CAD，MPCCADACCD，CADCDA. MPCCDA MPFCDM ACAB，AEBC，CEBE AM为BC的中垂线.CMBM EMBC，EM平分CMB. CMEBME BMEPMF，PMFCME.AMCDCF.DCFFCM+DCM,AMCF+FCM.MCDF三、与等边三角形、正方形相关的图形变换例题1 如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点如图1，求证：；探究：如图1， ；如图2， ；如图3， 设计意图：使图形背景进一步复杂，让学生深刻体会旋转变换的作用以及对同一问题的不同看法和做法，寻求解决问题方法的同时寻求不同解决问题的途径，进而培养学生对图形的拆分能力以及对问题的分析和解决能力.例题2： 如图，正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，边与交于点若正方形的边长为，重叠部分（四边形）的面积为，求旋转的角度 师：共顶点的两个正方形在旋转的过程中，重叠部分即四边形的大小一直在变化，但组成这个四边形的两个三角形始终是全等的，图形在旋转变换的过程中，通过观察与想象，掌握运动的本质，在图形运动中寻求不变量，以便解决问题例题3 已知：，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.（1）如图1，当APB=45时，求AB及PD的长；（2）当APB变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应APB的大小. 解：（1）如图2，作AEPB于点E 从而在RtABE中， 图1图2 （2）如图2，因为四边形ABCD为正方形，可将PAD绕点A顺时针旋转90得到，可得， 如图3所示，将PAD绕点A顺时针旋转90得到， PD 的最大值即为的最大值. 中，且P、D两点落在直线AB的两侧， 当三点共线时