费马定理在等差数列关系下及类半圆结构,及二元二次换元式及还原性.doc

此文档收集于网络，如有侵权，请联系网站删除费马定理与等差数列的关联，及二元二次换元式的还原性本篇讲述的主要是费马定理与正整数等差数列之间的关系，以及如何运用这种等差关系，来建立一个等价的二元二次方程，最后通过数值分析的方法来解释费马定理。我个人认为本篇最有价值的地方在于构建了一个全新的数学模式，并不是对不定方程x+y-z0做个形式上的变换，而是利用数的特征来构模，与其他的方法相比思路是完全不同的。在整个论述的过程中，并没有假设命题的成立或者是不成立。而是将两种因素都考虑在了其中，在极力找到命题成立的依据的同时，也不排除命题不成立的可能，因此整个证明过程都保证了较高的客观性。本文的结构大致为， 第一构建数模第二得出x+y-z的换元式， 第三x+y-z的等价命题及证明 第四换元式的还愿性（包括还愿性的定义，还原性的证明，还愿性存在的有原因，还原性的适用范围，还原性的使用条件） 第五x+y-z0的证明值得注意的是：（1）换元式及换元式的还原性的适用范围为X+Y-Z其中X Y Z,互素且都为正整数，YXZ, 3ttt或3ttt。换句话来说，不定方程X+YZ，也是成立的。而费马定理的完整表述应该为X+YZ，即一个正整数的t次方不等于另外两个正整数的小于或等于t次方之和。3t,另外两个正整数的指数3tt或3tt。（2）需要强调的是换元式及换元式的还原性的适用范围不包括二次方，具体原因，在下面文章中会有解释。 第一节平方数的特征及运用即数模的构建 相信除了勾股定理，平方数还有其他很多的特征。下面的一个特征，相信很多人都知道。比如5很多人想到的都是勾三股四，也就是一个直角三角形的三边。但还有一个规律，在命题的转换以及证明中都发挥了关键的作用：那就是5=1+2+3+4+5+4+3+2+1，6=1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1,X=1+2+3+4+X+.4+3+2+1.除此之外，还可以给这一特征建立一个同样很有规律的线段图。及以一个单位长度表示1。做底边长为2X的一个等腰直角三角形。然后将底边进行2X等分，通过个等分点，做垂直于底边的直线。各直线与两腰相交，等分点到交点的各垂线段之和等于1+2+3+4+.X+4+3+2+1,也就是刚好为x。这样我们就得到了一个有关于X的数模。到这里会产生这样的疑问，X Y Z，都存在类似的数模，那么这样的数模到底有什么样的作用。虽说X Y Z也存在类似的数模，但和平方数相比，在内容上和形状山个都发生了改变。首先一点不能再做成一个等腰直角三角形的形状（这是由正整数的平方数的特征所决定的）。那么什么样的形状更适合于一个正整数的大于等于3次方的数模呢？我选择的是类半圆曲线。如上因为X=1+2+3+4+X+.4+3+2+1，X=XX 所以X=1 X+2 X+3 X+4 X+X X+.4 X+3 X+2 X+1 X。 X的数模可以表示为：以一个单位长度表示1，以2X的长度为一条弦，通过这条弦做一个近似于半圆的曲线。然后将这条弦进行2X等分，通过个等分点做与曲线相交的垂线段。从左至右，各线段分别表示为1 X，2 X，3 X，4 X，X X，.4 X，3 X，2 X，1 X。如图所示同理：Y Z分别可以表示为下面的两个数模。居然求证的是X，Y，Z之间的和差关系，所以把三个数模给予整合，在取同一单位的情况下（即以同样长的一个单位长度来表示1），将Y的数模平齐的放在Z数模的左端，X数模也是平齐的放在Z数模的右端。三条弦在同一直线上。各半圆，及半圆内的各线段重合相交。除去共有的部分。 于是：X +Y-Z就等价于图中A所截取的线段之和，减去B所截取的线段之和。 第二节不定方程的换元不定方程X+Y-Z的换元，辅助线，辅助点，辅助区的引入。以上图为基础，根据等差线段的特征，以及求证的需要划定a b c d e f g七个区，划定的各个区内所包含的线段都满足等差数列特征。e 为辅助区，g 为含有辅助区e的一个区。其它a b c d f 各区为上图中阴影部分中的实区。其中a为弧线AA和线段AA AA 区域所截得的所有是线段之和；b为弧线BB和线段BB BB 区域所截得的所有是线段之和c为弧线CC CC和线段CC 区域内所截得的所有实线段之和；d为弧线DD DD和线段DD所围成的区域内所截得的线段之和f为弧线FF FCC 和线段 FC所围成的区域内截得的所有的线段之和g为弧线GG GDD辅助弧线GE和线段ED 围成区域内所截得的所有线段与辅助区e内所包含的所有辅助线段之和,e包含在g中e为辅助区，由弧线GE和辅助弧线GE 以及辅助线段EE所围成的区域，其所包含的值为延长后的实线段在该区内所截得的线段总长之和。该区位辅助区，故该区内组成值的线段也为辅助线段 关于辅助线，辅助区的说明。GE为辅助曲线它的作用是使原本不符合等差计算的区域（或区域内不含等差线段）。通过增设e区，和原来弧线GGE和弧线GDD所含线段组合后 ，形成有规律的g区。原来的值等于g-e弧线CC 和弧线DD也同为辅助线，它们的作用是划分，将一个不符合等差线段排列的区域，划分为两个符合等差线段排列的区域。弧线CC的作用是将现有弧线FF弧线FCC所围的区域划分为c和f；弧线DD是将由弧线GGE和弧线GDD (包含辅助区e在内)所围得的区域划分为d和g,d和g同时符合等差线段排列特质。换元未知数n和m1虚线L与实线段FA EB，虚线为辅助线，实线段为X，Y，Z半圆等差线段群中的一个完整线段，或者是一个部分。L为经过X半圆曲线与Y半圆曲线的交点且平行于各实线段（或垂直于各弦）的一条辅助虚线。线段FA EB为Z半圆分析图中的两条是线段，虚线L在这两条线段的中间，两条线段的距离为一个单位长，或者是“1”未知数n和m的引入未知数n的实际含义为线段AA的长度，m的实际含义为线段BB的长度，n与m的大小，以及比例关系，恰好反映了X，Y，Z，之间的比例大小关系，更重要的一点所设的七个区的值，亦可以表示为与n m相关的几组代数式。因为X+Y-Z等价于上图中A中所含的是线段的值，减去B区中所包含的所有是线段的总长，又因为A区中的的值等于a+b;B区中的值等于c+d-e+f+g。故可以把X+Y-Z换元为与n m相关的一组代数式。亦可以假设n和m使这租代数式的值为0，然后求出n m.若n m的值符合X，Y，Z半圆曲线图的特征，或能反映出X+Y-Z=0的组合要求。那么所提出的命题X+YZ，就为错误，相反，即为正确。七个区a b d e f g与n m相关代数式根据前面所设，以及一个正整数大于大于3次方的等差数列组合特征，所设七个区中每个区所含的各个线段长度均符合，等差数列特征。其中a=, b= c=y(y-m)(y-m-1) d=x(x-n)(x-n-1) e=z(1+m-2y+z)(m-2y+z) f=g=设n m使a+b-c-d-f-g+e=0,方程两边同时乘以2，化去含有分数的项2a = x (1+n)n 2b =y(1+m)m = x (n+n) = y(m+m) = nx+ n x = my+ m y2c=2 y (y-m)(y-m-1) =2 y (y-my-y-my+ m+m)=2y-4m y-2 y+2 my+2m y2d= 2x (x-n)(x-n-1) =2x (x-nx -x- nx +n+n) =2x- 4n x-2x+2 nx+2n x2f=(z-y)(2y-m)(2y-m-1) =(z-y) (4y-4my+m-2y+m)=4yz-4my z+ mz-2y z+m z-4 y+4my- my+2 y-m y2g=( z- x)(2x-n)(2x-n-1) =( z- x)(4x-4n+n-2x+n) =4xz-4n z+ nz-2x z+n z-4x+4nx- nx+2 x-n x2e= z(1+m-2y+z)(m-2y+z) = z(m-2y+z+ m-4my+2mz+4y-4yz+z)=2m z-4y z+2z+2 mz-8my z+4m z+8yz-8y z+2z合并各代数式化简得出换元方程nx+ nx+ my+ m y-2y+4m y+2 y-2my-2m y-2x+4n x+2x-2 nx-2n x-4yz+4my z- mz+2y z-m z+4 y-4my+my-2y+my-4xz+4nxz- nz+2xz-n z+4x+4nx+ nx-2 x+n x+2m z-4y z+2z+2 mz-8my z+4m z+8yz-8y z+2z=0方程两边同时乘以-1，化简整理后得：- mz+4my z-4m z-m z+4 xz-2x z+2y z-2 z-4 yz+8y z-2 y-2 x-2 z+ nz+n z-4nx z=0上述的这个关于n m的二元二次方程就是一个关于X+Y-Z值的换元方程。因为n m的值的大小取决于X，Y，Z半圆曲线分析图相互间的大小以及比例关系，也就是X，Y，Z相互间的比例以及大小关系。故通过分析n m可以侧面反映出X，Y，Z间的大小以及比例关系，而X+Y-Z的值就取绝于X，Y，Z间的大小以及比例关系。故通过分析n m在逻辑上可以判断X+Y-Z的值。 第四x+y-z的等价命题及证明命题（1）：X+Y-Z=0等价于方程：-mz+4my z-4m z-m z+4 xz-2x z+2y z-2 z-4 yz+8y z-2 y-2 x-2 z+ nz+n z-4nx z=0，其中有一组关于n m的解的和等于2x+2y-2z-1。相反若找不到一组解的和等于2x+2y-2z-1，那么X+Y-Z0。备注：此命题是通过，半圆曲线分析图得出的，即X+Y-Z若等于0，那么n与m的和必定符合X，Y，Z三个半圆曲线分析图的组合规律.因为n和m的值的意义就是使两个影阴影部分A B相减的值为零，若X+Y-Z=0，那么半圆曲线图中（A）（B）相减的值本来就为零，所以n与m的和必定符合X Y，Z三个半圆曲线分析图的组合规律.，即n与m的和必定等于2x+2y-2z-1；相反若X+Y-Z0，n m要使半圆曲线图中（A）（B）相减的值为零，即组合代数式的值为零，那么n与m的和，必定不能等于2x+2y-2z-1命题（2）：同时X+Y-Z=0也等价于方程：-mz+4my z-4m z-m z+4 xz-2x z+2y z-2 z-4 yz+8y z-2 y-2 x-2 z+ nz+n z-4nx z=0，其中有一组关于n m的解的差（n-m）等于2x+2y-2z。同理若找不到一组解的差等于2x+2y-2z，那么X+Y-Z0。（X+Y-Z会否等于0，也可以理解为已知函数f (m) -mz+4my z-4m z-m z+4 xz-2x z+2y z-2 z-4 yz+8y z-2 y-2 x-2 z是否存在一个函数f(n) nz+n z-4nx z, 在n+m=2x+2y-2z-1的取值范围内两个函数的对应的函数值相加总等于0，因为两个函数都是一元二次，而一元二次函数都具有对称性，故存在另一组等价的取值范围n-m=2x+2y-2z,两个取值范围，实际上就是两个函数坐标图顶点横坐标的和以及差。因为命题（1）和命题命题（2）是等价命题，故证明了其中的一个也就证明了另外的一个。同时，因为只要否定了一组解不等于或不会出现上述两种情况中的其中一种，就可以否定命题X+Y-Z=0。所以即没有必要同时证明命题（1）和命题命题（2），也没有必要去讨论多组解。于是：命题（3）X+Y-Z0，等价于方程：-mz+4my z-4m z-m z+4 xz-2x z+2y z-2 z-4 yz+8y z-2 y-2 x-2 z+ nz+n z-4nx z=0，当m=n+1（n-m=-1，2x+2y-2z-1）时，n+m2x+2y-2z-1。 命题（3）的证明：把m=n+1，代入不定方程-mz+4my z-4m z-m z+4 xz-2x z+2y z-2 z-4 yz+8y z-2 y-2 x-2 z+ nz+n z-4nx z=0，求出n m的值计算过程如下-(n+1)z+4(n+1)yz-4(n+1)z-(n+1)z+4xz-2xz+2yz- 2z-4yz+8yz-2y-2x-2z+nz+nz-4nxz=0-nz-2nz-z+4nyz+4yz-4nz-4z-nz-z+4xz-2xz+2yz-2z-4yz+8yz-2y-2x-2z+nz+nz-4nxz=0-2nz+4nyz-4nz-4nxz=2z-4yz+4z-4xz+2xz-2yz+2z+4yz-8yz+2y+2x+2zn(-2z+4yz-4z-4xz)=2z+6z-4xz+2xz-6yz +4yz-8yz+2y+2x+2zn=m=n+1=n+m=若当m=n+1（n-m=-1，2x+2y-2z-1）时，n+m=2x+2y-2z-1，则：=2x+2y-2z-1z=(2x+2y-2z-1)( )z=-4xz+8xyz-8xz-8xz-4yz+8yz-4yz-8xyz+4z-8yz+8z+8xz+2z-4yz+ 4z+4xz移项化简后得：4x+4y-4z=0x+ y-z=0,也就是说当x+ y-z=0时，在m=n+1（n-m=-1，2x+2y-2z-1）的条件下n+m=2x+2y-2z-1。相反当x+ y-z0时在m=n+1（n-m=-1，2x+2y-2z-1）的条件下n+m2x+2y-2z-1。故命题（3）成立，也就是：X+Y-Z0，等价于方程：-mz+4my z-4m z-m z+4 xz-2x z+2y z-2 z-4 yz+8y z-2 y-2 x-2 z+ nz+n z-4nx z=0，当m=n+1（n-m=-1，2x+2y-2z-1）时，n+m2x+2y-2z-1。 第四换元式的还原性以及费马定理的本质在这一节里主要回答两个问题：第一为什么费马定理要规定t3,第二不定方程X+Y-Z0的正确性以及可证性。费马定理X+Y-Z0与不定方程X+Y-Z0其中X Y Z,互素且都为正整数，YXZ, 3ttt或3ttt，X+Y-Z0，包括t =t= t3 t =t t3t = t t3等，三种主要形式。费马定理属于第一种情况。而这些不等式都是成立的，且成立原因都是一样的。它们都可以列出一个换元式，而这些换元式，都缺少条件的限制。即换元式都可以被还原。这就是费马定理或类费马定理不定方程的的本质。命题：和为2x+2y-2z-1的两个数对代数式即X+Y-Z的换元式-mz+4my z-4m z-m z+4 xz-2xz+2y z-2 z-4 yz+8y z-2 y-2 x-2 z+ nz+n z-4nx z的还原性。还原性是指：当两个数之和为2x+2y-2z-1时，把其中的一个数代入换元式中的n，另一个数代入换元式中的m,化简整理后总能得到 -2（X+Y-Z）注本来换元式应该为：-（-mz+4my z-4m z-m z+4 xz-2xz+2y z-2 z-4 yz+8y z-2 y-x-2 z+ nz+n z-4nx z），化简的结果页应该为X+Y-Z，但出于习惯，除去了换元式中的分母，以及保证n项的系数为正整数，将换元式，做了适当的调整。但本身并不影响命题的证明。即若-2（X+Y-Z）=0与X+Y-Z=0并没有多大区别。当然也可以采用-（-mz+4my z-4m z-m z+4 xz-2xz+2y z-2 z-4 yz+8y z-2 y-2 x-2 z+ nz+n z-4nx z）=0作为换元方程，只不过求出的值，以及换元式，和换元式的还原性的内容有所变化，但一切的不同，都只是形式上的不同，并不会影响对不定方程X+Y-Z0的证明。如果要用的话，无非是对还原性，做个重新的定义。即和为2x+2y-2z-1的两个数对，换元式-（-mz+4my z-4m z-m z+4 xz-2xz+2y z-2 z-4 yz+8y z-2 y-2 x-2 z+ nz+n z-4nx z），具有还原性，把其中的一个数代入换元式中的n，另一个数代入换元式中的m,化简整理后总能得到 X+Y-Z。 故所用的换元方程不同，所做的论述也会发生不同，但实质和原理不会发生改变。本次论述选择的是以作为换元方程，-mz+4my z-4m z-m z+4 xz-2xz+2y z-2 z-4 yz+8y z-2 y-2 x-2 z+ nz+n z-4nx z作为换元式。还原性的存在原因：第一个就是最小指数大于等于3的条件，这也是为什么费马定理会成立的一个原因，当然也是不定方程X+Y-Z0成立的一个原因。为什么呢？这是因为对应的换元式的还原性，需要最小指数大于等于3. 而换元式的还原性才是命题X+Y-Z0，成立的本质原因。还原性的实质是条件的非控制性，也就是缺少条件的控制。由于缺少条件的控制，使换元方程拥有无数个符合条件的解。当X+Y-Z=0时，就必须要求这些解的和等于2x+2y-2z-1，或差等于2x+2y-2z。居然解的和是等于2x+2y-2z-1，那么这个解势必也要具有还原性。如果没有还原性，说明，它的和并不等于我们所要的条件，根据前面对命题（3）的证明，就可以推出X+Y-Z0。事实上，没有一组数既是解又能具有还原性的，解的实质无非就是把换元式还原成 0 （X+Y-Z）。而在两数之和为2x+2y-2z-1时，无论X+Y-Z的值如何，都能将其对应换元式还原。这个条件很重要，这保证命题的证明，不是在假设X+Y-Z等于0，的条件下，去寻找不符合事实的依据，因为在X+Y-Z这个代数式中包含了，太多太多的数，你无法否定所有的可能，这可能也是为什么费马定理很难证明的一个原因。而在本篇论述中并没有这样的假设。因为还原性，仅与两个数的和是否等于2x+2y-2z-1有关（与X+Y-Z的值无关）。如果某组数，不具有还原性，仅仅是因为它不满足还原性的条件，即和不等于2x+2y-2z-1。回到前面的论述，还原性是因为条件限制不够，或者是条件无法限制，而条件无法限制是因为最小指数大于等于3.因为当t3时，nxmy,也就是线段FA EB所代表的值并不相等。这是因为x y互素，故要使 nx=my，n的最小值是y，m的最小值是x，但在半圆曲线分析图中对n m的取值都做了明确的要求及nx ,my，或者在X，Y的等差值线段表达图中，至少有一个值是不存在的，即在Y的等差线段图中不存在那条线段值为xy。（因为yx, Y中的最大线段值肯定小于xy），故在值为nx，my的两条线段间也就是线段FA EB存在着一个单位“1”的距离。这使得在建立换元式的过程中，对n m之间的数学关系无法界定，或者缺少条件的控制。而在平方的情况下即X Y Z的线段图中是不存在对应的“1”的差距的，这样在建立对应的换元方程的时候就会对n m有严格的规定，即球出的n m必定是确定且唯一的。而那些不能界定或无需界定的情况，虽存在理论意义生的唯一，但可以求出的解都是无穷多的。在X+Y-Z=0时，必然要求这些解去满足换元式的还原性，这就为证明提供了方法。这些解必然不会具有还原性。还原性在方程的构建过程来说：是因为在命题的换元过程中，在a b c d e f g的分区计算中隐性的用到了n+m=2x+2y-2z-1这个条件。所以在把这个条件用到换元式的时候，必然将换元式，还原成原来的样子，当然换句话来说，如果带进去的值不是规定的范围，那也是不能还原换元式的。换元式的还原性与X+Y-Z的值无关。仅仅是和为2x+2y-2z-1的两个数与换元式之间的一种特殊的逻辑关系。换言之，换元式的一个最大的作用就是可以检验两个数的和是否等于2x+2y-2z-1，如果是的话具有还原性，如果不是那么对于换元式来说就不会具有还原性。 还原性的证明n+m=2x+2y-2z-1，对换元式-mz+4my z-4m z-m z+4 xz-2xz+2y z-2 z-4 yz+8y z-2 y-2 x-2 z+ nz+n z-4nx z的还原作用。是指将和为2x+2y-2z-1两个数，其中一个数代入式中的n,另一个数，代入式中的m,经化简以后，无论，X+Y-Z的值为什么，最后的结果都是-2（X+Y-Z）证明：假设其中的一个数就是n,则另一个数为（2x+2y-2z-1-n）代入换元式（或者是检验式）得：-z（2x+2y-2z-1-n）+4y z（2x+2y-2z-1-n）-4（2x+2y-2z-1-n） z-z（2x+2y-2z-1-n）+4 xz-2xz+2y z-2 z-4 yz+8y z-2 y-2 x-2 z+ nz