《理论力学》重要知识点讲解课件

静力学篇 2 二力平衡公理 作用于刚体的两力使其平衡的充分条件是此二力等值 反向 共线 力线平移定理 作用于刚体上的力可在其上向任意点平移 平移后要附加一个力偶 附加的力偶矩等于原力对平移点的力矩矢 即 平移前的一个力与平移后的一个力和一个附加力偶等效 1 理论力学 研究刚体 在力的作用下 其内部任意两点之间的距离始终保持不变的物体 或质点系的受力 力的简化和平衡 运动规律 以及运动和力的关系 力的可传性原理 作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一点 而不改变该力对刚体的效应 三力平衡汇交定理 刚体受共面但不平行的三个力作用而平衡 则此三力作用线必汇交于同一点 EngineeringMechanics 加减平衡力系原理 在已知力系上加上或减去任意一个平衡力系 并不改变原力系对刚体的作用 一 静力学基础知识 3 力偶性质 1 力偶无合力 无合力不等于合力为零 力偶不能用一个力来等效替换 力和力偶是静力学和两个基本要素 2 力偶对其作用面上任意点之矩 恒等于力偶矩 而与矩心位置无关 3 力偶的等效性 在同一平面内的两个力偶 如果它们的力偶矩大小相等 力偶的转向相同 则这两个力偶是等到效的 称为等效力系 推论一 力偶可移转 只要保持力偶矩不变 包括大小和转向 力偶可以在其作用面内任意移转 而不改变其对刚体的作用效果 推论二 力偶可改装 只要保持力偶矩不变 包括大小和转向 可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短 而不改变力偶对刚体的作用效果 EngineeringMechanics 4 合力矩定理 合力与分力对某点 轴 的力矩的关系 约束反力 约束给被约束物体的力叫约束反力 1 概念 自由体 位移不受限制的物体叫自由体 非自由体 位移受限制的物体叫非自由体 约束 对非自由体的某些位移预先施加的限制条件称为约束 这里 约束是名词 而不是动词的约束 TheoreticalMechanics 二 约束与约束反力 大小常常是未知的 方向总是与约束限制的物体的位移方向相反 作用点在物体与约束相接触的那一点 2 约束反力特点 G TheoreticalMechanics TheoreticalMechanics 二 约束与约束反力 绳索类只能受拉 所以它们的约束反力是作用在接触点 方向沿绳索背离物体 3 约束类型和确定约束反力方向的方法 1 柔性约束 由柔软的绳索 链条或皮带构成的约束 约束反力作用在接触点处 方向沿公法线 指向受力物体 2 光滑面约束 光滑接触面的约束 光滑指摩擦不计 P P 3 光滑圆柱铰链约束 中间铰 中间铰 TheoreticalMechanics A 2 反力方向 通过接触点 圆心沿公法线方向 但接触点位置未知 故画通过圆心的两个正交的分力来表达 1 特点 限制两自由体的相对转动 二 约束与约束反力 固定铰支座 1 特点 只能限制非自由体 自由体的相对移动 不能限制相互转动 2 反力方向 通过铰心 方向不定 见铰画二个 力 一般是相互垂直的个力 也可不垂直 但不方便 大小 方向待定 3 力学模型 TheoreticalMechanics 可动铰支座 辊轴支座 1 特点 只限制非自由体沿接触点公法线向约束体内的运动 而不能限制它向其他任何方向的运动 2 反力方向 通过接触点沿法线指向非自由体 3 力学模型 二 约束与约束反力 固定端支座 1 特点 限制非自由体的移动和转动 2 反力方向 水平反力FAx 竖向FAy和反力矩mA 三 反力大小 方向待定 3 力学模型 1 概念 选择研究对象 然后根据已知条件 约束类型并结合基本概念和公理分析它的受力情况 这个过程称为物体的受力分析 TheoreticalMechanics 作用在物体上的力有 一类是 主动力 如重力 风力 气体压力等 二类是 被动力 即约束反力 三 受力分析 2 受力分析 1 受力图 物体所受的全部主动力和约束反力以力矢表示在分离体上 这样所得的图形 称为受力图 2 受力图的作法 分离研究对象 将研究对象照原图画出 不徒手画 画全部主动力 方位要准确 不得遗漏 画出全部约束反力 按一定的顺序 将约束一个一个地去掉 每去一个约束就代以一个相应的约束反力 约束全部除去 约束反力全部画出 约束反力作用线必不须经过研究对象的约束接触点 脱离体 把需要研究的图形从周围的物体中分离出来 单独画出的简图 3 注意事项 3 不要多画力 4 不要错画力 作用线准确 平衡的二力构件只画二个力 柔软性约束只能承受和施与拉力 光滑面约束过点垂直公切面 力线平移定理只能在刚体内平移 1 不要徒手画 2 不要漏画力 要明确是否不计重量和摩擦 约束反力通过接触点而产生 一遇到力就要考虑施力物是谁 当有2个以上主动力时 作用力和反作用力要反着画 成对的正交分力也要成对反着画 TheoreticalMechanics 三 受力分析 一个力属于外力还是内力 因研究对象的不同而不同 当物体系统拆开来分析时 原系统的内力就成为新研究对象的外力 5 受力图上只画外力 不画内力 6 同一系统各研究对象的受力图必须整体与局部一致 相互协调 不能相互矛盾 对于某一处的约束反力的方向一旦设定 在整体 局部或单个物体的受力图上要与之保持一致 应去掉约束 应去掉约束 TheoreticalMechanics 三 受力分析 例1 作受力图 例2 不计摩擦 作AB杆受力图 TheoreticalMechanics 三 受力分析 例3 作扳 求的受力图 FAx FAy FND FNE FTB FND TheoreticalMechanics 三 受力分析 说明 三力平衡必汇交当三力平行时 在无限远处汇交 它是一种特殊情况 例4 画出下列各构件的受力图 TheoreticalMechanics 三 受力分析 O TheoreticalMechanics G 欲求D处的反力思路 先研究物系整体 以A为矩心列力矩平衡方程求出F处的约束反力FNF 再研究球O 列水平方向力的投影平衡方程求F ND 三 受力分析 例6 等腰三角形构架ABC的顶点A B C都用铰链连接 底边AC固定 而AB边的中点D作用有平行于固定边AC的力F 如图所示 不计各杆自重 试画出杆AB和BC的受力图 TheoreticalMechanics 三 受力分析 H TheoreticalMechanics 三 受力分析 FAy F FAx FB TheoreticalMechanics FC FB FC 例7 如图所示 梯子的两部分AB和AC在A点铰接 又在D E两点用水平绳连接 梯子放在光滑水平面上 若其自重不计 但在AB的中点处作用一铅直载荷F 试分别画出梯子的AB AC部分以及整个系统的受力图 FA FA 欲求绳子拉力思路 先研究物系整体 以B为矩心列力矩平衡方程求出C处的约束反力 再研究AC杆 以A为矩心列力矩平衡方程求绳子的拉力 三 受力分析 例8 画出下列各构件的受力图 TheoreticalMechanics 三 受力分析 例9 画出下列各构件的受力图 TheoreticalMechanics 三 受力分析 例题10 如图所示平面构架 由杆AB DE及DB铰接而成 钢绳一端拴在K处 另一端绕过定滑轮 和动滑轮 后拴在销钉B上 重物的重量为G 各杆和滑轮的自重不计 1 试分别画出各杆 各滑轮 销钉B以及整个系统的受力图 2 画出销钉B与滑轮 一起的受力图 3 画出杆AB 滑轮 钢绳和重物作为一个系统时的受力图 TheoreticalMechanics 三 受力分析 FA FCy FCx FBx A FBy A FK FEy FEx FByI FBxI FTG FTII FTB 1 销钉B不与构件固结 三 受力分析 G FA FEx FEy 整体的受力图 TheoreticalMechanics FCy G FA FCx 杆AB 滑轮 以及重物 钢绳 包括销钉B 一起的受力图 三 受力分析 1 研究梁AB 如图 b 所示 由力偶只能与力偶平衡的性质 力FNA与力FNB组成一力偶 两力等值反向 解 b TheoreticalMechanics 力偶M对梁的作用效果与其在梁上的位置无关 因此 图 b 中A B两处的约束力同图 a 的结果相等 四 平面力偶系 例1 如图 a 所示 已知长为l的梁AB上作用一矩为M的力偶 不计梁的自重 求支座A B的约束力 平面力偶系的平衡方程 例2 圆弧杆AB与直角杆BCD在B处铰接 A D处均为固定铰链支座 如图 a 所示 若已知r M 并不计各杆的自重 求A D处的约束力 2 研究杆AB杆 受力如图 c 所示 列平衡方程 1 杆BCD为二力杆 受力如图 b 所示 两力等值反向 解 a b c TheoreticalMechanics 四 平面力偶系 例3 在一钻床上水平放置工件 在工件上同时钻四个等直径的孔 每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和A B端水平反力 解 由于工件只受到4个主动力偶作用 根据力偶只能与力偶平衡的性质 工件所受光滑面约束反力FNA与力FNB必然组成一力偶 根据平面力偶系平衡方程有 TheoreticalMechanics 三 平面力偶系 解 1 研究AB杆求FNA 故 根据力偶只能力偶来平衡受力如图 b 所示 两力等值反向 列平面力偶系平衡方程 2 研究系统整体 受力如图 c 两力等值反向 列平面力偶系平衡方程 故 c TheoreticalMechanics 方法一 四 平面力偶系 c 解 1 研究AB杆求FNA 故 根据力偶只能力偶来平衡受力如图 b 所示 两力等值反向 列平面力偶系平衡方程 2 研究CD杆 F NC与FNC是作用力与反作用力 受力如图 c 两力等值反向 列平面力偶系平衡方程 故 TheoreticalMechanics 方法二 四 平面力偶系 1 平面任意力系向作用面内一点简化 1 力的平移定理 定义 作用于刚体上的力可向任意点平移 平移后要附加一个力偶 附加的力偶矩等于原力对平移点的力矩 即 平移前的一个力与平移后的一个力和一个附加力偶等效 推导 原理 加减平衡力系原理 意义 一个力可变换为一个力与和一个力偶 反之 一个力与和一个力偶也可以合成一个力 合力 TheoreticalMechanics 五 平面任意力系的合成与平衡 2 平面任意力系向作用面内一点简化 主矢和主矩 简化中心 平面一般力系各力平移后的汇交点称为力系的简化中心 主矢 平面一般力系各力平移后 所得的平面汇交力系各力的矢量和 原理 主矩 平面一般力系各力平移后 所附加的平面力偶系的 力偶矩的代数和 即所有的荷载对简化中心的力矩的代数和 TheoreticalMechanics 五 平面任意力系的合成与平衡 探索与发现 能否称为合力 能否称为合力偶 若选取不同的简化中心 对主矢 主矩有无影响 TheoreticalMechanics 五 平面任意力系的合成与平衡 主矢 主矩 最后结果 说明 合力 合力 合力作用线过简化中心 合力作用线距简化中心 合力偶 平衡 与简化中心的位置无关 与简化中心的位置无关 平面任意力系简化结果分析 TheoreticalMechanics 五 平面任意力系的合成与平衡 2 平面任意力系平衡方程的三种形式 一般式 二矩式 A B两个矩点连线 不得与投影轴垂直 三矩式 A B C三个取矩点 不得共线 TheoreticalMechanics 五 平面任意力系的平衡 3 平面任意力系平衡问题的解题步骤 1 取 选取 物体系或部分物系 为研究对象 2 画 对所取研究对象进行受力分析 画受力图 4 列 列平衡方程 3 三选 选择适当的坐标轴 矩心和平衡方程形式 注意 尽可能地以多个未知力的交点为矩心 投影轴尽可能地与多个未知力垂 5 解 求解方程 6 校 校核所得结果 TheoreticalMechanics 五 平面任意力系的平衡 例1 如图所示支架 杆AB与杆CD在A D处用铰链分别连接于铅直墙上 并在C处与杆AB铰链在一起 在杆AB上作用一铅直力F 已知AC CB F 20kN 设各杆的自重不计 求A处的约束力和杆CD所受的力 1 以杆AB为研究对象 解 杆CD为二力杆 AB CD受力如图 b 所示 2 列平衡方程 设AC CB l TheoreticalMechanics 五 平面任意力系的平衡 例2 梁AB的支撑和载荷如图 a 所示 已知M 求支座A B的约束力 1 以梁AB为研究对象 梁AB受力如图 b 所示 解 式中负号表示约束力的实际方向与图示假设方向相反 2 列平衡方程 讨论 本题实际上A B两处反力形成力偶与外力偶平衡 本题没有沿水平方向的主动力 实际上水平反力为零 可以只列两个方程 TheoreticalMechanics 五 平面任意力系的平衡 2 列平衡方程 求约束反力 1 取梁为研究对象 受力分析如图 解 例3如图所示为一悬臂梁 A为固定端 设梁上受集度为q的均布载荷作用 在自由端B受一集中力F和一力偶M作用 梁的跨度为l 求固定端的约束力 讨论 本题若力主动力F沿铅垂方向 则水平反力为零 可以只列两个方程求FAy MA TheoreticalMechanics 五 平面任意力系的平衡 例4 已知 求 支座A B处的约束力 解 1 取AB梁 画受力图 2 列平衡方程求约束力 TheoreticalMechanics 五 平面任意力系的平衡 4 物系的平衡 1 基本概念 物系 由两个或两个以上的物体所组成的系统 仅仅研究整个系统不能确定全部未知力时 为了解决问题 需要研究组成物系的某个或多个物体 如果物系是由n个物体组成 通常可以列出3n个独立的方程 对于平面汇交力系等问题 平衡方程的数目将相应减少 根据解题的需要 可以选择其中的方程用以求解未知量 物系平衡理论 当物系平衡时 组成物系的每个物体都处于平衡状态 TheoreticalMechanics 五 平面任意力系的平衡 TheoreticalMechanics 2 解题思路 荷载传递规律 计算原则 有主次之分 无主次之分 运动机构 有主次之分 无主次之分 运动机构 附属部分 基本部分 附属 基本或整体 通过约束物体间传力 整体 局部 整体 机构运动传动顺序 已知到未知逐个选取 五 平面任意力系的平衡 例5 曲柄冲床机构简图如图 a 所示 当作用于轮O上的力偶矩为M OA位于水平位置时 系统处于平衡状态 已知 OA a 若忽略摩擦和物体的自重 求 冲压力F的大小 2 研究对象冲头B 冲头受力如图所示 列平衡方程 解 1 轮O为研究对象 连杆和轮受力如图所示 列平衡方程 TheoreticalMechanics M 五 平面任意力系的平衡 例题6如图所示组合梁由AC和CD在C处铰接而成 梁的A端插入墙内 B处铰接一根连杆 已知 F 20kN 均布载荷q 10kN m M 20kN m l 1m 试求插入端A及B处的约束力 解 1 CD为研究对象 受力分析如图所示 求FB 2 研究对象整个物系 受力分析如图所示 还有其它方法吗 TheoreticalMechanics 五 平面任意力系的平衡 解 1 取整个三铰刚架研究 受力如图 b 所示 2 研究BEC部分 受力如图 c 所示 b c 注 结构对称 荷载对称 则反力必对称 TheoreticalMechanics 五 平面任意力系的平衡 解 1 取整个三铰刚架研究 受力如图 b 所示 2 研究BEC部分 受力如图 c 所示 EngineeringMechanics b c 五 平面任意力系的平衡 例9 A B C D处均为光滑铰链 物块重为G 通过绳子绕过滑轮水平地连接于杆AB的E点 各构件自重不计 试求B处的约束力 TheoreticalMechanics 五 平面任意力系的平衡 解 1 取整体为研究对象 受力分析如图 列平衡方程求 x 取杆AB为研究对象 受力分析如图 列平衡方程求B处的约束力 TheoreticalMechanics 五 平面任意力系的平衡 例10 重为G 980N的重物悬挂在滑轮支架系统上 如图所示 设滑轮的中心B与支架ABC通过独立的B销钉相互连接 AB为直杆 BC为曲杆 若不计滑轮与支架的自重 求 销钉B作用在与它相连接的每一构件上的约束力 TheoreticalMechanics 五 平面任意力系的平衡 1 取滑轮B为研究对象 受力分析如图 列平衡方程求销钉施予滑轮的反力 解 TheoreticalMechanics 2 研究销钉B 受力如图所示 列平衡方程求两二力杆施予销钉的力 由作用力和反作用力定理可知 销钉B作用在与它相连接的每一构件上的约束力分别为 五 平面任意力系的平衡 TheoreticalMechanics 六 空间力的投影 力对轴之矩 力在轴上的投影 力与该投影轴单位矢量的标量积 1 力在空间坐标轴上的投影 直角坐标系Oxyz的单位矢量为i j k 力F在各轴上投影 1 直接投影法 2 二次投影法 正负规定 与坐标正向一致取正 当外力与轴垂直 外力在该轴上投影为零 当外力与轴平行 外力在该轴上的投影的绝对值等于力的大小 2 力对轴的矩 力与轴相交或与轴平行 力与轴在共面 力对该轴的矩为零 TheoreticalMechanics 1 定义 力使物体绕定轴转动的效果的度量 力对轴的矩转化为求力在垂直于轴平面内的分力 对轴与平面的交点之矩 3 单位 N m 2 力对轴的矩是一个代数量 4 正负规定 正负号可用右手螺旋法则来判定 用右手握住转轴 四指绕向在力作用处的切线与力方向一致 若拇指指向与转轴正向一致时力矩为正 反之 为负 也可从转轴正端看过去 逆时针转向的力矩为正 顺时针转向力矩为负 六 空间力的投影 力对轴之矩 运动学篇 1 定义 刚体在运动过程中 若其上任一直线的方位相对于所选参考系始终保持不变 则称此刚体相对于该参考系作平动 2 分类 根据刚体上各点的轨迹可能是直线或曲线 又将平动分为直线平动 电梯的升降 和曲线平动 荡木AB的运动 一 刚体的平动的轨迹 速度 加速度 刚体的基本运动 刚体平动时 各点轨迹形状完全相同且互相平行 每一瞬时刚体上各点的速度和加速度相同 TheoreticalMechanics 1 定轴转动刚体内任一点的速度 2 定轴转动刚体内任一点的加速度 1 切向加速度 反映速度大小变化快慢 沿切线与向 转向一致 2 法向加速度 反映速度方向变化快慢 指向转轴O 二 定轴转动刚体内任一点的轨迹 速度 加速度 1 定轴转动定义 刚体内有一条始终保持不动的直线转轴 不在轴线上的各点均在垂直于转轴的平面内绕轴与平面的交点作圆周运动 半径为点到转轴的距离 TheoreticalMechanics 例1试画出图中刚体上 两点在图示位置时的速度和加速度 刚体的基本运动 3 三种运动 绝对运动 absolutemotion 动点相对于静系的运动 相对运动 relativemotion 动点相对于动系的运动 牵连运动 convectedmotion 动系相对于静系的运动 1 一个动点 1 有关概念 复合运动 相对运动 牵连运动 不考虑质量而运动的几何点 动坐标系 相对于静参考系作运动的坐标系 O x y z 静坐标系 固定不动的坐标系 Oxyz 简称动系 简称静系 刚体的平动 转动 平面运动 物体的绝对运动可看成是相对运动和牵连运动的合成 三 点的合成运动 2 两个参考坐标系 点的复合运动 对于没有约束联系的系统 取所研究的点为动点 如雨滴 矿砂 物料 1 动点 动系和静系必须分别选在三个物体上 3 动系的运动要容易判定 如选平动和转动刚体 机构问题中 一般取常接触点 也可以取圆心为动点 4 动点选取原则 4 动系 动点的选取原则 2 静系一般固定在地面上或与地固连的机架上 动点相对动系的相对运动轨迹简单 明显 如直线 圆 点的复合运动 TheoreticalMechanics 5 三种速度 加速度 相对速度vr relativevelocity 相对加速度ar relativeacceleration 动点相对于动坐标系运动的速度 加速度 牵连速度ve convectedvelocity 牵连加速度ae convectedacceleration 某瞬时 动系上与动点相重合的点 牵连点 相对于静系运动的速度 牵连加速度 绝对速度va absolutevelocity 绝对加速度aa absoluteacceleration 动点相对于静坐标系运动的速度 加速度 为什么不说 牵连速度 加速度 是动系运动的速度 加速度 呢 思考 点的复合运动 矢量方程中包含绝对速度 牵连速度和相对速度的大小 方向六个量 已知其中四个量可求出其余两个量 2 速度合成定理 1 内容 动点的绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和 2 解题步骤 三选 三运动分析 三速度分析 求解速度 角速度 作速度平行四边形 解三角形 投影矢量 点的复合运动 TheoreticalMechanics 定理的一般表达式 2 是矢量式 符合矢量合成法则 采用矢量投影定理求解 可求解两个未知量 3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 TheoreticalMechanics 解 1 三选 例1偏心圆凸轮的偏心距 半径 凸轮以匀角速度 O绕轴O转动 试求OC与CA垂直的瞬时 杆AB的速度 AB杆上A点为动点 动系与定轴转动的凸轮固结 静系固结在机架上 分析 AB杆直线平移 只要求出AB杆上A点的速度就可以知道AB杆各点的速度 由于A点始终与凸轮接触 因此 它相对于凸轮的相对运动轨迹为已知的圆 有常接触点 点的速度合成法 TheoreticalMechanics 点的速度合成法 2 三种运动分析 绝对运动 A点随平动杆AB的直线运动 相对运动 以C为圆心的圆周运动 牵连运动 动坐标系绕O轴的定轴转动 作速度平行四边形如图示 e OC CA 3 三速度分析 速度 大小 方向 va ve vr 沿AB杆 OA 与 O转向同 CA 解三角形可知 有常接触点 例1 TheoreticalMechanics 例2急回机构 曲柄OA的与滑块A用铰链连接 当曲柄OA以匀角速度 绕定轴O转动时 滑块在摇杆上滑动 并带动摇杆O1B绕固定轴O1来回摆动 设曲柄长OA r 两轴间距离OO1 l 求 曲柄在水平位置瞬时 摇杆绕O1轴的角速度 1及滑块A相对摇杆的相对速度 例题 O O1 点的速度合成法 有常接触点 TheoreticalMechanics 点的速度合成法 解 1 三选 动点 OA杆上的点A 滑块A 动系 与摇杆O1B固连 绝对运动 圆周运动 牵连运动 摇杆绕O1轴的转动 相对运动 滑块沿滑槽的直线运动 A 分析 滑块A相对于摇杆O1B的相对运动轨迹为已知 静系 机架 2 三运动及速度分析 有常接触点 例2 TheoreticalMechanics va ve 又因为 摇杆此瞬时的角速度为 其转向为逆时针 4 求摇杆的角速度 1 方法二 解三角形 方法一 合矢量投影定理 点的速度合成法 有常接触点 例2 例3正弦机构的曲柄OA绕固定轴O匀速转动 通过滑块带动槽杆BC作水平往复平动 已知 r 求BC杆的速度 TheoreticalMechanics 点的速度合成法 例4平移杆ABC的速度 TheoreticalMechanics 点的速度合成法 例5求OA杆的角速度 TheoreticalMechanics 点的速度合成法 例6已知 凸轮半径求 j 60o时 顶杆AB的加速度 动点 AB杆上A点 静系 固连地面 动系 固连凸轮 点的加速度合成法 TheoreticalMechanics 三种运动分析 动点A 静系 绝对轨迹 动点A 动系 相对轨迹 平动 动系 凸轮 静系 凸轮 由速度合成定理 三种速度分析 作速度矢量关系图求解 作出速度平行四边形如图示 点的加速度合成法 TheoreticalMechanics 则A点的相对速度大小为 例6 加速度分析 因牵连运动为平动 故有 点的加速度合成法 TheoreticalMechanics 将上式投影到沿法线的轴上 得 整理得 作加速度矢量关系图求解 例6 例7图示曲柄滑道机构中 曲柄长OA 10cm 并绕O轴转动 在某瞬时 其角速度为 1rad s 角加速度 1rad s2 角AOB 30o 求导杆上c点的加速度和滑块A在滑道中的相对加速度 解 选择动点 滑块A 动系固连于滑道 运动分析 绝对运动以O为圆心的圆周运动 牵连运动 滑块沿铅直方向的平动 相对运动 A沿槽的直线运动 应用加速度合成定理 点的加速度合成法 TheoreticalMechanics 向x轴投影得 向y轴投影得 1 基础知识 1 刚体的平面运动可以分解为随同基点的平移和绕基点的转动 2 选择不同基点 平面图形随不同基点平移的速度和加速度不相同 3 任意瞬时 平面图形绕其平面内任意基点转动的角速度与角加速度都相同 四 刚体平面运动 2 求刚体平面运动的速度 角速度的方法 TheoreticalMechanics 基点法 速度投影法 瞬心法 刚体平面运动 1 基点法 平面图形内任一点的速度等于基点的速度与绕基点转动速度的矢量和 当已知平面图形内某点的速度大小 方向和另一点的速度方向 要求其大小时 应用速度投影定理就很方便 速度投影定理 平面图形内任意两点的速度在此两点连线上的投影相等 2 速度投影定理 刚体平面运动 TheoreticalMechanics 3 速度瞬心法 速度瞬心的速度等于零 加速度并不等于零 平面图形在其自身平面内的运动 也可以看成是绕一系列的速度瞬心的转动 速度瞬心I的位置 刚体平面运动 TheoreticalMechanics 根据牵连运动为平移的加速度合成定理 平面图形内任一点的加速度 平面图形内任一点的加速度 等于基点的加速度与绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和 3 基点法求平面运动的加速度 刚体平面运动 TheoreticalMechanics 解题步骤 TheoreticalMechanics 求平面图形内各点速度 1 运动分析 2 速度分析 4 求解 分析各杆作什么运动 平动 定轴转动 平面运动 哪些点的速度大小或方向是已知的 选谁为求速度 角速度 的基点 并作出所求点的速度平行四边形 若采用瞬心法求速度 角速度 则要作处速度的方向 判断瞬心位置 解速度平行四边形或三角形 从而求角速度 选择投影轴 将加速度矢量表达式向其投影求加速度 从而求加角速度 3 加速度分析 哪些点的加速度大小或方向是已知的 选谁为求加速度 加角速度 的基点 并作处基点的加速度方向 所求点的加速度矢量图 写出加速度矢量表达式 例1 在图所示的曲柄连杆机构中 曲柄OA长r 连杆AB长l 曲柄以匀角速度 转动 当OA与水平线的夹角 45 时 OA正好与AB垂直 试求此瞬时AB杆的角速度 AB杆中点C的速度及滑块B的速度 TheoreticalMechanics 求平面图形内各点速度的基点法 解 1 运动分析 点B的速度铅垂向上 大小未知 3 用基点法 A点的速度已知 选其为基点 作速度平行四边形 求AB角速度 C点速度 B的速度 OA作定轴转动 AB杆作平面运动 滑块B作铅垂直线平动 2 速度分析 选速度已知的点A为基点 vA r TheoreticalMechanics 求平面图形内各点速度的基点法 求AB角速度 滑块B的速度 例1 B点的速度方向已知 求B点的速度大小还可用速度投影定理 求连杆AB中点C的速度vC 仍选A为基点 TheoreticalMechanics 求平面图形内各点速度的基点法 例1 例2 车以速度v沿直线道路行驶 已知车轮的半径为r 车轮在路面上滚动而不滑动 如图 试求轮缘上M1 M2 M3 M4 M5各点的速度 TheoreticalMechanics 求平面图形内各点速度的瞬心法 解 1 运动分析 3 找速度瞬心 车轮滚动而不滑动 与地面接触的点为瞬心 轮绕该点瞬时转动 车轮作平面运动 2 速度分析 轮心O的速度等于汽车行驶速度 轮心始终以速度v直线运动 4 由瞬心法求轮的角速度和五个点的速度 TheoreticalMechanics 求平面图形内各点速度的瞬心法 例2 例3四连杆机构中曲柄OA长r 连杆AB长2r 摇杆O1B长 在图示瞬时 四连杆机构中的点O B和O1位于同一水平线上 而曲柄OA与水平线垂直 如曲柄的角速度为 O 求点B的速度 例题 TheoreticalMechanics 求平面图形内各点速度的瞬心法 方法一 速度投影定理 3 找瞬心 从A B两点分别作vA vB的垂线 其交点O即为AB杆在该瞬时的瞬心 解 1 运动分析 OA BO1定轴转动 AB平面运动 A B两点速度方向 已知 2 速度分析 方法三 基点法 方法二 瞬心法 例4图示机构中 已知各杆长OA 20cm AB 80cm BD 60cm O1D 40cm 角速度 O 10rad s 求机构在图示位置时 杆BD的角速度 杆O1D的角速度及杆BD的中点M的速度 2 研究AB杆 由速度投影定理求vB 例题 TheoreticalMechanics 求平面图形内各点速度 解 1 运动分析 OA O1D杆作定轴转动 AB BD作平面运动 0 3 取BD杆研究 BD杆的速度瞬心为D 4 O1D杆研究 例5 四连杆机构中OA CB 10cm AB 10cm 曲柄OA的角速度 3rad s 逆时针 试求当 AOC 90 而CB位于OC延长线上时 连杆AB与曲柄CB的角速度 解 1 运动分析 OA CB作定轴转动 AB作平面运动 TheoreticalMechanics 求平面图形内各点速度 2 速度分析 投影法 瞬心法 瞬心在O点 基点法 取A为基点 或 求AB杆角速度 求CB杆角速度 TheoreticalMechanics 求平面图形内各点速度 OA CB 10cm AB 10cm 曲柄OA的角速度 3rad s 3 连杆AB与曲柄CB的角速度 例5 例6 液压机的滚子沿水平面滚动而不滑动 曲柄OA半径r 10cm 并以匀角速度 0 30r min绕O轴逆时针转动 如滚子半径R 10cm 当曲柄与水平线夹角为60 时 且OA与AB垂直 试求此时 1 滚子的角速度大小 2 连杆AB的角速度大小 解 1 运动分析 OA作定轴转动 AB作平面运动 轮B只滚不滑的平面运动 应用瞬心法 AB杆的瞬心在I点 2 求AB的角速度 AB I TheoreticalMechanics 求平面图形内各点速度的瞬心法 r 2r 3r 3 求滚子的角速度 B 滚子只滚不滑 瞬心在I2 应用投影法 应用基点法 取A为基点 TheoreticalMechanics 求平面图形内各点速度 I2 曲柄r 10cm 0 rad s绕O轴逆时针转动 滚子半径R 10cm 例6 平面图形内各点的加速度 例7 半径为R的车轮在平直轨道上做纯滚动 轮心的速度和加速度分别为水平向右的v0 a0 求 此瞬时速度瞬心的加速度 1 因C为速度瞬心 故 由于轮心O作匀加速直线运动 2 基点法求 TheoreticalMechanics 例8在图所示的曲柄连杆机构中 曲柄OA长r 连杆AB长l 曲柄以匀角速度 转动 当OA与水平线的夹角 45 时 OA正好与AB垂直 1 求此瞬时AB杆角速度和滑块的速度 2 求此瞬时连杆AB的角加速度和滑块B的加速度 解 1 连杆AB在图示瞬时的速度瞬心为I 连杆在这瞬时的角速度为 AB 平面图形内各点的加速度 由图的几何关系 vB的方向和 AB的转向如图示 TheoreticalMechanics 例题 2 以A为基点 求B点的加速度 大小不知 平面图形内各点的加速度 x轴投影 AB方向投影 曲柄OA长r 连杆AB长l 曲柄以匀角速度 转动 例8 TheoreticalMechanics 例9曲柄OA r 以角速度 绕定轴O转动 连杆AB 2r 轮B半径为r 在地面上滚动而不滑动如图 求曲柄在图示铅直位置时杆AB及轮B的角加速度 8 4平面图形内各点的加速度 TheoreticalMechanics 速度部分 连杆AB作平面运动 此瞬时 vA vB 而AB不垂直于vA 连杆AB作瞬时平移 其瞬心在无穷远处 AB 0 轮B作平面运动 轮与地面间无相对滑动 则接触点C为轮B的速度瞬心 求加速度 1 研究AB杆 选A为基点 分析B点的加速度 AB杆在图示位置作瞬时平移 其角速度等于零 但其角加速度并不等于零 8 4平面图形内各点的加速度 TheoreticalMechanics 求AB及轮B的角加速度 2 研究B轮 B轮绕C瞬时转动 轮心B点距瞬心r远 例9 例题 8 4平面图形内各点的加速度 TheoreticalMechanics 例10 已知各杆尺寸 角度 OA杆的角速度和角加速度 求AB的角加速度 B的加速度 1 瞬心法分析B的速度 例题 8 4平面图形内各点的加速度 TheoreticalMechanics 已知各杆尺寸 角度 OA杆的角速度和角加速度 求AB的角加速度 B的加速度 2 基点法分析B的加速度 例10 动力学篇 一 刚体对轴的转动惯量 动力学篇 转动惯量计算 2 均质薄圆环对中心轴的转动惯量 1 均质细直杆对一端的转动惯量 3 均质圆板对中心轴的转动惯量 TheoreticalMechanics 4 平行轴定理 式中zC轴为过质心且与z轴平行的轴 d为z轴与zC质心轴之间的距离 M为刚体的质量 例题1冲击摆可近似地看成由匀质细杆OA和圆盘组成 已知杆长l 质量是m1 圆盘半径是r 质量是m2 求摆对通过杆端O并与圆盘面垂直的轴z的转动惯量 解 O C1 C2 l r A TheoreticalMechanics 动力学篇 转动惯量计算 质点系的质心C的矢径表达式可写为 miri mrC 当质点系运动时 它的质心一般也是运动的 将上式两端对时间求导数 即得 p mivi mvC 二 质点系动量的简捷求法 px mivix mvCxpy miviy mvCypz miviz mvCz 投影到各坐标轴上有 可见 质点系的动量 等于质点系的总质量与质心速度的乘积 TheoreticalMechanics 动力学篇 选择题 动量计算 例1画椭圆的机构由匀质的曲柄OA 规尺BD以及滑块B和D组成 图a 曲柄与规尺的中点A铰接 已知规尺长2l 质量是2m1 两滑块的质量都是m2 曲柄长l 质量是m1 并以角速度 绕定轴O转动 试求当曲柄OA与水平成角 时整个机构的动量 a TheoreticalMechanics 动力学篇 动力学篇 动量计算 整个机构的动量等于曲柄OA 规尺BD 滑块B和D的动量的矢量和 即 解法一 p pOA pBD pB pD x y O A D B E 系统的动量在坐标轴x y上的投影分别为 已知 曲柄OA长l 质量是m1 角速度 BD长2l 质量是2m1 两滑块的质量都是m2 TheoreticalMechanics 系统的动量在y轴上的投影为 所以 系统的动量大小为 方向余弦为为 动力学篇 选择题 例1 解法二 整个机构的动量等于曲柄OA 规尺BD 滑块B和D的动量的矢量和 即 p pOA pBD pB pD 1 其中曲柄OA的动量pOA m1vE 大小是 pOA m1vE m1l 2 其方向与vE一致 即垂直于OA并顺着 的转向 图b x y O A D B vD vA vB vE E x y O A D B b pBD pB pD pOA TheoreticalMechanics 已知 曲柄OA长l 质量是m1 角速度 BD长2l 质量是2m1 两滑块的质量都是m2 2 因为规尺和两个滑块的公共质心在点A 它们的动量表示成 p pBD pB pD 2 m1 m2 vA 由于动量POA的方向也是与vA的方向一致 所以整个椭圆机构的动量方向与vA相同 而大小等于 动力学篇 例1 设刚体以角速度 绕固定轴z转动 刚体内任一点A的转动半径是rz Mz mv rz mrz mrz2 从而整个刚体对轴z的动量矩 Lz Mz mivi miriz2 Jz 即 作定轴转动的刚体对转轴的动量矩 等于这刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积 该点的速度大小是v rz 方向同时垂直于轴z和转动半径rz 且指向转动前进的一方 若用m表示该质点的质量 则其动量对转轴z的动量矩为 动力学篇 动量矩计算 三 动量矩计算 例2 一半径为R 质量为m1的匀质圆盘与一长为l 质量为m2的匀质细杆相固连 以角速度 在铅直面转动 试求该系统对O轴的动量矩 O C l 解 系统做定轴转动 该系统对O轴的动量矩 顺时针 动力学篇 动量矩计算 一 平动刚体上力的功 元功 d W F vdt F vCdt TheoreticalMechanics 因此有元功d W mz F dt mz F d 二 定轴转动刚体上外力的功 1 元功 在刚体由角 1转到角 2的过程中 力F的总功为 2 总功 W mz F 2 1 如果刚体上作用着一个力系 则其元功为 d W mz F dt Mzd 结论 作用于定轴转动刚体上的力的功 等于该力对转轴的矩与刚体微小转角的乘积的积分 动力学篇 功的计算 三 平面运动刚体上力的功 2 总功 1 元功 d W F drC mC F d d W F drC mC F d 结论 作用于平面运动刚体上的力的功 等于该力在刚体随质心平动中的功与力对质心的矩在刚体转动中的功之和 TheoreticalMechanics 四 质点系和刚体内力的功 d W F1d A1A2 这里d A1A2 代表两质点间距离A2A1的变化量 它和参考系的选择无关 在一般质点系中 两质点间距离是可变的 因而 可变质点系内力所做功的总和不一定等于零 但是 刚体内任意两点间的距离始终保持不变 所以刚体内力所做功的总和恒等于零 动力学篇 功的计算 工程上几种内力作功的情形 作为整体考察 所有发动机的内力都是有功力 例如汽车内燃机工作时 气缸内膨胀的气体质点之间的内力 气体质点与活塞之间的内力 气体质点与气缸内壁间的内力 这些内力都要作功 有相对滑动的两个物体之间的摩擦力作负功 弹性构件横截面上的所有内力分量作负功 TheoreticalMechanics 动力学篇 功的计算 五 约束力的功之和等于零的情形 光滑的固定支承面 图a 轴承 销钉 图b 和活动支座 图c 的约束力总是和它作用点的元位移dr垂直 所以这些约束力的功恒等于零 1 光滑的固定支承面 轴承 销钉和活动支座的约束力 TheoreticalMechanics 由于柔绳仅在拉紧时才受力 而任何一段拉直的绳子就承受拉力来说 都和刚杆一样 其内力的元功之和等于零 绳子绕着光滑物体 情形相同 当由铰链相联的两个物体一起运动而不发生相对转动时 铰链间相互作用的压力与刚体的内力性质相同 当发生相对转动时 由于接触点的约束力总是和它作用点的元位移相垂直 这些力也不做功 2 不可伸长柔绳的拉力 3 光滑活动铰链内的压力 动力学篇 功的计算 4 圆轮沿支承面滚动时 摩擦力 约束力 的功 vO FN 因为Cv为速度瞬心 其速度为零 所以作用在Cv点的静摩擦力F所作元功为零 1 圆轮连滚带滑运动时 动摩擦力F所作元功为 2 圆轮纯滚动时 这时出现静摩擦力F TheoreticalMechanics 动力学篇 功的计算 9 3质点系和刚体的动能 9 3 2平移刚体的动能 1 当刚体平动时 刚体上各点速度相同 于是平动刚体的动能为 于是绕定轴转动刚体的动能为 2 刚体绕定轴z转动的角速度为 任一点mi的速度 动力学篇 动能计算 TheoreticalMechanics 质系的动能是所有质点在某瞬时动能的代数和 任一质点在某瞬时的动能为 六 质系动能 9 3质点系和刚体的动能 9 3 4平面运动刚体的动能 3 刚体作平面运动时 可视为绕通过速度瞬心并与运动平面垂直的轴的转动 平面运动刚体的动能等于随质心平动的动能与绕通过质心的转轴转动的动能之和 动力学篇 动能计算 TheoreticalMechanics 例题 例3图示系统中 均质滚子A重Q 滑轮B重G 半径均为Q及r 滚子沿倾角为 的斜面向下滚动而不滑动 轮心的速度为vC 借跨过滑轮B的不可伸长的绳索提升重P的物体 同时带动滑轮B绕O轴转动 求系统在任意位置的动能 2 系统在任意位置的动能 C轮纯滚动 D为A轮瞬心 所以 TheoreticalMechanics 解 1 各构件运动分析 滑轮B定轴转动 C轮平面运动 滑块平动 动能计算 动力学篇 TheoreticalMechanics 动能计算 动力学篇 例4椭圆规位于水平面内 由曲柄带动规尺AB运动 如图所示 曲柄和AB都是均质杆 曲柄和AB都是均质杆 重量分别为P和2P 且OC AC BC l 滑块A和B重量均为Q 曲柄OC角速度为 试求系统的动能 解 1 各构件运动分析 OC定轴转动 AB平面运动 两滑块平动 2 系统的动能 而 OC IC l 故 OC AB 绕瞬心的动能 随质心和绕质心的动能之和 TheoreticalMechanics 动能计算 动力学篇 例5均质圆盘重P 半径r 以角速度 匀速转动 均质杆AB重W 长l 滑块B量均为Q 试求OA垂直OB瞬时系统的动能 解 1 各构件运动分析 圆盘定轴转动 AB平面运动 滑块B平动 2 研究连杆AB 此瞬时 vA vB 连杆AB作瞬时平移 其瞬心在无穷远处 AB 0 其上任意一点的速度相同 定轴转动的轮上A点绕O作圆周运动 A点速度沿水平方向向左 滑动B速度沿水平方向向左 故 3 系统的动能 即 质点系动能的微分等于作用于质点系各力的元功的代数和 这就是质点系动能定理的微分形式 dT d Wi 对于质点系中的每个质点 都有类似上式 相加得 因 故上式可写成 由质点动能定理的微分形式 1 微分形式 TheoreticalMechanics 式中T1 T2分别代表某一运动过程中开始和终了时质点系的动能 上式表明质点系的动能在某一路程中的改变量 等于作用于质点系的各力在该路程中的功的代数和 这就是质点系动能定理的积分形式 T2 T1 Wi 积分微分形式得 2 积分形式 动力学篇 七 动能定理 例题6运送重物用的卷扬机如图 a 所示 已知鼓轮重W1 半径是r 对转轴O的回转半径是 在鼓轮上作用着常值转矩MO 使重W2的物体A沿倾角为 的直线轨道向上运动 已知物体A与斜面间的动摩擦系数是f 假设系统从静止开始运动 绳的倾斜段与斜面平行 绳的质量和轴承O的摩擦都忽略不计 试求物体A沿斜面上升距离s时物体A的速度和加速度 例题2 4 TheoreticalMechanics 动能定理 动力学篇 1 系统从静止开始运动的 初动能T1 0 设在重物上升的单向路程为s时设 速度为v 鼓轮的角速度大小 v r 则系统的