与扇形有关的考题.doc

与扇形有关的考题 扇形的有关计算是圆中计算问题的一个重要方面，和扇形有关的计算问题的类型较多，概括起来主要分为两大类，一是与弧长，扇形的半径，扇形的面积等有关的基本型题目，另一类是与探索性和实际应用型提高型题目。下列以中考试题为例，对这几种类型题作分析，供参考。 一、整体思想求弧长例1如图1，ABCD是各边长都大于2的四边形，分别以它的顶点为圆心、1为半径画弧（弧的端点分别在四边形的相邻两边上），则这 4条弧长的和是_. 分析：要求四条弧长的和，由于不知道每个扇形的圆心角的度数，所以只能借助四边形的内角和，利用整体思想解决. 解：设以顶点A、B、C、D为圆心的扇形的圆心角分别是n1、n2、n3、n4，弧长分别为l1、l2、l3、l4，则l1+l2+l3+l4=， 图1又n1+n2+n3+n4=360-A+360-B+360-C+360-D=1440-(A+B+C+D)=1080,所以l1+l2+l3+l4=6.二、实际问题抽模型例2如图2，墙OA、OB的夹角AOB120，一根9米长的绳子一端栓在墙角O处，另一端栓着一只小狗，则小狗可活动的区域的面积是_米2.（结果保留）. 分析:本题以生活中的一个实际问题为素材,设计的一个求扇形面积的问题,小狗活动的区域是一个以0为圆心,9米为半径,圆心角是120的扇形,所以求出扇形的面积即可.解:小狗活动的面积是米2.三、分析问题寻规律 图2例3下图中, 图3(1)是一个扇形AOB,将其作如下划分:第一次划分: 如图3(2)所示,以OA的一半OA1为半径画弧,再作AOB的平分线, 得到扇形的总数为6个, 分别为: 扇形AOB、扇形AOC、扇形COB、扇形A1OB1、扇形A1OC1、扇形C1OB1;第二次划分: 如图3(3)所示, 在扇形C1OB1中, 按上述划分方式继续划分, 可以得到扇形的总数为11个;第三次划分: 如图3(4)所示;依次划分下去. 图3（1）图3(2)第一次划分图3(3)第二次划分图3(4)第三次划分(1) 根据题意, 完成下表:划分次数扇形总个数1621134n(2) 根据上表, 请你判断按上述划分方式, 能否得到扇形的总数为2005个? 为什么?分析：本题是一道和扇形有关的图形分割规律探索题，主要考察考生的操作能力和探索规律的能力.解：(1)第一次划分得到总扇形的个数为6个，第2次划分的扇形为11个，通过操作可知第3次划分可得16个扇形，第4次划分可得21个扇形，即每一次划分，都比前一次多5个扇形.所以第n次划分可得6+5(n-1)个扇形. (2)假设可得到2005个扇形,则6+5(n-1)=2005,得5n=2004,n=400.8,这与扇形的个数为整数矛盾.所以不能得到2005个扇形. 四、旋转变化成扇形例4（1）如图4，甲工人用的刷具是一根细长的棍子，长度AB为20（宽度忽略不计），他用刷具绕A点旋转90，则刷具扫过的面积是多少？如图4，乙工人用的刷具形状是圆形，直径CD为20，点O、C、D在同一直线上，OC=30，他把刷具绕O点旋转90，则刷具扫过的面积是多少？ 分析：以上是两个与旋转有关的实际问题,解决这两个问题的关键通过旋转想象所形成的图形。(1)问实际是求以点A为圆心，AB为半径的扇形的面积;第(2)问形成的图形则是以O为圆心，以OD、OC为半径的两个扇形面积差，加上起始和结束时的两个半圆。根据扇型和圆的面积的计算公式可以解决问题。解：(1)S=100314(cm2);(2) S=(线段CD扫过的面积)+(一个圆的面积) =弧长和扇形面积1弧长公式弧长公式推导的基础是圆周长公式C=2R推导弧长公式应抓住圆心计算公式： .式中的n表示圆心角的度数，或说成1的圆心角的倍数，n是不带单位的R是弧所在圆的半径弧长公式中共含三个量l、n、R，知道其中任意两个可求另一个(180、都是常数)弧长公式主要应用是给出圆心角的度数、圆的半径，求这个圆心角所对的弧长包括与圆的有关图形中,设法求出圆心角的度数(注意是度数,如1831需化成18.52)和半径长，再求弧长2扇形面积公式一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形计算扇形面积的基础是圆面积：S=R2(R为圆的半径).理解、记忆扇形面积公式的关键是抓住圆心角是1的扇形面积是圆面积的例如，下图24.41中，O的内接梯形ABCD，ADBC，且AD为直径，如果O的半径为R，BDC=50求图中阴影部分的面积分析：注意到OBC与DBC面积相等，阴影部分面积与扇形OBC面积相等连结OB、OC，由于OBC与DBC同底等高，图24.41则OBC与DBC的面积相等，扇形OBC与阴影部分的面积相等又因BOC=2BDC=100，.另外，通过求弓形面积的过程，启示我们进行如下的思考：(1)计算复杂的不规则的图形面积，应设法转化成简单的规则的图形面积，(2)细心构思图形可能出现的各种情况，合理分类讨论，逐个求解(3)注意把实际生活中的问题抽象成数学问题得解(4)通过相关习题的一题多解，培养多方位思考、发散性思维品质24.4.2圆锥的侧面积和全面积1圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥底面圆的周长圆锥侧面展开图的面积就是它们的侧面积如果用l表示圆锥的母线长，用r表示它们底面的半径，由上面的分析可知：圆锥侧面积=rl圆锥侧面展开图扇形的圆心角的，由于扇形的弧长等于圆锥底面的周长，即有所以图24.47利用圆锥侧面展开图，可以求得它们的侧面积，这是表面积的一部分显然，圆锥的全面积则需加上一个底面面积圆锥的侧面展开图不仅用于表面积的计算工厂的工人师傅要制造各种圆锥的工件时，常常要根据工件的尺寸，通过计算，在材料板上画出下料图，然后再裁下制作所以，展开图的知识在生产实际中也是很有用的2圆锥的性质由圆锥的形成过程，启发得出如下性质：(1)圆锥的高所在直线就是圆锥的轴，它垂直于底面，经过底面的圆心；(2)圆锥的母线都相等3圆锥的轴截面通过圆锥的轴的截面是圆锥的轴截面，它是一个等腰三角形，结合模型弄清这个等腰三角形与圆锥的各元素之间的关系，从而可知轴截面反映了圆锥的主要特征，所以研究圆锥时，总是先作出它的任一个轴截面通过轴截面，不仅易掌握圆锥表面积的计算方法，同时又可以加深对圆锥的认识弧长和扇形面积典例解析【例1】半径为2cm，36的弧的长度是多少？提示：根据弧长公式： .解析：牢记弧长公式，36的弧所对的圆心角也是36R=2cm，n=36，点悟：同圆中，圆心角的度数等于它所对的弧的度数.【例2】已知扇形面积15cm2，半径为6cm，求：弧长提示：根据扇形面积公式：解析：扇形面积公式有两个，选择好所用的公式是解此题的关键点悟：注意扇形面积两个公式的联系.一般地，已知圆心角、半径，计算扇形面积运用公式（1）；若已知弧长，半径，计算扇形面积可运用公式（2）.【例3】如图1所示，求公路弯道部分AB的长l(精确到0.1米，图中单位：米)提示：注意图中公路弯道部分弧AB的半径和圆心角.解析：6342=63.7,.图115.933.1450.0(米).答：公路弯道部分AB的长约是50.0米点悟：注意公式的圆心角应统一为度.【例4】要在半径OA=100厘米的圆形铁板上截取一块AB的长为112厘米的扇形铁板，求应截取的圆心角AOB的度数(精确到1)提示：应用弧长公式.解析：由弧长公式，得.答：所求圆心角AOB约是6412点悟：在弧长公式中有三个量弧长l，半径r、圆心角n，已知其中两个两，即可求得第三个量.【例5】如图3所示，是一个膨胀节管子，以O为圆心的圆弧半径是500毫米分别以A、B为圆心的圆弧半径是200毫米，都与以O为圆心的圆弧连接OAG=40，水平线段EC、DF各长200毫米，分别与以A、B为圆心的圆弧连接，O到水平线EC、DF的距离是h=650毫米求这个膨胀节管子的总长(精确到0.1毫米)提示：注意分段计算弧长.解析：根据弧长公式，先求各段弧所在的圆的圆心角的度数.连结OA、OB，分别与圆弧交于点M、N，则M、N分别是大、小圆弧的连接点图3作直径HGAB，则HG平分AB在直角AOG中，OA=OM+MA=500+200=700，OG=hAC=650200=450OAG=40，MAC=130，MOH=130所求膨胀节管长：2(200+453.79+1134.46)3576.5(毫米)答：略例如，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，求所围成的图形(阴影部分)的面积(如图)图5解法1(重叠法，四个半圆面积重迭后减去原正方形面积)：解法2(分割法，正方形面积减去形内四个空白部分面积，正方形面积减去两个半圆面积得两个空白部分面积)：解法3(阴影部分由8个全等的弓形面积组成，也是一种分割法)：【例8】如图6，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm，母线长50cm，（1）计算这个展开图的圆心角及面积；（2）画出它的展开图图6提示：要计算展开图的面积，应知道展开图扇形的弧长是圆锥底面圆的周长展开图形的半径是圆锥的母线解析：圆锥底面圆直径80cm，底面圆周长cm，又母线长50cm，展开图扇形的半径50cm，弧长cm. 且，图7（度）.点悟：这个扇形画法：首先画一个半径为50cm的圆S然后用量角器作出72的圆心角，则 为弧的扇形，r就是所要画的展开图【例9】（1）若圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积是.（2）若圆锥的母线长为5cm，高为3cm，则其侧面展开图中扇形的圆心角是_度.提示：圆锥侧面展开图是扇形。故可转化求扇形的面积和圆心角.解析：首先弄清圆的侧面展开图是扇形，（1）中可直接用 求得，（2）中先求底面圆半径，扇形弧长，再由弧长公式求圆内角为288.点悟：圆锥是立体图形，其侧面展开图形是平面图形，圆锥的有关计算，常常需将立体图形转化为平面图形进行处理.【例10】选择题（1）如果圆柱底面半径为4cm，它的侧面积为，那么圆柱的母线长为（）（A）16cm.（B）16cm.（C）8cm.（D）8cm.（2）如果圆柱底面直径为6cm，母线长为10cm，那么圆柱的侧面积为（）（A）30.（B）60.（C）90.（D）120 .提示：圆柱的侧面展开图是矩形，圆柱的母线即为矩形的宽，圆柱的侧面积即为矩形的面积.解析：圆柱侧面展开图是矩形，（1）可直接用公式求出母线长为8cm，故选（C），（2）中，由直径求出半径是关键，应选（B）.【例11】一个圆锥的高是10，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积.提示：圆锥的侧面面积即为半圆的面积.图8解析：如图24.410，欲求圆锥的侧面积，即求母线长l，底面半径r.由圆锥的形成过程可知，圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形即，且关键找出l与r的关系，又其侧面展开图是半圆，可得关系，即.具体解为：设圆锥底面半径r，扇形弧长为C，母线长为l，由题意得又得,在中，,由、得：,所求圆锥的侧面积为.点悟：本题解答的思考是由展开图及条件，构造弧长与半径的方程组，数形结合.【例12】圣诞节，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸?(结果精确到01cm2)提示：根据题意，要求纸帽的面积，即求圆锥的侧面积现在已知底面圆的周长，从中可求出底面圆的半径，从而可求出扇形的弧长，在高h、底面圆的半径r、母线l组成的直角三角形中，根据勾股定理求出母线l，代入S侧=rl中即可图9解析：设纸帽的底面半径为rcm，母线长为lcm，则r=,l=2203cm，S圆锥侧=rl582203=63887cm26388720127774cm2所以，至少需要127774cm2的纸点悟：请按题中的要求动手制作一个圆锥形纸冒.【例13】如图10，已知RtABC的斜边AB13cm，一条直角边AC=5cm，以直线AB为轴旋转一周得一个几何体求这个几何体的表图10面积提示：注意本题是将直角三角形绕斜边旋转一周.故以斜边上的高为底面半径，上下两个圆锥.解析：首先应了解这个几何体的形状是上下两个圆锥，共用一个底面，表面积即为两个圆锥的侧面积之和根据S侧R2或S侧=rl可知，用第二个公式比较好求，但是得求出底面圆的半径，因为AB垂直于底面圆，在RtABC中，由OC、AB=BC、AC可求出r，问题就解决了具体解为：在RtABC中，AB13cm,AC5cm，BC=12cmOCABBCAC，r=OC=S表=r(BC+AC)=(12+5)=cm2点悟：解决有关圆锥的计算，关键是要掌握圆锥的侧面展开图是什么图形，明确圆锥和圆锥的侧面展开图，各元素间的一一对应关系，然后利用公式计算，同时解该类型题还应具备一定的空间想像能力.【例14】在RtABC中，已知AB=6，AC=8，A=90如果把RtABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把RtABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2那么S1：S2等于（）（A）2：3.（B）3：4.（C）4：9.（D）5：12.提示：根据题意分别计算出S1和S2即得答案解析：根据勾股定理求出第三边，再求其旋转体的全面积.A=90，AC=8，AB=6，BC=10当以AC为轴时，AB为底面半径，S1=S侧S底=ABBCAB2=61036=96当以AB为轴时，AC为底面半径，S2=S侧S底=8082=144S1：S2=96：144=2：3，故选A点悟：在求S1和S2时，应分清圆锥侧面展开图（扇形）的半径是斜边BC，弧长是以AB（或AC）为半径的圆的周长【例15】圆锥的侧面积是18，