固体物理第一章习题.ppt

1 第一章习题 2 2 在立方晶胞中 画出 101 021 122 和 210 晶面 提示 密勒指数 hkl 为离坐标原点最近的晶面与坐标轴截距的倒数 思路和步骤 1 画一晶胞 选取坐标原点和坐标轴 2 在三个坐标轴上作截点 3 由三截点确定晶面 3 解答 4 4 设某一晶面族的面间距为d 三个基矢a1 a2 a3 末端分别落在离原点的距离为h1d h2d h3d的晶面上 试用反证法证明 h1 h2 h3互质 分析 基矢a1 a2 a3 末端分别落在离原点的距离为h1d h2d h3d的晶面上 等价于与坐标原点最近的晶面在坐标轴上截距为a1 h1 a2 h2 a3 h3 5 证明 设该晶面族的单位法矢量为n 取离原点最近的晶面上一个格点 该格点的位置矢量为 l1 l2 l3是整数 由已知条件可得 则 则 6 假定h1 h2 h3不是互质数 公约数p 1 于是得到 由上式可得 上式左端是整数 右端是分数 显然是不成立的矛盾的产生是p为不等于1的整数的假定 也就是说p只能等于1 即h1 h2 h3一定是互质数 7 8 六角晶胞的基矢 分析 求其倒格基矢 8 晶胞体积为倒格矢为 解答 9 9 证明以下结构晶面族的面间距 1 立方晶系 4 简单单斜 思路1 设该晶面族的单位法矢量为n 10 思路2 利用倒格矢的模与面间距的关系 11 1 设沿立方晶系晶轴a b c的单位矢量分别为 解答 倒格子基矢为 与晶面族 hkl 正交的倒格矢 12 由晶面间距dhkl与倒格矢khkl的关系式 13 4 单斜晶系晶胞基矢长度及晶胞基矢间的夹角分别满足a b c和 90 90 得其倒格子基矢长度 14 由晶面间距dhkl与倒格矢khkl的关系式得 15 倒格基矢的点积 因为c a矢量平行于b 所以 将以上诸式代入 16 得到 即 17 15 对于面心立方晶体 已知晶面族的密勒指数为 hkl 求对应的原胞坐标系中的面指数 h1h2h3 若已知 h1h2h3 求对应的密勒指数 hkl 分析 这类问题可以用倒格矢来处理 因为是同一组晶面在两种不同坐标系的表示 其对应的倒格矢应相互平行 步骤 1 两种不同倒格基矢的变换关系 2 将与晶面垂直的倒格矢由一种坐标表示变为另一种坐标表示 3 由两种坐标表示的倒格矢平行求相互关系 18 由 固体物理教程 1 3 式和 1 4 式得面心立方晶体原胞坐标系中的倒格基矢b1 b2 b3与晶胞坐标系中的倒格基矢a b c 的关系为 也即 19 因此 若已知晶面族的密勒指数 hkl 则原胞坐标系中的面指数 与晶面族 hkl 垂直的倒格矢 与晶面族 h1h2h3 正交 其中p是 k l l h h k 的公约数 20 Khkl与晶面族 hkl 正交 因此 若已知晶面族的面指数 h1h2h3 则密勒指数 同样 其中p 是 h1 h2 h3 h1 h2 h3 h1 h2 h3 的公约数 21 20 讨论六角密堆积结构 X光衍射消光的条件 hkl 晶面族引起的衍射光总强度 分析 22 求解 六角密堆积结构的一个晶胞包含两个原子 它们的位置矢量分别是 因为是密积结构 所以原子散射因子f1 f2 f 将上述结果代入几何结构因子 23 hkl 晶面族引起的衍射光的总强度 只有当奇数时才出现衍射消光 24 a n为奇数时 若l是偶数 nl也是偶数为保证n 4 3h 2 3k l 奇数成立 须n 4 3h 2 3k 奇数由此 2n 2h k 3 奇数 奇数 由于h k为整数 上式左端是偶数 右端为奇数 显然不成立 矛盾的产生是l为偶数的条件导致的 所以l不能为偶数 只能为奇数 因而n 4 3h 2 3k 偶数 即 2h k 3 整数 n 整数 25 b 当n为偶数时 由n 4 3h 2 3k l 奇数得n 4h 2k 3l 3 奇数 奇数 上式的左端是偶数 右端为奇数 显然也不成立 矛盾的产生是n为偶数的条件导致的 所以n不能为偶数 由上述讨论可知 衍射消光条件为 n 奇数 l 奇数 2h k 3 整数 n 整数 26 21 铁在20 C时 得到最小的三个衍射角分别为8 12 11 38 14 18 当在1000 C时 最小的三个衍射角7 55 9 9 12 59 已知在上述温度范围 铁金属为立方结构 1 试分析在20 C和1000 C下 铁各属于何种立方结构 2 在20 C下 铁的密度为7860kg m3 求其晶格常数 27 解 1 对于立方晶体 晶面族 hkl 的面间距 布拉格反射公式 相应化为 可见 28 对体心立方元素晶体 衍射面指数和n h k l 为奇数时 衍射消光 衍射面指数和n h k l 为偶数时 衍射极大 对应最小的三个衍射角的衍射面指数依次为 110 200 211 这三个衍射角指数平方和的平方根之比为 铁在20 C时 最小的三个衍射角的正弦值之比sin8 12 sin11 38 sin14 18 0 142628 0 201591 0 246999 1 1 41340 1 73177 29 铁在20 C时 最小的三个衍射角的正弦值之比 与体心立方元素晶体最小的三个衍射角的衍射面指数平方和的平方根之比极其接近 存在偏差一般是实验误差所致 可以判断 铁在20 C时为体心心立方结构 30 对面心立方元素晶体 衍射面指数nh nk nl全为奇数或全为偶数时 衍射极大 对应的最小三个衍射角的衍射面指数依次为 111 200 220 这三个衍射角的衍射面指数平方和的平方根之比 由此可以判断 铁在1000 C时为面心立方结构 铁在1000 C时 最小的三个衍射角的正弦值比sin7 55 sin9 9 sin12 59 1 1 15455 1 63118 31 2 铁在20 C时为体心立方结构 一个晶胞内有两个原子 设原子质量为m 晶格常数为a 一个铁原子的质量 则质量密度 晶格常数则为 铁在在20 C时晶格常数 a 2 855 32 23 设有一面心立方结构的晶体 晶格常数为a 在转动单晶衍射中 已知与转轴垂直的晶面的密勒指数为 hkl 求证 其中p是一整数 m是第m个衍射圆锥母线与 hkl 晶面的夹角 参见图示反射球 33 分析 旋转单晶衍射法 晶体正格子转动 倒格子也转动 倒格点可看成分布与转轴垂直的 等间距的一个个倒格晶面上 由于倒格晶面旋转 落在反射球球面上倒格点的迹线形成一个个圆 反射球心到任一迹线上任一点的连线即是X衍射极大的方向 构成了一个个圆锥面 关键是求此倒格面间距倒格子与正格子互为对方倒格子 34 证明 设本题晶体与转轴垂直的倒格面指数为 l1l2l3 则倒格子的面间距 与倒格面 l1l2l3 垂直 即与转轴平行 由图得 其中 是X光的波矢 即反射球