差分方程(word97-03).doc

差分方程及高等数学在经济学中的应用前面我们所研究的变量基本上是属于连续变化的类型，但在经济管理或其它实际问题中，大多数变量是以数列形式变化的，如银行中的定期存款按所设定的时间等间隔计息，国家财政预算按年制定等。通常称这类变量为离散型变量。对这类变量，我们可以得到在不同取值点上的各离散变量之间的关系，如递推关系等。描述各离散变量之间关系的数学模型称为离散型模型。求解这类模型就可以得到离散型变量的变化规律。本章将介绍在经济学和管理科学中最常见的一种离散型数学模型差分方程。用数学方法解决实际问题,首先要构建该问题的数学模型,即找出该问题的函数关系。然后再用数学方法结合经济意义进行求解，解释经济意义，以期对经济运行进行分析干预。本章我们还将通过介绍几种常用的经济函数的建立及求解，以期引导学生掌握分析解决具体经济问题的思想方法。1 差分方程及其在经济学中的应用 本节主要介绍差分方程的概念、性质及求解。重点掌握一阶差分方程的求解。 一、差分的概念与性质一般地，在连续变化的时间范围内，变量关于时间的变化率是用来刻画的；对离散型的变量，我们常取在规定的时间区间上的差商来刻画变量的变化率。如果选择，则 (1)可以近似表示变量的变化率。由此我们给出差分的定义。定义1 设函数. 称改变量为函数的差分，也称为函数的一阶差分，记为，即，或.根据定义可知，差分满足以下性质： （1）（为任意常数）； （2）； （3） ； （4） 证明 在此，我们只证明性质（3），其余的请读者自证。 . 推论 （为任意常数）注：差分具有类似导数的运算性质。其中，（2）、（3）可推广到任意有限个函数的情形。一阶差分的差分称为二阶差分，即.类似地可定义三阶差分、四阶差分、，.一般地，函数的阶差分的差分称为阶差分，记为，即 (2)二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分。 例1 设，求，. 解 注：（为常数）。 例2 设求.解 特别地，当（为正整数）时， ， 阶数降了一阶. 推论 若为正整数为的次多项式，则为常数，且 . 例3 求的差分。 解 由差分的运算性质，有 二、差分方程的概念 与常微分方程的定义类似，下面我们给出差分方程的定义。 定义2 含有未知函数的差分的方程称为差分方程。差分方程的一般形式： 或 .差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶. 差分方程的不同形式可以互相转化. 例如，二阶差分方程可化为.又如，对于差分方程. 由，得 ，代入原方程，得 ，因此原方程可化为 . 定义3 满足差分方程的函数称为该差分方程的解. 例如，对于差分方程，将代入该方程，有 ，故是该方程的解. 易见对任意常数C，都是差分方程的解. 如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数，则称这个解为该差分方程的通解. 在实际应用中，我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称为初始条件，满足初始条件的解称为特解. 定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次的，则称该差分方程为线性差分方程.线性差分方程的一般形式为 (3)其特点是都是一次的. 例4 试确定下列差分方程的阶：(1) ； (2) . 解 (1) 由于方程中未知函数下标的最大差为7，由阶的定义，此方程的阶为7.(2) 由于方程中未知函数下标的最大差为4，由阶的定义，此方程的阶为4. 例5 指出下列等式哪一个是差分方程，若是，进一步指出是否为线性方程.(1) ； (2) . 解 (1) 将原方程变形为，因其只含有自变量的一个函数值，所以这个方程不是差分方程.(2) 由定义知，这个方程是差分方程，且是线性差分方程. 从前面的讨论中可以看到，关于差分方程及其解的概念与微分方程十分相似。事实上，微分与差分都是描述变量变化的状态，只是前者描述的是连续变化过程，后者描述的是离散变化过程. 在取单位时间为1，且单位时间间隔很小的情况下，即差分方程可看做连续变化的一种近似. 因此，差分方程和微分方程无论在方程结构、解的结构还是在求解方法上都有很多相似之处. 三、一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为 (4)其中，为非零常数，为已知函数. 如果，则方程变为 (5)方程(5)称为一阶常系数线性齐次差分方程，相应地，方程(4)称为一阶常系数线性非齐次差分方程. 1. 一阶常系数线性齐次差分方程的通解 一阶常系数线性齐次差分方程的通解可用迭代法求得.设已知，将分别代入方程中，得 , , , , .即为方程(5)的解.容易验证，对任意常数，都是方程(5)的解，故方程(5)的通解为 . (6) 例6 求差分方程的通解. 解 利用公式(6)得，题设方程的通解为. 2. 一阶常系数线性非齐次差分方程 定理1 设为方程(5)的通解，为方程(4)的一个特解，则为方程(4)的通解。证明 由题设，有，及，将这两式相加得 ,即为方程(4)的通解. 下面我们对右端项的几种特殊形式给出求其特解的方法，进而由定理1，结合（6）给出式(4)的通解的形式： 1）（为非零常数）.给定，由，可按如下迭代法求得特解：, , (7)由式(6)得，方程(5)的通解为（为任意常数），于是，方程(4)的通解为 (8)其中，为任意常数，且当时，当时，. 例7 求差分方程的通解.解 由于故原方程的通解为 . 2）（为非零常数且）.当时，设为方程(4)的特解，其中为待定系数. 将其代入方程(4)，得，解得.于是，所求特解为. 当时，方程(4)的通解为 (9)当时，设为方程(4)的特解，代入方程(4)，得，所以，当时，方程(4)的通解为 . (10) 例8 求差分方程在初始条件时的特解. 解 这里，利用公式(9)，得所求通解为 ，将初始条件代入上式，得.故所求题设方程的特解为 . 3）（为非零常数，为正整数）.设方程(4)的特解为当时，设为方程(4)的特解，其中为待定系数. 将其代入方程(4)，求出系数，就得到方程(4)的特解. 例9 求差分方程的通解.解 设题设方程的特解为，将代入题设方程，得比较同次幂系数，得 ，.从而所求特解为. 而题设方程的通解为 . 4）(为非零常数，是n次多项式, 是常数)，则非齐次方程为.为了求出它的一个特解，分两步：第一步， 令 ，代入方程得 ，它等价于. 第二步，用3）的方法。总之，对这种情况，可以直接设其特解为，其中当时，取，当时，取. （练习课后习题5.（6） 四、二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程的一般形式： , (11)其中均为常数，且，是已知函数。当时，方程(11)变为 . (12)方程(12)称为二阶常系数线性齐次差分方程。相应地，方程(11)称为二阶常系数线性非齐次差分方程。仿照二阶线性微分方程解的结构定理，可写出关于二阶线性差分方程的解的结构定理。例如，我们有定理2如果和都是方程（12）的解，则对任意常数也是方程（12）的解（证明略） 定理3 设为方程(12)的通解，为方程(11)的一个特解，则为方程(11)的通解。（证明略） 1. 二阶常系数线性齐次差分方程的通解与二阶常系数线性齐次微分方程的解法类似，考虑到方程(12)的系数均为常数，于是，只要找到一类函数，使得均为的常数倍即可解决求方程(12)特解的问题。显然，指数函数符合这类函数的特征。因此不妨设为方程(12)的一个特解，代入该方程，得 ,即 , (13)称此方程为方程(12)或方程(11)的对应齐次的特征方程，称特征方程的解为特征根。仿照二阶常系数齐次线性微分方程，根据特征根的三种情况，分别给出方程(12)的通解。 1）特征方程有两个相异实特征根，则通解的形式为 （为任意常数）； 2）特征方程有二重根，则通解的形式为 （为任意常数）；3）特征方程有两个共轭复特征根：，此时通解的形式为 （为任意常数）.为求得实数形式的通解，利用欧拉公式，记 ，其中，则 都是方程(12)的特解。由定理2，知：及也都是方程(12)的特解，即及都是方程(12)的特解。从而方程(12)的实数形式的通解为 （为任意常数）. 例10 求差分方程的通解。解 题设方程的特征方程为， 即 因而特征根为，所以题设方程的通解为 （为任意常数）. 例11 求差分方程的通解。解 题设方程的特征方程为， 即 因而特征根为，所以题设方程的通解为 （为任意常数）. 例12 求差分方程的通解。 解 题设方程的特征方程为，解之得一对共轭复根，即，故有 ，即.于是，题设方程的通解为 （为任意常数）. 2. 二阶常系数线性非齐次差分方程的特解 由定理3 ，这里只需讨论二阶常系数非齐次线性差分方程的一个特解的方法。 仅考虑方程(11)中取某些特殊形式的函数时的情形。 1）（其中是的次多项式），方程(11)具有形如的特解，其中为的次待定多项式。 当时，取. 设；当，但时，取. 设；当，且时，取. 设. 根据以上情形，分别把所设特解代入方程(11)，比较两端同次项的系数，确定系数，即可得方程(11)的特解。 例13 求差分方程的通解 解 对应的齐次差分方程的特征方程为 ，解得.于是，对应的齐次差分方程的通解为 ,而，但，故设，代入题设方程，得 .比较两边同次项的系数，得 ，解得.从而所求题设方程的通解为 . 2）时（其中的意义同(1)，为常数），则方程(11)具有形如的特解，其中的意义同(1). 当时，取 设；当，但时，取 设；当，且时，取 设 分别就上面各种情形，把所设特解代入方程(11)，比较两端同次项的系数，确定系数，即可得方程(11)的特解。 例14 求差分方程的通解.解 对应的齐次方程的特征方程为 ，解得则对应的齐次方程的通解为又，设特解，代入方程，得 消去，得，于是 得特解 故所求方程的通解为 五、差分方程在经济学中的应用 采用与微分方程完全类似的方法，可以建立经济学中的差分方程模型，下面举例说明其应用。 1）分期偿还贷款模型 国家对贫困大学生除了发放奖学金、特困不住外，还用贷款方式进行助困。另外，贷款购房、购汽车等也逐步进入了我们的生活。如何计算分期归还贷款的问题，是一个十分现实的问题。这个问题的一般提法是：假设从银行贷款，年利率是，这笔借款在年内按月等额归还，试问每月应偿还多少？假设每月偿还元。第一步计算第1个月应付的利息第二步计算第2个月应付的利息。第1个月偿还元后，还需偿还的贷款是故第2个月应付利息类似地，可推导出第个月应付利息：即 （*）这是一个一阶非齐次线形差分方程。 （*）的通解是将代入，得 （*）的特解是即 年的利息之和是 上式中，是年还款总数，是贷款数，则等于年利息总数，这样一来， 解得 例15 某学生一年级贷款1000元，二年级贷款1000元，计划大学学习四年毕业后用两年时间偿还，设贷款年利率是7%，问平均每月要偿还多少元？解 一年级贷款1000月，毕业时本利和是元，二年级贷款1000元，毕业时本利和是元，毕业时实际需归还：元，计划毕业后分两年偿还，代入上面模型所得的公式中，得 即平均每月需偿还元。2）“筹措教育经费”模型 某家庭从现在开始，从每月工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女的教育，计划20年后开始从投资帐户中每月支取1000元，直到10年后子女大学毕业并用完全部资金。要实现这个投资目标，20年内要总共筹措多少资金？每月要在银行存入多少钱？ 假设投资的月利率为0.5%，为此，设第个月，投资帐户资金为元，每月存入资金为元，于是20年后，关于的差分方程模型为 (1)且解方程(1)，得其通解为：,其中为任意常数。因为 从而有.从现在到20年内，满足方程 (2)且， 解方程(2)，得通解： 以及，从而有.即要达到投资目标，20年内要筹措资金元，平均每月要投入元。习 题1. 求下列函数的一阶和二阶差分 (1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) .2.确定下列方程的阶：(1) ；(2) . 3. 设分别是下列差分方程的解： 求证：是差分方程的解。 4. 证明下列各等式： (1) ； (2) 5. 求下列差分方程的通解：(1) ；(2) ； (3) ； (4) ； (5) （为非零常数）； (6) . 6. 求下列差分方程在给定初始条件下的特解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .7. 求下列二阶差分方程的通解及特解：(1) ； (2) ；(3) ； (4) .8. 设某产品在时期的价格、总供给与总需求分别为与，并设对于，有(1) ；(2) ；(3) .(I) 求证：由(1)、(2)、(3)能推出差分方程； (II) 已知时，求上述方程的解。9某人最初在年利率是4%的银行内存入1000元，计划以后每年年终再连续加存100元。年后此人账目有存款多少？试列出差分方程并计算。再用迭代法求出前四年此人账目中的存款额。10某房屋总价8万元，先付一半就可入住，另一半由银行以年利率4.8%贷款，五年付清，问平均每月需付多少元？共付利息多少元？答 案 1. (1)，；(2)，；(3)，； (4) ， ；(5)，.2. (1) 3阶；(2) 6阶. 3. (略)； 4. (略).5. (1)；(2) ；(3) ；(4) ；(5) 当时，当时，；(6) .6. (1) ；(2) ；(3) ；(4) .7. (1) ；(2) ；(3) ；(4) .8. (I) (略)；(II) .9；第一年1000元，一年后1140元，两年后1285.60元，3年后1437.02元。10每月需付751.19元，共付利息5071.40元。2 经济学中常见的经济函数经济学中，经济函数有许多，其中最常见的是利息、贴现、需求函数、供给函数、成本函数、利润函数、收入函数等。一、 利息问题利息是指借款者向贷款者支付的报酬，它是根据本金的金额按一定比例计算出来的。利息又有存款利息、贷款利息、债券利息、贴现利息等几种主要形式。1. 单利与复利设初始本金为(元)，银行年利率为.1） 单利计算公式（每年分次付息，且每次的利息都不计入本金）第一年末本利和为 ；第二年末本利和为 ； 第年末本利和为 .显然，年末的本利和与支付利息的次数无关。2）复利计算公式 （每年分次付息，且每次支付的利息都计入本金）第一年末本利和为 ；第二年末本利和为 ； 第年末本利和为 .利用二项展开式，有 ，因而 这就是说，一年计算次复利的本利和比一年计算一次复利的本利和要大，且复利计算次数愈多，计算所得的本利和数额就愈大，那是否会无限增大呢，为此引入连续复利的概念。3）连续复利公式 （按名义年利率不断计算复利）第年末本利和为 .式中的可视为连续变量。上述公式仅是一个理论公式，在实际应用中并不是用它，仅作为存期较长情况下的一种近似估计。 二、贴现票据的持有人，为在票据到期以前获得资金，从票面金额中扣除未到期期间的利息后，得到剩余金额的现金称为贴现。钱存在银行可以获得利息，如果不考虑贬值因素，那么若干年后的本利和就高于本金。如果考虑贬值的因素，则在若干年后使用的未来值（相当于本利和）就有一个较低的现值。例如，若银行年利率为7%，则一年后的107元未来值的现值就是100元。考虑更一般的问题：确定第年后价值为元的现值。假设在这年之间复利年利率不变，每年支付利息一次。利用复利计算公式有，得到第年后价值为元钱的现值为，式中表示第年后到期的票据金额，表示贴现率，而表示现在进行票据转让时银行付给的贴现金额。若票据持有者手中持有若干张不同期限及不同面额的票据，且每张票据的贴现率都是相同的，则一次性向银行转让票据而得到的现金：，式中为已到期的票据金额，为年后到期的票据金额。称为贴现因子，它表示在贴现率下年后到期的1元钱的贴现值。由它可给出不同年限及不同贴现率下的贴现因子表。例1 小孩出生后，父母拿出元作为初始投资，希望到孩子20岁生日时增长到100000元，如果投资按8%连续复利计算，则初始投资应该是多少？解 利用公式，求. 现有方程 ，由此得到 .即父母现在必须存储元，到孩20岁生日时才能增长到100000元。经济学家把元称为按8%连续复利计算20年后到期的100000元的现值。计算现值的过程称为贴现。这个问题的另一种表达是“按8%连续复利计算，现在必须投资多少元才能在20年后结余100000元”，答案是元，这就是100000元的现值。一般地，年后金额的现值，可以通过公式求得。而计算现值可以理解成从未来值返回到现值的指数衰退。三、需求函数 需求函数是指在某一特定时期内，市场上某种商品的各种可能的购买量和决定这些购买量的诸因素之间的数量关系。 假定其它因素（如消费者的货币收入、偏好和相关产品的价格等）不变，则决定某种商品需求量的因素就是这种商品的价格。此时，需求函数表示的就是商品需求量和价格这两个经济变量之间的数量关系 ，其中，表示需求量，表示价格。需求函数的反函数称为价格函数，习惯上将价格函数也统称为需求函数。需求函数以列表方式给出时称为需求表，而需求函数的图像称为需求曲线。一般地，商品的需求量随价格的下降而增加，随价格的上涨而减少，因此，需求函数是单调减少函数。一般的经济理论，对于需求函数并不赋予确定的形式。最常见、最简单的需求函数是假定它为如下形式的线性需求函数：. 四、供给函数供给函数是指在某一特定时期内，市场上某种商品的各种可能的供给量和决定这些供给量的诸因素之间的数量关系。假定生产技术水平、生产成本等其他因素不变，则决定某种商品供给量的因素就是这种商品的价格。此时，供给函数表示的就是商品的供给量和价格这两个经济变量之间的数量关系：其中，表示供给量，表示价格。供给函数以列表方式给出时称为供给表，而供给函数的图像称为供给曲线。一般地，商品的供给量随价格的上涨而增加，随价格的下降而减少，因此，供给函数是单调增加函数。最简单的供给函数，仍为线性供给函数：. 五、市场均衡对一种商品而言，如果需求量等于供给量，则这种商品就达到了市场均衡。以线性需求函数和线性供给函数为例，令，则，这个价格称为该商品的市场均衡价格。市场均衡价格就是需求函数和供给函数两条直线的交点的横坐标。当市场价格高于均衡价格时，将出现供过于求的现象，而当市场价格低于均衡价格时，将出现供不应求的现象。当市场均衡时，有 ，称为市场均衡数量。根据市场的不同情况，需求函数与供给函数还可以是二次函数、多项式函数与指数函数等。但其基本规律是相同的，都可找到相应的市场均衡点. 六、成本函数（费用函数）产品成本是以货币形式表现的企业生产和销售产品的全部费用支出，成本函数表示费用总额与产量（或销售量）之间的依赖关系，产品成本可分为固定成本和变动成本两部分。所谓固定成本，是指在一定时期内不随产量变化的那部分成本，如设备、厂房折旧费、工人工资等；所谓变动成本，是指随产量变化而变化的那部分成本，如材料、电费、燃料等。若产量（或销售量）为，固定成本为，变动成本为，则成本函数： ,当产量时，对应的成本函数值就是产品的固定成本值， ，称为单位成本函数或平均成本函数。 成本函数是单调增加函数，其图像称为成本曲线。七、 收入函数与利润函数销售某产品的收入，等于产品的单位价格乘以销售量，即，称其为收入函数。而销售利润等于收入减去成本，即，称其为利润函数。当时，生产者盈利；当时，生产者亏损；当时，生产者盈亏平衡。使为点称为盈亏平衡点（又称为保本点）。一般地，利润并不总是随销售量的增加而增加，因此，如何确定生产规模以获取最大的利润对生产者来说是一个不断追求的目标。3 边际分析与弹性分析 在经济活动中，常常遇到边际分析和弹性分析问题。边际分析与弹性分析是微分学在经济分析中应用的一种有效的方法，这种方法广泛应用于经济分析与经济管理当中。通过对经济问题的边际情况的认识和研究，便可寻求对经济活动的科学指导。 一、 边际分析在经济学中，习惯上用平均和边际这两个概念来描述一个经济变量对于另一个经济变量的变化。设函数可导，表示在或内的平均变化率（速度）。根据导数的定义，导数表示在点处的瞬时变化率，在经济学中，称其为在点处的边际函数值。当函数的自变量在处改变一个单位（即）时，函数的增量为，但当改变的“单位”很小时，或的“一个单位”与x0值相比很小时，则有近似式 .它表明：当自变量在处产生一个单位的改变时，函数的改变量可近似地用来表示。在经济学中，解释边际函数值的具体意义时，通常略去“近似”二字，显然，如果的图形的斜率在附近变化不是很快的话，这种近似是可以接受的。例如，设函数，则，在点处的边际函数值为，它表示当时，改变一个单位，（近似）改变20个单位。若将边际的概念具体于不同的经济函数，则成本函数、收入函数与利润函数关于生产水平的导数分别称为边际成本、边际收入与边际利润，它们分别表示在一定的生产水平下再多生产一件产品而产生的成本、多售出一件产品而产生的收入与利润。 用偏导数也可定义边际产量、边际成本、边际收益、边际利润等概念。 例如，在商业与经济中经常考虑的一个生产模型科布道格拉斯生产函数 且，其中表示由个人力单位和个资本单位生产出的产品数量（资本是机器、场地、生产工具和其它用品的成本）。偏导数和分别称为人力的边际生产力和资本的边际生产力。例1 某体育用品公司的某种产品有下列的生产函数其中是由个人力单位和个资本单位生产出的产品数量。 （1）求边际生产力； （2）计算在和时的边际生产力。 解 （1），； （2）如何理解这些边际生产力？假设所花费的资本总数固定为1024，则如果人力的总数由32改变一个单位，那么，产量将会改变768个单位。假设人力的总数固定为32， 则如果花费的资本总数由1024改变一个单位，那么，产量将会改变36个单位。 科布道格拉斯生产函数与递减报酬是一致的。即，如果固定一个输入（人力或资本）而另一个无限增加，则产量最终将以一个递减率增加。借助这些函数可以证明，如果某个最大生产量是可能的，那么，为了这个可以达到的最大输出，更多的花费（人力或资本）将是不可避免的。 二、弹性分析1. 概念在边际分析中所研究的是函数的绝对改变量与绝对变化率，经济学中常需研究一个变量对另一个变量的相对变化情况，为此引入下面的定义。定义 设函数可导，函数的相对改变量 与自变量的相对改变量之比，称为函数在与两点间的弹性（或相对变化率）。而极限称为函数在点处的弹性（或相对变化率），记为 .注：函数在点处的弹性反映随的变化变化幅度的大小，即对变化反应的强烈程度或灵敏度。数值上，表示 在点处，当发生1%的改变时，函数近似地改变，在应用问题中解释弹性的具体意义时，通常略去“近似”二字。 设需求函数，这里表示产品的价格。于是，可具体定义该产品在价格为时的需求弹性为： ，当很小时，有 ，即故需求弹性近似地表示：价格为时，价格变动1%，需求量将变化. （1）若，称为非弹性需求（或低弹性）； （2）若，称为弹性需求（或高弹性）； （3）若，称为单位弹性需求。注：一般地，需求函数是单调减少函数，需求量随价格的上涨而减少（当时，），故需求弹性一般是负值，它反映产品需求量对价格变动反应的强烈程度（敏感度）。 例2 设某种商品的需求量与价格的关系为 （1）求需求弹性； （2）当商品的价格（元）时，再上涨1%，求该商品需求量的变化情况。 解 （1）需求弹性为需求弹性为负，说明商品价格上涨时，商品需求量将减少。（2） 当商品价格（元）时，这表示价格（元）时，价格上涨1%，商品的需求量将减少%。若价格降低1%，商品的需求量将增加%. 2. 偏弹性分析 与一元经济函数的导数类似，多元经济函数的偏导数也有其经济意义。 设某产品的需求量，其中为该产品的价格，为消费者收入。记需求量对于价格、消费者收入的偏改变量分别为 和.易见，表示在价格由变到时的平均变化率。而表示当价格为、消费者收入为时，对于的变化率，称 .为需求对价格的偏弹性。 同理，表示在收入由变到时的平均变化率。而表示当价格为、消费者收入为时，对于的变化率，称 为需求对收入的偏弹性。3. 用需求弹性分析总收益的变化总收益是商品价格与销售量的乘积，即， 由，知： （1）若，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。，递增。即价格上涨，总收益增加；价格下跌，总收益减少。 （2）若，需求变动的幅度大与价格变动的幅度。，递减。即价格上涨，总收益减少；价格下跌，总收益增加。 （3）若，需求变动的幅度等于价格变动的幅度。，取得最大值。 综上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，随商品需求弹性的变化而变化。例3 录像带商店设计出一个关于其录像带租金的需求函数，并把它表示为：其中是当每盒租金是元时每天出租录像带的数量。求解下列各题： （1）求当元和元时的弹性，并说明其经济意义； （2）求时的值，并说明其经济意义； （3）求总收益最大时的价格. 解 （1）首先求出需求弹性 . 当元，有 .，表明出租数量改变量的百分比与价格改变量的百分比的比率小于1。价格的小幅度增加所引起出租数量减少的百分比小于价格改变量的百分比。当元，有 .，表明出租数量改变量的百分比与价格改变量的百分比的比率大于1。价格的小幅度增加所引起出租数量减少的百分比大于价格改变量的百分比。 （2）令，即 因此，当每盒租金是3元时，出租数量改变量的百分比与价格改变量的百分比的比率是1。 （3）总收益是 令，解得驻点.又，所以为的极大值点，也是最大值点。即当每盒租金是3元时，总收益最大。注：在上例中得到，使的值与使总收益最大的值是相同的。这一事实总是成立的。4 在其它经济问题中的应用 一、经济学中的最值问题在经济问题中，经常会遇到最优化问题，即讨论实际问题的最大值和最小值问题。这时，首先应分析应用问题中各量之间的关系，根据题意适当选择自变量和因变量并定出其取值范围（即建立目标函数），然后，按求函数的最大（小）值得方法进行计算，在再结合实际意义确定实际问题的最大（小）值。1. 无条件最值问题例1 设为商品的需求量，为商品的需求量，分别为商品的价格，其需求函数分别为，总成本函数为，试问价格取何值时可使利润最大。解 按题意，总收益函数为：于是，总利润函数（目标函数）为 于是，问题归结为求总利润函数的最大值点。解方程组 ，得唯一驻点 根据题意，所求利润的最大值一定在区域内取得，又函数在内只有唯一的驻点。因此该驻点即为所求最大值点。从而当价格时，利润可达最大，而此时的产量为2. 条件最值问题例2 设销售收入（万元）与花费在两种广告宣传上的费用（万元）之间的关系为利润额相当于五分之一的销售收入，并要扣除广告费用。已知广告费用总预算金是25万元，试求如何分配两种广告费用可使利润最大。解 设利润为，有 限制条件为 这是条件极值问题。令 从方程组 的前两个方程得 又，解得 根据问题本身的意义及驻点的唯一性即知，当投入两种广告的费用为15万元和10万元时，可使利润最大。 二、消费者剩余和生产者剩余在前面的学习中我们知道，在经济管理中，一般情况下，需求函数是价格的减函数，供给函数是价格的增函数。需求量与供给量都是价格的函数，但经济学家习惯用纵坐标表示价格，横坐标表示需求量和供给量。需求曲线与供给曲线的交点称为平衡点，记为，在平衡点处.在市场经济下，价格和数量在不断调整，最后趋向于平衡价格和平衡数量，分别用和表示。此时，经营者和消费者之间真正发生了购买和销售活动。 消费者剩余是经济学中的重要概念，它的具体意义就是：消费者对某种商品愿意付出的代价超过实际付出的代价（市场价格）的余额。即：消费者剩余=愿意付出的金额实际付出的金额。P1P0P*消费者剩余需求：P=D(Q)供给：P=S(Q)Q0QQ*OE生产者剩余P图1由此可见，消费者剩余可以衡量消费者所得到的额外满足。 在图1中，是供给曲线在价格坐标轴上的截距，也就是当价格为时，供给量是零，只有价格高于时，才有供给量。而是需求曲线的截距，当价格为时，需求量是零，只有价格低于时，才有需求。则表示当商品免费赠送时的最大需求量。在市场经济中，有时一些消费者愿意对某种商品付出比他们实际所付出的市场价格更高的价格，由此他们所得到的好处称为消费者剩余。由图1可以看出：表示有一些愿意付出比更高的价格的消费者的总消费量，而表示实际的消费额，两者之差为消费者省下来的钱，即消费者剩余。同理，对生产者来说，有时也有一些生产者愿意以比市场价格低的价格出售他们的商品，由此他们所得到的好处称为生产者剩余，由图1所示，有 例3 已知需求函数和消费函数， （1）求平衡点； （2）求平衡点处的消费者剩余； （3）求平衡点处的生产者剩余。解 （1）设平衡点为，则，即，解之得，把代入到，则 ，因此，平衡点是.（2）平衡点处的消费者剩余是（3）平衡点处的生产者剩余是 四、资本现值和投资问题 从前面的学习中知道，设有元货币，若按年利率作连续复利计算，则年后的价值为元；反之，若年后要有货币元，则按连续复利计算，现在应有元，称此为资本现值。 我们设在时间区间内时刻的单位时间收入为，称此为收入率，若按年利率为的连续复利计算，则在时间区间内的收入现值为. 按照定积分微元法的思想，则在内得到的总收入现值为 ，若收入率（为常数），称其为均匀收入率，如果年利率也为常数，则总收入的现值为 . 例4 现给予某企业一笔投资（万元），经测算，该企业在年中可以按每年万元的均匀收入率获得收入，若年利率为，试求：（1） 该投资的纯收入贴现值； （2）收回该笔投资的时间为多久？解（1）投资后的年中获得的总收入的现值为： （万元），从而，投资所获得的纯收入的贴现值为 （万元）. （2）收回投资，即为总收入的现值等于投资，故有，即 ，由此解得 ，将，代入，得 （年）。 因此，收回该笔投资需4.46年时间。五、国民收入分配现实社会中，对社会财富的拥有不是平均的。少数人拥有许多财富，而有的人却十分贫穷。在收入分配上，由于各种原因，有的人收入十分高，而有的人收入又十分低。如何用数学方法来描述这些不平均及不平均的程度呢？洛伦兹曲线是一种描述社会分配的曲线，而不平均系数，又称基尼（Gini）系数，记为G，描述了社会分配的不平均程度。如图2，用横轴表示工资收入不高于某一水平的人数占社会总人数的百分比（按收入由低到高分组）。是收入变量，表示这些人总工资收入占社会总工资的百分比。例如表示收入不高于某一水平（如200元/月）的人数占总人数的30%，他们的工资收入占总工资的12%.总是假定，表示没有人没有收入；，表示所有工资全部分配完毕。故洛伦兹曲线总经过与两点。在对角线（即直线）上任意点处横、纵坐标都相等，表示人口累计百分比为的人，赚取了总收入百分比的，故表达了收入完全平均。折线表示了只有极少部分（例如1%）的人赚取了所有工资，其他人全部无收入，是收入完全不平均。以上两种情况实际上是不可能出现的。故洛伦兹曲线应在中。曲线的具体作法可经过社会调查后，用统计方法建立数学模型而得到。收入完全平均曲线和收入完全不平均曲线之间的面积的比值表示分配不均的程度，称为不平均系数，又称基尼（Gini）系数，记为G，即 .用定积分表示为：.计算可得，当（收入完全平均）时，；当为折线时（收入完全不平均），. 例5 设某地区的工资分配的洛伦兹曲线可近似地由表示，试求该地区的基尼系数G. 解 .六、微分方程在经济学中的应用1. 逻辑斯蒂方程 逻辑斯蒂方程是一种在许多领域中有着广泛应用的数学模型，下面我们通过树的生长过程的例子来说明该模型的建立过程。一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢，渐渐地，小树长高了，而且长得越来越快，几年不见，绿树荫底下已经可以乘凉了，但长到某一高度后，它的生长速度趋于稳定，然后再慢慢降下来。这一现象具有普遍性。现在我们来建立这种现象的数学模型。如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比，则显然不符合两头尤其是后期的生长情形，因为树不可能越长越快；但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差，则又明显不符合中间一段的生长速度。折中一下，我们假定它的生长速度既与目前的高度成正比，又与最大高度和目前高度之差成正比。设树生长的最大高度为（m），在（年）时的高度为，则有 其中是比例常数，称此方程为逻辑斯蒂（Logistic）方程。它是可分离变量的一阶常微分方程。下面我们来求解上面的方程。分离变量得 ，两边积分 ，从而 ，或 ，故所求通解为 ，其中的是正常数。函数的图像称为Logistic曲线，图3所示的是一条典型的Logistic曲线，又与它的形状像S，一般也称为S曲线。可以看到，它基本符合我们描述的树的生长情形。另外还可以算得 这说明树的生长有一个限制，因此也称为限制性增长模型。注：Logistic的中文音译名是“逻辑斯蒂”。“逻辑”在字典中的解释是“客观事物发展的规律性”，因此许多现象本质上都符合这种S规律。除了生物种群的繁殖外，还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等。例如流感的传染，在任其自然发展（例如初期未引起人们注意）的阶段，可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数。开始时患病的人少因而传染速度较慢；但随着健康人与患者接触，被传染的人越来越多，传染的速度也越来越快；最后，传染速度自然而然地渐渐降低，因为已经没有多少人可被传染了。下面举个例子说明逻辑斯蒂方程的应用。新产品的推广模型 设有某种新产品要推向市场，时刻的销量为，由于产品性能良好，每个产品都是一个宣传品，因此，时刻产品销售的增长率与成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的市场容量，统计表明与尚未购买该产品的潜在顾客的数量也成正比，于是有 ，其中为比例系数。利用分离变量法，可解得 ，由 当时，有，表明销量单调增加。